Fresnel diffraktion

Fresneldiffraktion är ett diffraktionsmönster , som observeras på ett litet avstånd från ett hinder, under förhållanden då skärmgränserna utgör det huvudsakliga bidraget till interferensmönstret .

Fresnel diffraktion : $F={\frac {\rho ^{2}}{z\lambda }}\geqslant 1$
Fraunhofer diffraktion : $F={\frac {\rho ^{2}}{z\lambda }}\ll 1$

Figuren visar schematiskt (till vänster) en ogenomskinlig skärm med ett runt hål ( öppning ), till vänster om vilken en ljuskälla finns . Bilden är fixerad på en annan skärm - till höger. På grund av diffraktion divergerar ljuset som passerar genom hålet, så området som mörknades enligt den geometriska optikens lagar kommer att vara delvis upplyst . I området som skulle belysas med rätlinjig utbredning av ljus observeras fluktuationer i belysningsintensiteten i form av koncentriska ringar.

Diffraktionsmönstret för Fresnel- diffraktion beror på avståndet mellan skärmarna och på placeringen av ljuskällorna. Det kan beräknas genom att anta att varje punkt på gränsen till bländaröppningen avger en sfärisk våg enligt Huygensprincipen . Vid observationspunkterna på den andra skärmen förstärker vågorna antingen varandra eller tar ut varandra beroende på vägskillnaden .

Fresnel-integral

I den skalära teorin om diffraktion ges fördelningen av det elektriska fältet för diffraktionsljus vid punkten (x, y, z) av Rayleigh-Sommerfeld-uttrycket:

E(x,y,z)=-{i \over \lambda }\iint _{{-\infty }}^{{+\infty }}{E(x',y',0){\frac { e^{{ikr}}}{r}}\cos \theta }dx'dy'

där , är den imaginära enheten för , och är cosinus för vinkeln mellan z- och r- riktningarna . I analytisk form kan denna integral endast representeras för de enklaste hålgeometrierna; därför beräknas den vanligtvis med numeriska metoder. $r={\sqrt {(xx')^{2}+(yy')^{2}+z^{2))}$ $i$ $\cos \theta ={\frac {z}{r))$

Fresnel Approximation

Den största svårigheten att beräkna integralen är uttrycket för r . Först förenklar vi beräkningarna genom att ändra variabler:

{\displaystyle \rho ^{2}=(xx')^{2}+(yy')^{2))

Genom att ersätta detta uttryck med r finner vi:

r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}=z{\sqrt {1+{\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}}}

Vi använder Taylor -seriens expansion

{\sqrt {1+u}}=(1+u)^{{1/2}}=1+{\frac {u}{2}}-{\frac {u^{2}}{8} }+\cdots

och uttrycka r som

r=z{\sqrt {1+{\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}}}=z\left[1+{\frac {\rho ^{2}}{2z ^{2}}}-{\frac {1}{8}}\left({\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}\right)^{2}+\cdots \ höger]=z+{\frac {\rho ^{2}}{2z}}-{\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}}}+\cdots

Om vi betraktar alla termer av expansionen kommer detta att vara det exakta uttrycket [1] . Vi ersätter detta uttryck med argumentet för exponentialfunktionen under integralen; nyckelrollen i Fresnel-approximationen spelas av försummelsen av den tredje termen i expansionen, som antas vara liten. För att detta ska vara möjligt måste det ha liten effekt på exponenten. Med andra ord måste den vara mycket mindre än exponentens period, dvs. $2\pi$

k{\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}}}\ll 2\pi .

Uttrycker k i termer av våglängd,

k={2\pi \over \lambda }

vi får följande förhållande:

{\frac {\rho ^{4}}{z^{3}\lambda }}\ll 8

Multiplicera båda sidor med , får vi $z/\lambda$

{\frac {\rho ^{4}}{z^{2}\lambda ^{2}}}\ll 8{z \over \lambda }

eller genom att ersätta ρ2 med det tidigare erhållna uttrycket ,

{\frac {[(xx')^{2}+(yy')^{2}]^{2}}{z^{2}\lambda ^{2}}}\ll 8{z \över \ lambda }

Om detta villkor är uppfyllt för alla värden på x , x' , y och y' , kan vi försumma den tredje termen i Taylor-expansionen. Dessutom, om den tredje termen är liten, är alla efterföljande termer av högre ordning också små och kan försummas. Sedan kan uttrycket approximeras med hjälp av två expansionstermer:

r\approx z+{\frac {(xx')^{2}+(yy')^{2}}{2z}}

Detta uttryck kallas Fresnel-approximationen , och den tidigare erhållna ojämlikheten är villkoret för tillämpligheten av denna approximation.

Fresnel diffraktion

Tillämpningsvillkoret är ganska svagt och gör att vi kan ta alla karakteristiska dimensioner som jämförbara värden om bländaren är mycket mindre än väglängden. Dessutom, eftersom vi bara är intresserade av ett litet område nära källan, är x och y mycket mindre än z , anta att det betyder , och r i nämnaren kan approximeras av uttrycket . $\theta \ca 0$ $\cos \theta \ca 1$ $r\ca$

I motsats till Fraunhofer -diffraktion måste Fresnel-diffraktion ta hänsyn till vågfrontens krökning för att korrekt ta hänsyn till de relativa faserna av interfererande vågor.

Det elektriska fältet för Fresnel-diffraktion i en punkt (x,y,z) ges som:

E(x,y,z)=-{i \over \lambda }{e^{{ikz}} \over z}\iint _{{-\infty }}^{{+\infty }}E(x ',y',0)e^{{{ik \over 2z}[(xx')^{2}+(yy')^{2}]}}dx'dy'

Detta är Fresnel-diffraktionsintegralen; det betyder att, om Fresnel-approximationen är giltig, är utbredningsfältet en våg som börjar vid öppningen och rör sig längs z . Integralen modulerar den sfäriska vågens amplitud och fas. En analytisk lösning av detta uttryck är endast möjlig i sällsynta fall. För en ytterligare förenkling som endast gäller för mycket större avstånd från diffraktionskällan, se Fraunhofer-diffraktion .

Se även

Anteckningar

↑ Approximationen var dock i föregående steg, då vi antog att det var en riktig våg. I verkligheten finns det ingen verklig lösning på vektorn Helmholtz-ekvationen , bara för en skalär. Se uppskattning av skalära vågor $e^{{ikr}}/r$

Litteratur

Landau L. D. , Lifshits E. M. Fältteori . - 7:e upplagan, reviderad. — M .: Nauka , 1988. — 512 sid. - (" Teoretisk fysik ", volym II). — ISBN 5-02-014420-7 .
Sivukhin DV Allmän kurs i fysik. — M. . - T. IV. Optik.

Länkar

http://www.falstad.com/diffraction/