Taylor-serien

Taylor-serien är expansionen av en funktion till en oändlig summa av potensfunktioner . Ett specialfall av expansion till en Taylor-serie vid nollpunkten kallas Maclaurin -serien .

Taylor-serien var känd långt före publiceringarna av Brooke Taylor [1] - den användes redan på 1300-talet i Indien [2] , såväl som på 1600-talet av Gregory och Newton .

Taylor-serier används när man approximerar en funktion med polynom . I synnerhet sker lineariseringen av ekvationer genom att expandera till en Taylor-serie och skära av alla termer ovanför första ordningen .

En generalisering av föreställningen om en Taylor-serie i funktionsanalys är Fantapie-serien .

Definition

1. Taylorpolynomet av en funktion av en reell variabel , differentierbara tider vid en punkt , är den ändliga summan $f(x)$ $x$ $k$ $a$

f(x)=\sum _{n=0}^{k}{\frac {f^{(n)}(a)}{n!)}}(xa)^{n}=f (a)+f'(a)(xa)+{\frac {f^{(2)}(a)}{2!}}(xa)^{2}+\ldots +{\frac {f^ { (k)}(a)}{k!}}(xa)^{k}

används i ungefärliga beräkningar , som en generalisering av konsekvensen av Lagrangesatsen på medelvärdet av en differentierbar funktion:

när det är sant .

xa=h\to 0

f(x)=f(a+h)=f(a)+f'(a)\cdot h+O(h^{2})\approx f(a)+f'(a)\ cdot h=f(a)+f'(a)\cdot(xa)

När vi skrev summan använde vi notationen och konventionen för produkten över den tomma uppsättningen: , . $f^{(0)}(x)=f(x)$ $0!=1$ $(xa)^{0}=1$

2. En Taylor-serie vid en punkt av en funktion av en reell variabel som är oändligt differentierbar i närheten av punkten kallas en formell potensserie $a$ $f(x)$ $x$ $a$

f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!)}}(xa)^{n} = \sum _{n=0}^{+\infty }\varphi _{n}(x;a)

med en gemensam medlem beroende på parametern .

\varphi _{n}(x;a)={\frac {f^{(n)}(a)}{n!)}}\cdot (xa)^{n}

a

Med andra ord, Taylor-serien för en funktion vid en punkt är expansionsserien för funktionen i positiva potenser av binomialet : $f(x)$ $a$ $(xa)$

f(x)=f(a)+f'(a)(xa)+{\frac {f''(a)}{2!}}(xa)^{2}+\ldots +{ \frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(xa)^{n}+\ldots \,

. [3]

Som anges i exemplen nedan är det inte tillräckligt att ha en funktion som är oändligt differentierbar i en punkts grannskap för att Taylor-serien ska konvergera till själva funktionen var som helst förutom vid själva punkten . $f(x)$ $a$ $a$

3. En Taylor-serie vid en punkt av en funktion av en komplex variabel som uppfyller Cauchy-Riemann-villkoren i någon omgivning av punkten kallas en potensserie $a$ $F Z)$ $z$ $U\subseteq \mathbb {C}$ $a$

f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!)}}(za)^{n}

I motsats till det verkliga fallet följer det av villkoren att det finns ett sådant värde på radien som konvergerar i en serie till funktionen . $R>0$ $D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\}\subseteq U$ $F Z)$

4. Fallrad $a=0$

f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!)}}x^{n}

kallas för Maclaurin -serien .

Analytisk funktion

1. En funktion av en reell variabel kallas analytisk vid en punkt om det finns en sådan radie och sådana koefficienter , , som kan representeras som en potensserie som konvergerar på ett intervall : , det vill säga . $f(x)$ $x$ $x=a$ $R>0$ $c_{k}=c_{k}(a)=c_{k}(a;f)\,$ $k=0,1,2,\dots \,$ $f(x)$ $(aR;a+R)$ $\sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(xa)}^{k}}}\,$ $\forall x\in (aR;a+R)$ $\Höger pil$ $\lim _{n\to +\infty }\,\sum \limits _{k=0}^{n}{{c_{k}}{{(xa)}^{k}}}= f(x)$

En funktion kallas analytisk på ett intervall (på en uppsättning) om den är analytisk vid varje punkt i detta intervall (uppsättning).

