Sammanhängande cirkel

En rörande cirkel , en krökningscirkel är en cirkel som är den bästa approximationen av en given kurva i närheten av en given punkt . Vid denna punkt har kurvan och den angivna cirkeln tangens , vars ordning är minst 2. En krökningscirkel existerar vid varje punkt av en två gånger differentierbar kurva med en krökning som inte är noll ; i fallet med nollkrökning bör tangentlinjen , "en cirkel med oändlig radie," betraktas som en kontakt.

En rörande cirkel (eller linje) vid en punkt på en kurva kan också definieras som gränsläget för en cirkel (eller linje) som går igenom och två punkter nära den när man närmar sig . $P$ $P$ $P_{1},\ P_{2}$ $P_{1},\ P_{2}$ $P$

Relaterade definitioner

Mitten av den sammanhängande cirkeln kallas krökningscentrum och radien kallas krökningsradien . Krökningsradien är den reciproka av krökningen av kurvan vid en given punkt: $r^{-1}=k$

Platsen för krökningscentrum i en kurva kallas evolutionen .

Koordinater för krökningscentrum

Krökningscentrum för en funktion vid en punkt är vid följande punkt [1] [2] : $y=f(x)$ $(x_0, f(x_0))$

{\Bigg (}x_{0}-{\frac {f'(x_{0})(1+(f'(x_{0}))^{2})}{f''(x_ {0})}},f(x_{0})+{\frac {1+(f'(x_{0}))^{2}}{f''(x_{0}))){\ Bigg )}

Egenskaper

Mitten av en rörande cirkel ligger alltid på kurvans huvudnormal ; därav följer att denna normal alltid är riktad mot kurvans konkavitet .
Inversionen av tangentcirkeln är tangentcirkeln för inversionen av kurvan vid motsvarande punkt.
Vid kurvans hörn och endast vid dem är tangentcirkelns tangentordning större än 2.
Tate-Kneser- satsen säger att om krökningen av en slät plan kurva är monoton, så är de sammanhängande cirklarna av denna kurva inbäddade i varandra.

Historik

Begreppet en sammanhängande cirkel ( lat. circulum osculans ) introducerades av Leibniz . Den motsvarande geometriska konstruktionen finns också i boken " Matematical Principles of Natural Philosophy " av Isaac Newton .

Variationer och generaliseringar

Den kontaktande sfären av rymdkurvan är sfären centrerad vid punkten $\gamma$ ${\displaystyle \Sigma _{s))$ $p(s)=\gamma (s)+{\tfrac {1}{k(s)}}\cdot \nu (s)-{\tfrac {k'(s)}{k^{2 }(s)\cdot \varkappa (s)}}\cdot \beta (s)$

passerar igenom . Här och betecknar krökningen och vridningen av kurvan, , , är Frenet-triedern .

\gamma (s)

k(s)

\varkappa(s)

\tau

\nu

\beta

Om kurvans krökning och vridning inte är noll, definieras den berörande sfären och är den enda sfären med vilken kurvan har en kontaktgrad på minst 3.

Anteckningar

↑ Schneider V. E. et al. En kort kurs i högre matematik. Proc. ersättning för universitet. M., "Högre. skolan" sid. 870 . Hämtad 26 maj 2020. Arkiverad från originalet 15 januari 2022. (obestämd)
↑ UpByte.Net . Hämtad 26 maj 2020. Arkiverad från originalet 5 juni 2020. (obestämd)