Ampères lag

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 24 februari 2021; kontroller kräver 16 redigeringar .

Ampères lag - lagen för interaktion mellan elektriska strömmar . Den installerades första gången av André Marie Ampère 1820 för likström . Av Ampères lag följer att parallella ledare med elektriska strömmar som flyter i en riktning attraherar, och i motsatta riktningar stöter de bort. Ampères lag kallas också den lag som bestämmer med vilken kraft ett magnetfält verkar på ett litet segment av en strömförande ledare. Kraften visar sig vara linjärt beroende av både ström och magnetisk induktion . Uttrycket för den kraft med vilken magnetfältet verkar på volymelementet hos en ledare med strömtäthet , belägen i ett magnetfält med induktion , i International System of Units (SI) har formen: $B$ $d{\vec F}$ $dV$ $\vec j$ ${\vec {B}}$

d{\vec {F}}={\vec {j}}\times {\vec {B}}dV.

Om strömmen flyter genom en tunn ledare, var är ledarens "längdelement" - en vektor lika i absolut värde och som sammanfaller i riktning med strömmen. Då skrivs uttrycket för kraften om som . ${\vec j}dV=Id{\vec l}$ $d{\vec l}$ $dl$ $d{\vec {F}}=Id{\vec {l}}\times {\vec {B}}$

Det fysiska innehållet i Ampères lag

Ampères lag förstås som en uppsättning påståenden och formler som kännetecknar krafteffekten på en strömförande ledare från ett magnetfält - möjligen skapat av en annan strömförande ledare. Lagen definierar:

kraften av påverkan av ett litet segment av en ledare med ström på ett annat litet segment med ström : $dl_{1}$ $I_1$ $dl_{2}$ $I_{2}$

d^{2}{\vec {F}}_{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}\cdot {\frac {d{\vec {l}}_{2}\times [d{\vec {l}}_{1}\times ({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}} _{1})]}{|{\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}|^{3}}}=I_{2}d{\vec {l }}_{2}\times d{\vec {B}}_{1}({\vec {r}}_{2})

, där och är radievektorerna för ledarnas längdelement och , och är kraften hos elementet (som skapar ett fält vid punkten ) på elementet ; är den magnetiska konstanten;

{\vec {r}}_{1}

{\vec {r}}_{2}

d{\vec {l}}_{1}

d{\vec {l}}_{2}

d^{2}{\vec {F}}_{12}

d{\vec {l}}_{1}

d{\vec {B}}_{1}({\vec {r}}_{2})

{\vec {r}}_{2}

d{\vec {l}}_{2}

\mu_{0}

samverkanskraften mellan två ledande slutna slingor av formen och med strömmar och : $C_{1}$ $C_{2}$ $I_1$ $I_{2}$

\mathbf {F} _{12}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{2)) \oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1 },\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3} }}

, där och är radievektorerna som löper genom alla punkter i konturerna , , och är den kraft med vilken kontur-1 verkar på kontur-2. I själva verket är detta integrationen av uttrycket från föregående stycke;

{\mathbf {r}}_{1}

{\mathbf {r}}_{2}

C_{1}

C_{2}

{\mathbf {F}}_{{12}}

kraften med vilken magnetfältet verkar på ett segment av en ledare med ström (A), en platt sektion med ström (A / m) eller en liten volym med ström (A / m 2 ): $dl$ $jag$ $dS$ $\vec{i}$ $dV$ $\vec{j}$

d{\vec {F}}=Id{\vec {l}}\times {\vec {B}},\qquad d{\vec {F}}={\vec {i}}dS\ gånger {\vec {B)),\qquad d{\vec {F}}={\vec {j}}dV\times {\vec {B}}

. Kraftens riktning bestäms av regeln för beräkning av tvärprodukten . Dess modul i fallet med en tråd är som , där är vinkeln mellan och riktningen för strömmen. Kraften är maximal när ledaren är vinkelrät mot linjerna för magnetisk induktion ( ). Integration gör att du kan få fältets kraft på objektet som helhet.

d{\vec F}

dF=IBdl\sin \alpha

\alfa

{\vec {B}}

\alpha =90^{\circ }

Fallet med två parallella ledare

Det mest kända exemplet som illustrerar Ampère-kraften är följande problem. I vakuum är två oändliga parallella ledare placerade på avstånd från varandra, i vilka strömmar och flyter i samma riktning . Det krävs att hitta kraften som verkar per längdenhet av ledaren. $r$ $I_1$ $I_{2}$