2. En potensserie på vilken kompakt delmängd som helst av konvergensdomänen tillåter term-för-term differentiering hur många gånger som helst. ${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(za)}^{k))))$ $K$ ${\displaystyle D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\))$

Om vi substituerar till den :e derivatan av funktionen får vi . $k$ ${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(za)}^{k))))$ $z=a$ ${c_{k}}\cdot k!$

Således, för en funktion analytisk vid en punkt, för vissa överallt i , är representationen korrekt . $a$ $F Z)$ $R>0$ ${\displaystyle D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\))$ ${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!))(za)^{k))$

Följd. En funktion av en reell variabel är analytisk vid en punkt om och endast om den är lika med dess Taylor-serie med en parameter på något öppet intervall som innehåller punkten . $f(x)$ $x$ $a$ $a$ $a$

3. Fråga: för en godtycklig funktion av en reell variabel som är oändligt differentierbar vid en punkt , kommer dess Taylor-serie att konvergera till överallt på något intervall , det vill säga är den representerad av denna serie? $a$ $f(x)$ $x$ $\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(xa)^{k}$ $f(x)$ $(aR;a+R)$ $f(x)$

Svar: nej. Det finns oändligt differentierbara funktioner för en reell variabel vars Taylor-serie konvergerar men skiljer sig från funktionen i alla områden av . $a$

Exempel. Funktionerna av en reell variabel , , är oändligt differentierbara vid punkten , och alla dessa derivator är lika med noll. $f_{2}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x^{2))))},&x\neq 0 \\0,&x=0\end{array}}\right.\,$ $f_{+}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x)))),&x>0\\0,&x \leq 0\end{array}}\right.\,$ $f_{\rm {v}}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{|x|}}}},&x\ neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.\,$ $x=0$

Därför är Taylor-serien för alla dessa funktioner med en parameter identiskt lika med noll. Men för alla i närheten av punkten finns det punkter där funktionerna skiljer sig från . Således är dessa funktioner inte analytiska vid en punkt. $a=0$ $R>0$ $(-R;+R)$ $a=0$ $0$ $a=0$

Bevis

Vi kommer att utföra beviset för den funktion som föreslås av Augustin-Louis Cauchy . $f(x)=f_{2}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x^{2))))} ,&x\neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.\,$

Funktionen är en analytisk funktion av en komplex variabel för alla . $\exp \left(-{\frac {1}{z^{2))}\right)$ $z\in {\overline {\mathbb {C} }}\setminus \{0\}$

För det är uppenbart att . $z \neq 0$ ${\frac {d}{dz}}\exp \left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)=\exp \left(-{\frac {1}{ z^{2}}}\right)\cdot \left({\frac {2}{z^{3}}}\right)$

Funktionen för är den "korrigerade" funktionen , , kompletterad med gränser till vänster och höger vid punkten . $f(x)$ $x\in \mathbb {R}$ $\exp \left(-{\frac {1}{x^{2))}\right)$ $x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$ $\lim _{x\to 0,x<0}\exp \left(-{\frac {1}{x^{2))}\right)=0$ $\lim _{x\to 0,x>0}\exp \left(-{\frac {1}{x^{2))}\right)=0$ $x=0$

Låt oss hitta derivatan av funktionen vid punkten . Per definition: . $f(x)$ $x=0$ $f'(0)=\lim _{\Delta x\to 0,\Delta x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f(0+\Delta x) -f(0)}{\Delta x}}=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f(h)-0}{ h))={\frac {0}{0}}=\lim _{h\till 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f'(h)} {h'}}=\lim _{h\till 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {2f(h)}{{h}^{3}}}$

