Fresnel-integraler

Fresnel-integralerna S ( x ) och C ( x ) är specialfunktioner uppkallade efter Augustin Jean Fresnel och används inom optik . De uppstår vid beräkning av Fresnel-diffraktionen och definieras som

S(x)=\int \limits _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt,\quad C(x)=\int \limits _{0}^{ x}\cos(t^{2})\,dt.

En parametrisk kurva av S ( x ) och C ( x ) ger en kurva i planet, kallad Cornuspiral eller clothoid .

Serieexpansion

Fresnel-integraler kan representeras av potensserier som konvergerar för alla x :

S(x)=\int \limits _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1) ^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!}}={\frac {x^{3}}{3}}-{\frac { x^{7}}{42}}+{\frac {x^{11}}{1320}}-\cdots ,

C(x)=\int \limits _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1) ^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}}=x-{\frac {x^{5}}{10}}+{\frac { x^{9}}{216}}-\cdots .

Vissa författare [1] använder som argument för trigonometriska integrander . Fresnel-integralerna som definieras på detta sätt erhålls från integralerna definierade ovan genom att ändra variabeln och multiplicera integralerna med . ${\frac {\pi }{2}}t^{2}$ $t\to {\sqrt {\frac {\pi }{2))}t$ ${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi ))))$

Spiral Cornu

En Cornuspiral , även känd som en klotoid , är en kurva som är en parametrisk plot av S ( t ) kontra C ( t ). Cornuspiralen uppfanns av Marie Alfred Cornu för att underlätta beräkningen av diffraktion i tillämpade problem.

Därför att

C\,'(t)^{2}+S\,'(t)^{2}=\sin ^{2}(t^{2})+\cos ^{2}(t^ {2})=1,

då i denna parametrisering har tangentvektorn enhetslängd, så t är längden på kurvan mätt från punkten (0,0). Därför har båda grenarna av spiralen oändlig längd.

Kurvaturen för denna kurva vid vilken punkt som helst är proportionell mot längden på bågen mellan den punkten och origo. På grund av denna egenskap används den i vägbyggen, eftersom vinkelaccelerationen för en bil som rör sig längs denna kurva med konstant hastighet kommer att förbli konstant.

Egenskaper

$S(x)$ och är udda funktioner . $C(x)$ $x$

Fresnel-integralernas asymptotik ges av formlerna $x\till \infty$

S(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {{\mbox{tecken}}{(x))){2}}-{\ frac {\cos {(x^{2})}}{x{\sqrt {2\pi }}}}\left[1+O(x^{-4})\right]-{\frac {\ sin {(x^{2})}}{x^{3}{\sqrt {8\pi }}}}\left[1+O(x^{-4})\right]\right),

C(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {{\mbox{tecken}}{(x))){2}}+{\ frac {\sin {(x^{2})}}{x{\sqrt {2\pi }}}}\left[1+O(x^{-4})\right]-{\frac {\ cos {(x^{2})}}{x^{3}{\sqrt {8\pi }}}}\left[1+O(x^{-4})\right]\right).

Med hjälp av serieexpansionen kan man konstruera en analytisk fortsättning av Fresnel-integralerna till hela det komplexa planet. De komplexa Fresnel-integralerna uttrycks i termer av felfunktionen som

S(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\left({\sqrt {i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {i}}\, x)+{\sqrt {-i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {-i}}\,x)\right)

C(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\left({\sqrt {-i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {i}}\ ,x)+{\sqrt {i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {-i}}\,x)\right)

Fresnel-integraler uttrycks inte i termer av elementära funktioner förutom i speciella fall. Gränsen för dessa funktioner vid är lika med $x\högerpil \infty$

\int \limits _{0}^{\infty }\cos t^{2}\,dt=\int \limits _{0}^{\infty }\sin t^{2}\,dt ={\frac {\sqrt {2\pi }}{4}}={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}.

Beräkning

Gränserna för funktionerna C och S at kan hittas med hjälp av konturintegration. För att göra detta tar vi konturintegralen av funktionen $x\högerpil \infty$

e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}

längs gränsen för sektorn på det komplexa plan som bildas av x-axeln, strålen och cirkeln med radien R centrerad vid origo. $y=x$ $x \geqslant 0$

Vid , tenderar integralen längs bågen till 0, integralen längs den reella axeln tenderar mot värdet av Poisson-integralen $R\rightarrow \infty$

\int \limits _{0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}dt={\sqrt {\frac {\pi }{2 }}},

och efter några transformationer kan integralen längs den återstående strålen uttryckas i termer av gränsvärdet för Fresnel-integralen.

Se även

Anteckningar

Milton Abramowitz och Irene A. Stegun, red. Handbok för matematiska funktioner med formler, grafer och matematiska tabeller. - New York: Dover, 1972. (Se del 7) (eng.)

↑ Ekvationer 7.3.1 - 7.3.2

Länkar

Weisstein, Eric W. Fresnel Integrals (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen . (Engelsk)
Weisstein, Eric W. Cornu Spiral (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen . (Engelsk)
R. Nave, The Cornu spiral , Hyperphysics (2002) (Använder πt²/2 istället för t². )
Roller Coaster Loop Shapes (inte tillgänglig länk) . Hämtad 13 augusti 2008. Arkiverad från originalet 4 mars 2006. (obestämd) (engelska).