Krökning

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 16 juni 2021; kontroller kräver 2 redigeringar .

Krökning är samlingsnamnet för ett antal egenskaper ( skalär , vektor , tensor ) som beskriver avvikelsen för ett eller annat geometriskt "objekt" ( kurva , yta , riemannsk rymd , etc.) från motsvarande "platta" objekt ( rät linje ) , plan , euklidiskt utrymme , etc. ) etc.).

Vanligtvis definieras krökningen för varje punkt på "objektet" och uttrycks som värdet av något 2:a ordningens differentialuttryck . Ibland definieras krökning i en integrerad mening, till exempel som ett mått används sådana definitioner för "objekt" med reducerad jämnhet. Som regel innebär den identiska försvinnandet av krökningen på alla punkter en lokal sammanträffande av det "objekt" som studeras med ett "platt" objekt.

Denna artikel ger bara några enkla exempel på definitioner av begreppet krökning.

Krökning av en kurva

Krökning av en kurva given parametriskt

Låta vara en regelbunden kurva i dimensionell euklidisk rymd parametriserad av dess längd . Sedan $\gamma (s)$ $d$ $s$

\kappa =|{\ddot {\gamma }}(s)|

kallas kurvans krökning vid punkten , betecknar här andraderivatan med avseende på . Vektor $\gamma$ $p=\gamma (s)$ ${\ddot {\gamma }}(s)$ $s$

k={\ddot {\gamma }}(s)

kallas krökningsvektorn vid punkten . $\gamma$ $p=\gamma (s)$

Uppenbarligen kan denna definition skrivas om i termer av tangentvektorn : $\tau (s)={\dot {\gamma }}(s)$

k={\dot {\tau }}(s),

där en punkt ovanför bokstaven betyder den första derivatan med avseende på s.

För en kurva given parametriskt, i det allmänna fallet, uttrycks krökningen med formeln

\kappa ={\frac {|\gamma '\times \gamma ''|}{|\gamma '|^{3}}}

där och, respektive, betecknar de första och andra derivatorna av radievektorn vid den önskade punkten med avseende på parametern (i detta fall, för en kurva i tredimensionellt rymd, kan man förstå vektorprodukten , för en kurva i två -dimensionellt utrymme, den pseudoskalära produkten , och för en kurva i ett utrymme av godtycklig dimension, den yttre produkten ). $\gamma '$ $\gamma ''$ $\gamma$ $\ gånger$

Relaterade begrepp

Den reciproka av krökningen av kurvan ( ) kallas krökningsradien ; den sammanfaller med radien för den sammanhängande cirkeln vid en given punkt på kurvan. Mitten av denna cirkel kallas krökningscentrum . Om kurvans krökning är noll, degenererar den sammanhängande cirkeln till en rät linje. $r=1/\kappa$

Kurvor i planet

För kurvor på ett plan finns det en ytterligare formel som används i de fall där kurvan inte ges parametriskt, utan som ett lokus för punkter som uppfyller en ekvation.

Låta vara en regelbunden kurva på det euklidiska planet med koordinater som ges av en ekvation med en två gånger kontinuerligt differentierbar funktion . Därefter beräknas dess krökning vid en punkt med formeln [1] $\gamma$ $(x,y)$ $F(x,y)=0$ $F$ $(x,y)$

\kappa (x,y)={\frac {|F_{y}^{2}F_{xx}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{x}^{2} F_{yy}|}{\left(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{\frac {3}{2))))

I synnerhet, om kurvan ges av ekvationen , beräknas dess krökning med formeln $y = f(x)$

\kappa (x)={\frac {|f''|}{({\sqrt {1+f'^{2}}})^{3}}}.

[2]

För att en kurva ska sammanfalla med något segment av en rät linje eller med hela den räta linjen, är det nödvändigt och tillräckligt att dess krökning (eller krökningsvektor) i alla punkter är identiskt lika med noll. $\gamma$

Orienterad krökning av en plan kurva

Om kurvan ligger i samma plan kan dess krökning tilldelas ett tecken. Sådan krökning kallas ofta orienterad . Detta kan göras enligt följande: om när punkten rör sig i den ökande parameterns riktning, sker rotationen av tangentvektorn moturs, då anses krökningen vara positiv, om den är medurs är den negativ. Orienterad krökning uttrycks med formeln

\kappa ={\frac {\gamma '\times \gamma ''}{|\gamma '|^{3))}={\frac {x'y''-x''y'}{ (x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}}.

Tecknet på krökningen beror på valet av parametrisering och har ingen geometrisk betydelse. Den geometriska betydelsen är en förändring av krökningens tecken när man passerar genom en viss punkt (den så kallade böjningspunkten ) eller bevarandet av tecknet i ett visst område (karaktären av kurvans konvexitet).