Eftersom for är uppfyllt kommer vi att bevisa att för godtyckligt är sant . $x\in (0;1)$ ${\displaystyle 0<e^{-{\frac {1}{x^{2))))<e^{-{\frac {1}{x))))$ $\alpha >0$ $\lim _{x\to 0,x>0}{\frac {e^{-{\frac {1}{x)))){x^{\alpha }}}=0$

Tillämpa L'Hopitals regel direkt på delar

\lim _{x\to 0,x>0}e^{-{\frac {1}{x))}=\lim _{x\to 0,x>0}x^{\alpha }=0

leder inte till resultat.

Låt oss ändra variabeln : ${\frac {1}{x}}=t$

${\displaystyle \lim _{x\to 0,x>0}{\frac {e^{-{\frac {1}{x)))){x^{\alpha }}}=\lim _{ t\to +\infty }{\frac {t^{\alpha }}{e^{t}}}={\frac {+\infty }{+\infty }}=\lim _{t\to + \infty }{\frac {\alpha t^{\alpha -1}}{e^{t))))$ .

Låt . Genom att tillämpa L'Hopitals regeltider får vi i täljaren antingen (för ) en konstant eller (för ) en infinitesimal : $k=\lceil \alpha \rceil$ $k$ $\alpha =k$ $k!$ $\alpha <k$ ${\displaystyle \alpha (\alpha -1)\ldots (\alpha -k+1)t^{\alpha -k))$

\lim _{t\to +\infty }{\frac {t^{\alpha }}{e^{t}}}={\frac {+\infty }{+\infty }}=\ ldots =\lim _{t\to +\infty }{\frac {\alpha (\alpha -1)\ldots (\alpha -k+1)t^{\alpha -k)){e^{t} }}=0

På det här sättet,

f'(0)=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {2f(h)}{{h}^{3 }}}=0

Hitta (för ) flera initiala derivator av funktionen : $x\neq 0$ $f(x)$

{\displaystyle f'(x)={\frac {2f(x)}{x^{3))))

f''(x)=\left({\frac {2f(x)}{x^{3}}}\right)'=2\left({f'(x){\frac {1 }{x^{3}}}+f(x)\left({\frac {1}{x^{3}}}\right)'}\right)=2\left({{\frac {2f (x)}{x^{3))}{\frac {1}{x^{3}}}+f(x)\left({\frac {1}{x^{3}}}\höger )'}\right)=2f(x)\left({{\frac {2}{x^{6}}}-{\frac {3}{x^{4}}}}\right)

f'''(x)=\left({2f(x)\left(({\frac {2}{x^{6}}}-{\frac {3}{x^{4} }}}\right)}\right)'=4f(x)\left({{\frac {2}{x^{9}}}-{\frac {3}{x^{7}}}+ {\frac {6}{x^{5}}}-{\frac {6}{x^{7}}}}\right)

Och så vidare. I alla fall är resultatet uppenbarligen en produkt av summan av negativa heltalspotenser . En finit summa av infinitesimals är infinitesimal. Alltså ,. $f(x)$ $x$ $\lim _{x\to 0,x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}f^{(k)}(x)=0$

Genom att sekventiellt beräkna per definition (som ovan) derivatorna vid punkten , finner vi att alla derivator vid punkten är lika med noll. $f(x)$ $x=0$ $x=0$

Konvergensdomän för Taylor-serien

Taylor-serien, som är en potensserie, har som konvergensområde en cirkel (centrerad vid punkten ) för fallet med en komplex variabel och ett intervall (centrerad i punkten ) för fallet med en reell variabel. $a$ $a$

1. Till exempel kan en funktion utökas i en Taylor-serie enligt följande: (detta är den välkända formeln för summan av en oändligt minskande geometrisk progression). Men om funktionen är definierad för alla reella tal förutom punkten , då konvergerar serien endast under villkoret . $f(x)={\frac {1}{1-x))$ ${\frac {1}{1-x}}=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{x^{k}}$ ${\frac {1}{1-x}}$ $x=1$ $\sum \limits _{k=0}^{\infty }{x^{k))$ $|x|<1$