I enlighet med Biot-Savart-Laplace-lagen skapar en oändlig ledare med ström i en punkt på avstånd ett magnetfält med induktion $I_1$ $r$

{\vec {B}}_{1}(r)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {2I_{1}}{r}}\, {\vec {e}}_{\varphi }

där är den magnetiska konstanten , är en enhetsvektor längs en cirkel vars symmetriaxel är en tråd med ström . $\mu_0$ ${\vec {e}}_{\varphi }$ $I_1$

Enligt Amperes lag finner vi kraften med vilken den första ledaren verkar på en liten del av den andra: $d{\vec {l))$

d{\vec {F}}_{12}=I_{2}d{\vec {l}}\times {\vec {B}}_{1}(r).

Enligt regeln för vänster hand riktas den mot den första ledaren (på liknande sätt riktas kraften som verkar på den första ledaren mot den andra ledaren). Därför lockas konduktörer. $d{\vec {F}}_{12}$ $d{\vec {F}}_{21}$

Modulen för denna kraft ( är avståndet mellan ledarna): $r$

dF_{12}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {2I_{1}I_{2}}{r}}dl.

Vi integrerar över sektionen av ledarlängden (integrationsgränser över från 0 till ): $L$ $l$ $L$

F_{12}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {2I_{1}I_{2}}{r}}\cdot L.

Om - enhetslängd, så anger detta uttryck den önskade interaktionskraften. $L$

Den resulterande formeln används i SI för att fastställa det numeriska värdet på den magnetiska konstanten . I själva verket definieras ampere , som är en av de grundläggande SI-enheterna, i den som "styrkan hos en oföränderlig ström, som, när den passerar genom två parallella rätlinjiga ledare av oändlig längd och en obetydligt liten cirkulär tvärsnittsarea, belägen i vakuum på ett avstånd av 1 meter från varandra, orsakade skulle på varje sektion av ledaren 1 meter lång, interaktionskraften lika med 2⋅10 −7 Newton " [1] . $\mu_0$

Sålunda, från den erhållna formeln och definitionen av amperen, följer det att den magnetiska konstanten är lika med H / A² eller, vilket är samma, H / m exakt . $\mu_0$ $4\pi \times 10^{{-7}}$ $4\pi \times 10^{{-7}}$

Manifestationer av Ampères lag

Elektrodynamisk deformation av däck (ledare) av trefas växelström vid transformatorstationer under påverkan av kortslutningsströmmar .
Trycker isär rälsvapenens ledare när de avfyras.

Applikation

Alla noder inom elektroteknik, där det under påverkan av ett elektromagnetiskt fält finns en rörelse av alla element, använder Ampères lag. Funktionsprincipen för elektromekaniska maskiner (rörelse av en del av rotorlindningen i förhållande till en del av statorlindningen ) är baserad på användningen av Ampères lag, och den mest utbredda och använda enheten i nästan alla tekniska strukturer är en elmotor , eller , som är strukturellt nästan densamma, en generator . Det är under påverkan av Ampere-kraften som rotorn roterar, eftersom statorns magnetfält påverkar dess lindning och sätter den i rörelse. Alla elfordon använder Amperekraften för att rotera axlarna som hjulen sitter på (spårvagnar, elbilar, elektriska tåg, etc.).

Dessutom sätter magnetfältet igång mekanismerna för elektriska lås (elektriska dörrar, skjutportar, hissdörrar). Med andra ord, alla enheter som drivs på el och har rörliga delar är baserade på utnyttjandet av Ampères lag.

Den finner också tillämpning i många andra typer av elektroteknik , till exempel i ett dynamiskt huvud (högtalare): i en högtalare (högtalare) används en permanentmagnet för att excitera ett membran som genererar ljudvibrationer, och under verkan av ett elektromagnetiskt fält skapat av en närliggande ledare med ström, verkar Amperekraften, som ändras i enlighet med önskad ljudfrekvens.