Mekanisk tolkning

Intuitivt kan krökning förstås med följande mekaniska tolkning

Antag att en materialpunkt rör sig längs en platt kurva. Då är modulen för accelerationens normalkomponent $a$

a=\kappa \cdot v^{2},

var är kurvans krökning, är punktens hastighet [3] . $\kappa$ $v$

Observera att kurvans krökning används som en fysisk kvantitet , har dimensionen omvänd mot längdenheten (i SI-systemet är den 1/m).

Ytkrökning

Låt det finnas en regelbunden yta i det tredimensionella euklidiska rummet . $\Phi$

Låt vara en poäng $sid$ $\phi ,$

T_{p}

är tangentplanet till punkten

\Phi

p,

n

är enheten normal till vid en punkt

\Phi

p,

a är ett plan som går igenom och någon enhetsvektor in

\pi _{e}

n

e

T_p.

Den kurva som erhålls som skärningspunkten mellan planet och ytan kallas normalsektionen av ytan vid en punkt i riktningen $\gamma_e,$ $\pi _{e}$ $\phi ,$ $\Phi$ $sid$ $e.$

\kappa _{e}=k\cdot n

där betecknar skalärprodukten , och är krökningsvektorn vid punkten , kallas ytans normala krökning i riktningen . Upp till ett tecken är normalkurvaturen lika med kurvans krökning . $\cdot$ $k$ $\gamma _{e}$ $sid$ $\Phi$ $e$ $\gamma _{e}$

Det finns två vinkelräta riktningar i tangentplanet och sådana att den normala krökningen i en godtycklig riktning kan representeras med hjälp av den så kallade Euler-formeln : $T_{p}$ $e_{1}$ $e_{2}$

\kappa _{e}=\kappa _{1}\cos ^{2}\alpha +\kappa _{2}\sin ^{2}\alpha

var är vinkeln mellan denna riktning och , a är värdena och normala krökningar i riktningarna och , de kallas huvudkrökningarna och riktningarna och är ytans huvudriktningar vid punkten . De huvudsakliga krökningarna är extremvärdena för de normala krökningarna. Strukturen av normala krökningar vid en given punkt på ytan avbildas bekvämt grafiskt med Dupins indicatrix . $\alfa$ $e_{1}$ $\kappa_{1}$ $\kappa_{2}$ $e_{1}$ $e_{2}$ $e_{1}$ $e_{2}$ $sid$

Värde

H=\kappa_{1}+\kappa_{2}

kallas ytans genomsnittliga krökning . [4] (Ibland används en annan definition: . [5] [6] ) $H={\tfrac {\kappa _{1}+\kappa _{2}}{2}}$

Värde

K=\kappa_{1}\kappa_{2}

kallas den Gaussiska krökningen eller ytans totala krökning .

Gaussisk krökning är ett föremål för ytornas inre geometri; i synnerhet förändras den inte under isometriska böjningar.

Se även

Litteratur

Vilenkin, N. On curvature , Kvant. - 1992. - Nr 4 . - S. 2-9, 15 . (ryska)
Gromov M. Tecken och geometrisk betydelse av krökning. - Izhevsk: Forskningscentrum "Regular and Chaotic Dynamics", 2000. - 128 sid. — ISBN 5-93972-020-X .
Pogorelov A. V. Differentialgeometri (6:e upplagan). Moskva: Nauka, 1974.
Rashevsky P. K. En kurs i differentialgeometri (3:e upplagan). M.-L.: GITTL, 1950.
Tabachnikov S. L. Om krökning // Kvant . - 1989. - Nr 5 . - S. 15-21, 42 .

Anteckningar

↑ Goldman, R. Krökningsformler för implicita kurvor och ytor // Computer Aided Geometric Design. - 2005. - T. 22 , nr 7 . - S. 632-658 . - doi : 10.1016/j.cagd.2005.06.005 .
↑ Schneider V. E. et al. En kort kurs i högre matematik. Proc. ersättning för universitet. M., "Högre. skolan" c. 368 . Hämtad 26 maj 2020. Arkiverad från originalet 15 januari 2022. (obestämd)
↑ Matematik, dess innehåll, metoder och betydelse (i tre volymer). - Sovjetunionens vetenskapsakademi, 1956. - T. 2. - S. 111, 113. - 397 sid.
↑ Mishchenko A. S., Fomenko A. T. En kort kurs i differentialgeometri och topologi. — M.: FIZMATLIT, 2004.
↑ Toponogov, V. A. Differentialgeometri för kurvor och ytor . - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 978-5-89155-213-5 .
↑ Chernavsky A. V. Differentialgeometri, år 2 .

Ordböcker och uppslagsverk	Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	GND : 4128765-4 J9U : 987007538479005171 LCCN : sh85034911 NDL : 00567236