2. Konvergensradien för Taylor-serien kan bestämmas, till exempel med hjälp av d'Alembert-formeln:

R=\lim _{k\to \infty }\left|{\dfrac {\dfrac {{f^{(k)))(a)}{k!)}{\dfrac {{f^ {(k+1)}}(a)}{(k+1)!}}}\right|=\lim _{k\to \infty }\left|{{\frac {{f^{(k) )}}(a)}{{f^{(k+1)}}(a)}}(k+1)}\right|

3. Betrakta till exempel exponentialfunktionen . Eftersom varje derivata av en exponentialfunktion är lika med själva funktionen vid vilken punkt som helst, är konvergensradien för exponentialfunktionen . Detta betyder att Taylor-serien för exponentialfunktionen konvergerar på hela axeln för vilken parameter som helst . $e^{x}$ $R=\lim _{k\to \infty }\left|({\frac {e^{a}}{e^{a}}}(k+1)}\right|=\lim _ {k\to \infty }(k+1)=\infty$ $x$ $a$

4. Området för dess konvergens beror på parametern, expansionspunkten för Taylor-serien. $a$

Låt oss till exempel utöka funktionen : i det allmänna fallet (för ett godtyckligt ) i en Taylor-serie . $a$ $f(x)={\frac {1}{1-x))$ $f(x)={\frac {1}{1-x}}={\frac {1}{1-a}}\summa \limits _{k=0}^{\infty }{{ \left({\frac {xa}{1-a}}\right)}^{k}}$

Det kan bevisas med formeln för summan av en geometrisk progression att den givna serien, som en funktion av argumentet , har samma form för alla värden (förutom ). $x$ $a$ $a=1$

Verkligen,

{\frac {1}{1-a}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{{\left({\frac {xa}{1-a}}\right) }^{k))={\frac {1}{1-a}}\cdot {\frac {1}{1-\left({\dfrac {xa}{1-a}}\right))) ={\frac {1}{1-x}}

Seriens konvergensintervall kan ges av ojämlikheten . Och nu beror detta område på . Till exempel för , serien konvergerar för . För , serien konvergerar vid . $\left|{\frac {xa}{1-a}}\right|<1$ $a$ $a=0$ $x\in (-1;1)$ $a=0{,}5$ $x\in (0;1)$

Taylor formel

Antag att funktionen har alla derivator upp till -: e ordningen inklusive i något intervall som innehåller punkten . Hitta ett polynom av högst grad , vars värde vid en punkt är lika med värdet på funktionen vid denna punkt, och värdena på dess derivator upp till -th ordningen inklusive vid punkten är lika med värdena av motsvarande derivator av funktionen vid denna punkt. $f(x)$ $n+1$ $x=a$ ${P_{n}}(x)$ $n$ $x=a$ $f(x)$ $n$ $x=a$ $f(x)$

Det är ganska lätt att bevisa att ett sådant polynom har formen , det vill säga det är den -: e partiella summan av Taylor-serien av funktionen . Skillnaden mellan en funktion och ett polynom kallas resttermen och betecknas . Formeln kallas Taylor-formeln [4] . Den återstående termen är differentierbara tider i den betraktade närheten av punkten . Taylors formel används för att bevisa ett stort antal satser i differentialkalkyl . Talat löst visar Taylor-formeln beteendet hos en funktion i närheten av en viss punkt. ${P_{n}}(x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{{\frac {{f^{(k)))(a)}{k!)} } {{(xa)}^{k}}}$ $n$ $f(x)$ $f(x)$ ${P_{n}}(x)$ ${R_{n}}(x)=f(x)-{P_{n}}(x)$ $f(x)={P_{n}}(x)+{R_{n}}(x)$ $n+1$ $a$

Sats:

Om en funktion har en derivata på ett segment med slutar och , så finns det för ett godtyckligt positivt tal en punkt mellan och , så att $f(x)$ $n+1$ $a$ $x$ $sid$ $\xi$ $a$ $x$

f(x)=\summa _{k=0}^{n}{f^{(k)}(a) \över k!}(xa)^{k}+\left({xa \ över x-\xi }\right)^{p}{(x-\xi )^{n+1} \över n!p}f^{(n+1)}(\xi ).