Också:

Elektrodynamisk plasmakomprimering ; till exempel i tokamaks , Z-pinch setups .
Elektrodynamisk pressmetod .
Elektromagnetisk pump

Ampere kraft och Newtons tredje lag

Låt det finnas två tunna ledare med strömmar och , som har formen av kurvor och , som ges av radievektorer och . $I_1$ $I_{2}$ $C_{1}$ $C_{2}$ ${\mathbf {r}}_{1}$ ${\mathbf {r}}_{2}$

För växelverkanskrafterna hos oändligt små sektioner av dessa ledare är Newtons tredje lag inte uppfylld. Ampèrekraften för inverkan av elementet i den första ledaren på elementet i den andra är nämligen inte lika med kraften som tas med motsatt tecken, som verkar från elementet i den andra ledaren på elementet i den första : $\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}$ $\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}$

\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}=I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\times \mathrm {d} \mathbf { B} _{1}(\mathbf {r} _{2})\neq -\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}=-I_{1}\mathrm {d} \ mathbf {r} _{1}\times \mathrm {d} \mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1})

Här och är fältet som skapas av sektionen av den första respektive sektionen av den andra ledningen. Detta faktum äventyrar inte på något sätt Newtons dynamik, eftersom likström bara kan flyta i en sluten krets - och därför måste Newtons tredje lag endast fungera för de krafter som två slutna strömförande ledare samverkar med. Till skillnad från enskilda element gäller Newtons lag för slutna slingor: $\mathrm {d} \mathbf {B} _{1}$ $\mathrm {d} \mathbf {B} _{2}$

\mathbf {F} _{12}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}(I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\times \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2}))=-\mathbf {F} _{21}=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1)) (I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\times \mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1}))

var och är det fält som skapas helt av den första och helt av den andra tråden (och inte av deras individuella sektioner). Fältet i varje fall hittas med hjälp av Biot-Savart-Laplace-formeln . $\mathbf {B} _{1}$ ${\displaystyle \mathbf {B} _{2))$

mer detaljerad presentation

Låt det finnas två tunna ledare med strömmar och , som har formen av kurvor och , som ges av radievektorer och . Kraften som verkar på strömelementet i en tråd från sidan av strömelementet i den andra ledningen hittas enligt Biot-Savart-Laplace-lagen: strömelementet som ligger vid punkten skapar ett elementärt magnetfält vid punkten $I_1$ $I_{2}$ $C_{1}$ $C_{2}$ ${\mathbf {r}}_{1}$ ${\mathbf {r}}_{2}$ ${\displaystyle I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1))$ ${\mathbf {r}}_{1}$ ${\mathbf {r}}_{2}$

\mathrm {d} \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2})={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {I_{1} [\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]}{|\mathbf {r} _{2}-\ mathbf {r} _{1}|^{3}}}

Enligt Ampères lag är kraften som verkar från sidan av fältet på det strömelement som ligger vid punkten lika med $\mathrm {d} \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2})$ $I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}$ ${\mathbf {r}}_{2}$

\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}=I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\times \mathrm {d} \mathbf { B} _{1}(\mathbf {r} _{2})={\mu _{0}I_{1}I_{2} \över 4\pi }{\frac {[\mathrm {d} \ mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\ mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}.

Det aktuella elementet som ligger vid punkten skapar ett elementärt magnetfält vid punkten $I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}$ ${\mathbf {r}}_{2}$ ${\mathbf {r}}_{1}$

\mathrm {d} \mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1})={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {I_{2} [\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}]}{|\mathbf {r} _{2}-\ mathbf {r} _{1}|^{3}}}

Amperekraften som verkar från sidan av fältet på det aktuella elementet vid punkten är lika med $\mathrm {d} \mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1})$ ${\displaystyle I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1))$ ${\mathbf {r}}_{1}$

\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}=I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\times \mathrm {d} \mathbf { B} _{2}(\mathbf {r} _{1})={\mu _{0}I_{1}I_{2} \över 4\pi }{\frac {[\mathrm {d} \ mathbf {r} _{1},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}]]}{|\ mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}.

I det allmänna fallet, för godtyckliga och krafter och är inte ens collinear, vilket innebär att de inte lyder Newtons tredje lag: . ${\mathbf {r}}_{1}$ ${\mathbf {r}}_{2}$ $\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}$ $\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}$ $\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}+\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}\neq 0$

Detta resultat indikerar dock inte misslyckandet i Newtons dynamik i detta fall. Generellt sett kan likström bara flyta i en sluten slinga. Därför bör Newtons tredje lag endast gälla de krafter med vilka två slutna strömförande ledare samverkar. Det kan ses att för två sådana ledare är Newtons tredje lag uppfylld.

