Involution (matematik)

Involution (av lat. involutio - vikning, krullning) - en omvandling som är inversen av sig själv. Det antas ofta dessutom att en involution är en icke- identitetskartläggning .

Definition

En funktion kallas en involution om för någon . $f\kolon X\till X$ $f(f(x)) = x$ $x\i X$

Sammansättningen av två involutioner är en involution om och endast om de pendlar: . ${\displaystyle {f}\circ{g))$ $f$ $g$ ${f}\circ {g}=g\circ f$

$f(x) = -x$ , definierade på mängden heltal , rationella eller reella tal ; $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$
de enklaste involutionerna i mängden reella tal : $\mathbb {R}$ ${\dfrac {a}{x}}$ , , , , ; _ $axe$ ${\dfrac {x}{x-1))$ ${\dfrac {x+1}{x-1))$ ${\dfrac {x-1}{x+1}}$ ${\dfrac {ax+b}{cx-a}}$
$f(x)=\bar{x}$ är komplementet till den uppsättning som anges för delmängder av någon universell uppsättning ; $U$
$f(x)= \neg x$ - logisk negation av boolesk algebra ;
Bland planets rörelser finns det två typer av icke-triviala involutioner: centrala och spegelsymmetrier .
- Således motsvarar involutioner linjer och punkter, huvudobjekten för planimetri. Bachmanns axiomatik bygger på denna observation .
inversion ;
komplex konjugation ;
Legendre förvandling
En permutation är en involution om varje involution är en produkt av osammanhängande transponeringar, till exempel: $\tau$ $\tau\circ\tau=id$ $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ 5 & 7 & 4 & 3 & 1 & 8 & 2 & 6\end{pmatrix} = (1,5)(2 .7)(3.4)(6.8)$ .
- Antalet involutioner i ordningspermutationsgruppen bestäms av formlerna: $n$ $a(0)=1,\ a(1)=1,\ a(n)=a(n-1)+(n-1)a(n-2),\ n>1$ (återkommande formel), $a(n) = \sum_{k=0}^{[ n/2 ]}{\frac{n!}{2^k\cdot (n-2k)!\cdot k!))$ ,

(första värden : 1, 1 , 2 , 4 , 10 , 26 , 76 , 232, 764, 2620, 9496, 35696, 140152 [1] ).

en)