Låt kurvorna och vara stängd. Då skapar strömmen ett magnetfält vid punkten $C_{1}$ $C_{2}$ $I_1$ ${\mathbf {r}}_{2}$

\mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2})={\mu _{0}I_{1} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb { C} _{1)){\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]}{| \mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}},

där integration över utförs i strömflödesriktningen . Amperekraften som verkar från sidan av fältet på kretsen med ström är lika med $C_{1}$ $I_1$ $\mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2})$ $C_{2}$ $I_{2}$

\mathbf {F} _{12}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}(I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\times \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2}))=\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}(I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\ gånger {\mu _{0}I_{1} \över 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm { d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3))))={\mu _{0}I_{1}I_{2} \över 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{2)) \oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1 },\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3} }},

där integration över utförs i strömflödesriktningen . Integrationsordningen spelar ingen roll. $C_{2}$ $I_{2}$

På liknande sätt är Ampère-kraften som verkar från sidan av fältet som skapas av strömmen på kretsen med strömmen lika med $\mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1})$ $I_{2}$ $C_{1}$ $I_1$

\mathbf {F} _{21}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}(I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\times \mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1}))={\mu _{0}I_{1}I_{2} \över 4\pi }\oint \limits _{\ mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},[\mathrm {d } \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}]]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\mathrm {d} ^ {2}\mathbf {F} _{21}.

Jämlikhet är likvärdig med jämlikhet $\mathbf {F} _{12}+\mathbf {F} _{21}=0$

\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _ {2}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{2}- \mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}

För att bevisa denna sista likhet, notera att uttrycket för Ampère-kraften är mycket likt uttrycket för cirkulationen av ett magnetfält i en sluten krets, där den yttre punktprodukten ersätts med korsprodukten.

Med hjälp av Lagrange-identiteten kan den dubbla vektorprodukten på vänster sida av likheten som bevisas skrivas på följande sätt:

[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]=\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{2}-\mathbf { r} _{1})-(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})(\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}).

Sedan tar den vänstra sidan av den likhet som bevisas formen:

\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _ {2}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}-\oint \limits _{\mathbb {C} _ {1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})(\mathrm {d } \mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^ {3}}}.

Betrakta separat integralen , som kan skrivas om i följande form: $\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _ {1}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2 }-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}$

\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _ {1}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2 }-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\ oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1},\mathrm {d} (\mathbf {r } _{2}-\mathbf {r} _{1}))}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}.

Genom att ändra variabeln i den inre integralen till , där vektorn ändras längs en sluten kontur , finner vi att den inre integralen är cirkulationen av gradientfältet längs en sluten kontur. Så det är lika med noll: ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1))$ $\mathbf {r}$ $C_{2}'$

\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1},\mathrm {d} ( \mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}))}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}} =\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}{\frac {(\mathbf {r} ,\mathrm {d} \mathbf {r} )}{|\mathbf {r} |^ {3}}}=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}(\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}),\ mathrm {d} \mathbf {r} )=0.

Detta betyder att hela den dubbla kurvlinjära integralen är lika med noll. I det här fallet kan kraften skrivas: ${\mathbf {F}}_{{12}}$

\mathbf {F} _{12}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{1)) \oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})(\mathrm {d} \mathbf { r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}} }.

Uttrycket för kraften kan härledas från uttrycket för kraften , helt enkelt från symmetriöverväganden. För att göra detta kommer vi att ersätta indexen: vi ändrar 2 till 1 och 1 till 2. I det här fallet, för kraften, kan vi skriva: ${\mathbf {F}}_{{21}}$ ${\mathbf {F}}_{{12}}$ ${\mathbf {F}}_{{21}}$

\mathbf {F} _{21}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{1)) \oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})(\mathrm {d} \mathbf { r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}} }.

Nu är det ganska uppenbart att . Detta innebär att Ampère-styrkan uppfyller Newtons tredje lag när det gäller slutna ledare. $\mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}$

Några historiska aspekter

Effektdetektering

1820 upptäckte Hans Christian Oersted att en tråd som leder ström skapar ett magnetfält och får kompassnålen att avböjas. Han märkte att magnetfältet var vinkelrätt mot strömmen och inte parallellt med det, som man kunde förvänta sig. Ampère, inspirerad av demonstrationen av Oersteds experiment, upptäckte att två parallella ledare som bär ström attraheras eller stöts bort, beroende på om strömmen flyter i samma eller motsatta riktningar. Så strömmen producerar inte bara ett magnetfält, utan magnetfältet verkar på strömmen. Redan en vecka efter att Oersted meddelat sin erfarenhet erbjöd Ampère en förklaring: ledaren verkar på magneten, eftersom strömmen flyter i magneten längs många små slutna banor [2] [3] .

Val av formeln för kraft

Lagen för växelverkan mellan två elementära elektriska strömmar, känd som Ampères lag, föreslogs faktiskt senare av Grassmann (det vill säga det skulle vara mer korrekt att kalla den Grassmanns lag).

Den ursprungliga Ampères lag hade en något annorlunda form: kraften som verkar från sidan av det nuvarande elementet som ligger vid punkten på det nuvarande elementet som ligger vid punkten är lika med ${\displaystyle I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1))$ ${\mathbf {r}}_{1}$ $I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}$ ${\mathbf {r}}_{2}$

\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }{\frac {(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}\left( 2(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})-3{\frac {(\mathbf {r} _{1}-\ mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{2}}}\right)

Kraften som verkar från sidan av det nuvarande elementet som är beläget vid punkten på det nuvarande elementet som är beläget vid punkten kan erhållas från kraftformeln helt enkelt från symmetriöverväganden, genom att ersätta indexen: 2 med 1 och 1 med 2. $I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}$ ${\mathbf {r}}_{2}$ ${\displaystyle I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1))$ ${\mathbf {r}}_{1}$ $\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}$

I detta fall , det vill säga, den ursprungliga Ampères lag uppfyller Newtons tredje lag redan för differentialformen. Ampère, efter att ha provat ett antal uttryck, bestämde sig för just detta. $\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}=-\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}$

Om det, när man överväger någon uppgift att beräkna interaktionskraften för (faktiskt, icke-konstanta) öppna strömmar, är omöjligt att stå ut med ett brott mot Newtons tredje lag, finns det en möjlighet att använda den ursprungliga Ampères lag. När det gäller Grassmanns lag måste ytterligare en fysisk enhet, magnetfältet, ingå i vederlaget för att kompensera för att den tredje lagen inte följs.

Det kan bevisas att i den integrala formen av den ursprungliga Ampères lag är krafterna med vilka två slutna ledare med likström samverkar desamma som i Grassmanns lag.

bevis

För att bevisa detta skriver vi kraften i följande form: ${\mathbf {F}}_{{21}}$

\mathbf {F} _{21}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{1)) \oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})(\mathrm {d} \mathbf { r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}} }+{\mu _{0}I_{1}I_{2} \över 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2)){\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{ 1}|^{3}}}((\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})-3{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _ {1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{2}}}).

Uppenbarligen, för att kraften ska visa sig vara densamma som i Grassmanns lag räcker det att bevisa att den andra termen är lika med noll. Vidare kommer vi att betrakta den andra termen utan koefficienter framför integralernas tecken, eftersom dessa koefficienter inte är lika med noll i det allmänna fallet, och därför måste den dubbla kurvlinjära integralen själv vara lika med noll.

Så låt oss beteckna . Och det måste du bevisa $\mathbf {P} =\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r } _{2}-\mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}((\mathrm { d} \mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})-3{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _ {1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{2}}})$ $\mathbf {P} =0$

Låt oss anta att integrationen utförs först längs konturen . I det här fallet är det möjligt att göra en förändring av variabel: , där vektorn ändras i en sluten slinga . Då kan man skriva ${\mathbf {P}}$ $C_{2}$ ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1))$ $\mathbf {r}$ $C_{2}'$

\mathbf {P} =\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}{\frac {\mathbf {r } }{|\mathbf {r} |^{3}}}((\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} )-3{\frac { (\mathbf {r} ,\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})(\mathbf {r} ,\mathrm {d} \mathbf {r} )}{|\mathbf {r} |^ {2}}}).

Nu, när man integrerar över konturen , erhålls någon vektorfunktion av , som sedan kommer att integreras över konturen . $C_{2}'$ ${\mathbf {r}}_{1}$ $C_{1}$

Det kan bevisas att det kan representeras som , där båda gradienterna tas över variabeln . Beviset är trivialt, det räcker för att utföra proceduren för att ta gradienterna. ${\mathbf {P}}$ $\mathbf {P} =-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}\mathbf {r} (\ mathrm {grad} (\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}),\mathrm {d} \mathbf {r} ),\mathrm {d} \mathbf {r } _{ett})$ $\mathbf {r}$

Vidare, enligt Lagrange-identiteten, kan vi skriva:

{\begin{aligned}&\mathrm {grad} (\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}),\mathrm {d} \mathbf {r} )=\nabla (\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}),\mathrm {d} \mathbf {r} )=[\mathrm {d} \mathbf { r} ,[\nabla ,\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}})]]+(\mathrm {d} \mathbf {r} ,\nabla )\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}})=\\&=0+{\partial \mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |))) \over \partial x}\mathrm {d} x+{\partial \mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}) \over \partial y}\mathrm {d} y+{\partial \mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |))) \over \partial z}\mathrm {d} z=\mathrm {d} (\ mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |))))\\\end{aligned}}.

Här visade sig noll vara en gradientfältrotor. Resultatet är den totala differentialen för vektorfunktionen

$\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}})$ . Så nu kan vi representera det som . Denna integral kan tas genom att integrera varje projektion separat. Låt oss till exempel integrera projektionen x. ${\mathbf {P}}$ $\mathbf {P} =-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}\mathbf {r} (\ mathrm {d} (\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |)))),\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})$

P_{x}=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}x(\mathrm {d} ( \mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |)))),\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}\mathrm {d} (x\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |))))-\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |)))\mathrm {d }x).

Integralen av den totala skillnaden över en sluten slinga är lika med noll: , därför kommer den att ha formen: $\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}\mathrm {d} (x\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}) )=0$ ${\displaystyle P_{x))$

P_{x}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\oint \limits _{\mathbb {C } _{2}'}\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |)))\mathrm {d} x)=\oint \limits _{\mathbb {C} _ {1}}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {\mathbf {r} _{1}- \mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}\mathrm {d} x_{2}).

Den här gången måste vi först integrera över konturen . Låt oss göra en förändring av variabel: , där vektorn ändras längs en sluten kontur . Då kan man skriva $C_{1}$ ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2))$ $\mathbf {r}$ $C_{1}'$

P_{x}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\mathrm {d} x_{2}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}'} (\mathrm {d} \mathbf {r} ,{\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3))})=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\mathrm {d} x_{2}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}'}(\mathrm {d} \mathbf {r} ,\mathrm {grad} ({ \frac {1}{|\mathbf {r} |}}))=0,

där gradienten återigen tas över variabeln . $\mathbf {r}$

Eftersom cirkulationen av gradientfältet längs en sluten kontur återigen dök upp i uttrycket, då . $P_{x}=0$

På liknande sätt kan vi skriva för de återstående två projektionerna:

P_{y}=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}y(\mathrm {d} ( \mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |)))),\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}\mathrm {d} (y\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |))))-\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |)))\mathrm {d }y)=0,

P_{z}=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}z(\mathrm {d} ( \mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |)))),\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}\mathrm {d} (z\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |))))-\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |)))\mathrm {d }z)=0.

Så . $\mathbf {P} =0$

Maxwell föreslog den mest allmänna formen av lagen om växelverkan mellan två elementära ledare med ström, där koefficienten k finns (den kan inte bestämmas utan några antaganden baserade på experiment där den aktiva strömmen bildar en sluten slinga) [4] :

\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}={\frac {1}{2}}{\mu _{0}I_{1}I_{2} \över 4 \pi }\left({\begin{aligned}&(3-k){\frac {(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})(\mathrm {d} \ mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3 ))}-3(1-k){\frac {(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r } _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf { r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{5))}-\\&-(1+k){\frac { \mathrm {d} \mathbf {r} _{1}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}) }{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}-(1+k){\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _ {2}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{1 }-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}\\\end{aligned}}\right).

I sin teori tog Ampère , Gauss satte , som Grassmann och Clausius . I icke-eteriska elektroniska teorier adopterade Weber och Riemann adopterade . Ritz lämnade odefinierad i sin teori. $k=-1$ $k=+1$ $k=-1$ $k=+1$ $k$

För kraften av interaktion av två slutna konturer och med ett standarduttryck erhålls. $C_{1}$ $C_{2}$ $k=+1$

beräkningsdetaljer

{\begin{aligned}&\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi } \left({\frac {(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \ mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r } _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}(\mathbf {r} _{1 }-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}| ^{3}}}\right)=\\&={\mu _{0}I_{1}I_{2} \över 4\pi }\left({\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}(\mathbf {r} _ {1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2 }|^{3}}}\right)\\\end{aligned}}.

Här kombinerades de två första termerna enligt Lagrange-identiteten, medan den tredje termen, när den integreras över slutna konturer , ger noll. Verkligen, $C_{1}$ $C_{2}$

\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _ {2}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{1 }-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}=\left[{\begin{aligned}&\mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}\\&C_{1}\högerpil C_{1}'\\\end{aligned}}\right]=\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}'}{\frac {(\mathbf {r} ,\mathrm {d} \mathbf {r} )}{ |\mathbf {r} |^{3}}}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\oint \limits _{ \mathbb {C} _{1}'}(\mathrm {grad} {\frac {1}{|\mathbf {r} |}},\mathrm {d} \mathbf {r} )=0.

Således får vi formen av Ampères lag som ges av Maxwell:

\mathbf {F} _{12}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{2)) \oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1 },\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3} }}.

Även om kraften alltid är densamma för olika , kan kraftmomentet variera. Till exempel, när två oändliga ledningar korsade i rät vinkel interagerar, kommer växelverkanskraften att vara noll. Om vi beräknar kraftmomentet som verkar på var och en av trådarna med hjälp av Grassmann-formeln, kommer ingen av dem att vara lika med noll (även om de kommer att vara lika med noll totalt). Om vi beräknar kraftmomentet enligt den ursprungliga Ampères lag kommer var och en av dem att vara lika med noll. $k$

Ampères lag som en relativistisk effekt

Elektrisk ström i en ledare är laddningens rörelse i förhållande till andra laddningar. Denna rörelse leder till effekter i SRT , som i klassisk fysik förklaras av en separat fysisk enhet - magnetism. I SRT kräver dessa effekter inte införandet av magnetism, och i den första approximationen är det tillräckligt att beakta Coulomb-interaktionerna. För att beskriva Ampères lag inom SRT beskrivs en metallledare med en rät linje med en viss linjär täthet av positiva laddningar och en rät linje med mobilladdningar. Laddningen är invariant , så effekten av Lorentzisk längdkontraktion skapar en skillnad mellan tätheten av positiva och negativa laddningar i en initialt neutral metalltråd. Därav uppkomsten av en attraktionskraft eller frånstötande kraft mellan två strömförande ledare. [5] [6]

Anteckningar

↑ GOST 8.417-2002. Statligt system för att säkerställa enhetlighet i mätningar. Enheter av kvantiteter. (inte tillgänglig länk) . Hämtad 7 november 2012. Arkiverad från originalet 10 november 2012. (obestämd)
↑ Etienne Klein, Marc Lachieze-Rey. The Quest for Unity: The Adventure of Physics . - New York: Oxford University Press, 1999. - S. 43-44 . — ISBN 0-19-512085-X .
↑ Roger G Newton. Från urverk till crapshoot: A History of Physics . - Belknap Press från Harward University Press, 2007. - S. 137 . - ISBN 978-0-674-03487-7 .
↑ Maxwell, James Clerk. Avhandling om elektricitet och magnetism. - Oxford, 1904. - S. 173.
↑ Föreläsning 1. Magnetostatik. Det magnetiska fältets relativistiska karaktär. // St. Petersburg Polytechnic University of Peter the Great (SPbPU) . Hämtad 27 december 2018. Arkiverad från originalet 28 december 2018. (obestämd)
↑ Savelyev I.V. Kurs i allmän fysik: Proc. ersättning. I 3 vol. T. 2. Elektricitet och magnetism. Vågor. Optik. - 3:e uppl., Rev. — M.: Nauka. Ch. ed. Phys.-Matte. lit., 1988. - 496 sid. s.120