Detta är Taylor-formeln med en restterm i allmän form ( Schlömilch- Roche - formen ).

Olika former av resten

I Lagrange- formen :

R_{n}(x)={(xa)^{n+1} \over (n+1)!}f^{(n+1)}[a+\theta (xa)]\qquad p =n+1;\qquad 0<\theta <1

Slutsats Differentiera med avseende på båda sidor av Taylor-formeln gånger:

x

n

{\begin{array}{l}1)f(x)'=f(a)'+\sum \limits _{k=2}^{n}{{\frac {{f^{( k)}}(a)}{(k-1)!}}{{(xa)}^{k-1}}}+{R_{n}}(x)'\\2)f(x) ''=f(a)''+\sum \limits _{k=3}^{n}{{\frac {{f^{(k)}}(a)}{(k-2)!} {{(xa)}^{k-2}}}+{R_{n}}(x)''\\...\\n-1)f{(x)^{(n-1) }}=f{(a)^{(n-1)}}+{f^{(n)}}(a)(xa)+{R_{n}}{(x)^{(n-1 )}}\\n)f{(x)^{(n)}}={f^{(n)}}(a)+{R_{n}}{(x)^{(n)}} \end{array}}

(Särskilt härifrån är det tydligt att det är en egenskap för resten av termen i någon form.)

{R_{n}}(a)={R_{n}}(a)'={R_{n}}(a)''=...={R_{n}}{(a) ^{(n)}}=0

Enligt Lagranges sats (eftersom den motsvarar satsens villkor) finns det en sådan punkt mellan och (det vill säga den är inte lika med antingen , eller ) att . Härifrån . Låt oss återigen skilja den sista identiteten med avseende på och få .

f(x)

\xi

x

a

\xi

x

a

f{(x)^{(n)}}-{f^{(n)}}(a)=f{(\xi )^{(n+1)}}(xa)

{R_{n}}{(x)^{(n)}}=f{(\xi )^{(n+1)))(xa)

x

{R_{n}}{(x)^{(n+1)}}=f{(\xi )^{(n+1)))

Låt den återstående termen anges i formuläret . Sedan, för det första, är det och alla dess derivator lika med noll vid punkten , och för det andra, . I slutet kan du också göra en variabelsubstitution: . Formeln har släppts.

{R_{n}}(x)={\frac {f{{(\xi )}^{(n+1)}}{{(xa)}^{n+1}}}{( n+1)!}}

x=a

{R_{n}}{(x)^{(n+1)}}=f{(\xi )^{(n+1)))

\xi =a+\theta (xa),\qquad 0<\theta <1

I Cauchy form :

R_{n}(x)={(xa)^{n+1}(1-\theta )^{n} \över n!}f^{(n+1)}[a+\theta ( xa)]\qquad p=1;\qquad 0<\theta <1

I integrerad form:

R_{n}(x)={1 \över n!}\int \limits _{a}^{x}(xt)^{n}f^{(n+1)}(t)\ ,dt

Slutsats Genom att använda metoden integration by parts får vi

{\begin{array}{l}{R_{n}}(x)={\frac {1}{n!}}\int \limits _{a}^{x}{{{(xt )}^{n}}{f^{(n+1)}}(t)dt}={\frac {1}{n!}}\int \limits _{a}^{x}{{{ (xt)}^{n}}d{f^{(n)}}(t)}={\frac {1}{n!}}\left.{\left({{{(xt)}^ {n}}{f^{(n)}}(t)}\right)}\right|_{a}^{x}-{\frac {1}{n!)}}\int \limits _ { a}^{x}{{f^{(n)}}(t)d}{(xt)^{n}}=\\={\frac {1}{(n-1)!}} \ int \limits _{a}^{x}{{{(xt)}^{n-1}}{f^{(n)}}(t)d}t-{\frac {{{(xa ) }^{n}}{f^{(n)}}(a)}{n!}}=...=\int \limits _{a}^{x}{f'(t)d} t -\summa \limits _{k=1}^{n}{\frac {{f^{(k)}}(a){{(xa)}^{k}}}{k!}}= f (x)-\summa \limits _{k=0}^{n}{\frac {{f^{(k)}}(a){{(xa)}^{k}}}{k! } }\end{array}}

var

f(x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\frac {{f^{(k)))(a){{(xa)}^{k))} {k!}}+{R_{n}}(x)

Låt oss lätta på antagandena:

Låt funktionen ha en derivata i någon grannskap av punkten och den :e derivatan vid själva punkten , då: $f(x)$ $n-1$ $a$ $n$ $a$

I asymptotisk form ( Peano- form , lokal form):

R_{n}(x)=o[(xa)^{n}]

Slutsats Sedan kan gränsen för relationen som tenderar att hittas av L'Hopitals regel:

{R_{n}}(a)={R_{n}}(a)'={R_{n}}(a)''=...={R_{n}}{(a) ^{(n)}}=0

{\frac {{R_{n}}(x)}{{(xa)}^{n}}}

x

a

\lim _{x\to a}{\frac {{R_{n}}(x)}{{(xa)}^{n}}}=\lim _{x\to a}{\ frac {{R_{n}}(x)'}{\left({{(xa)}^{n}}\right)'}}=\lim _{x\to a}{\frac {{R_ {n}}(x)''}{\left({{(xa)}^{n}}\right)''}}=...=\lim _{x\to a}{\frac { {R_{n}}{{(x)}^{(n)}}}{{\left({{(xa)}^{n}}\right)}^{(n)}}}=\ lim _{x\to a}{\frac {{R_{n}}{{(x)}^{(n)}}}{n!)}}=0

Eftersom gränsen är noll, betyder det att den återstående termen är en infinitesimal funktion av högre ordning än , för . Och detta är definitionen av o-small.

R_{n}(x)

{\displaystyle (xa)^{n))

x\to a

Kriterium för en funktions analyticitet

Antag att någon funktion behöver utökas i en Taylor-serie någon gång . För att göra detta måste du först se till att funktionen är analytisk (det vill säga bokstavligen nedbrytbar) vid denna tidpunkt. Annars blir det inte utbyggnaden av funktionen till en Taylor-serie, utan helt enkelt en Taylor-serie som inte är lika med dess funktion. Dessutom, som kan ses från exemplet med Cauchy-funktionen, kan funktionen vara differentierbar vid punkten godtyckligt , och dess Taylor-serie med en parameter kan vara konvergent, men Taylor-serien kanske inte är lika med dess funktion. $f(x)$ $x=a$ $a$ $a$

För det första är ett nödvändigt villkor för en funktions analyticitet konvergensen av Taylor-serien i någon kontinuerlig region. Faktum är att om Taylor-serien bara konvergerar vid en punkt, så är detta poängen , eftersom Taylor-serien alltid konvergerar vid den. Men då är Taylor-serien lika med funktionen endast vid denna enda punkt, vilket betyder att denna funktion inte kommer att vara analytisk. $x=a$ $f(x)$

För det andra, enligt Taylor-formeln, kan vilken som helst (inte bara analytisk) funktion som är oändligt differentierbar i en stadsdel som innehåller punkten utökas till en Taylor-serie med en restterm . Låt Taylor-serien med parametern för en sådan funktion konvergera i detta område. Om det finns en gräns för var och en av två sekvenser, är gränsen för summan av dessa sekvenser lika med summan av deras gränser. Sedan kan vi för alla från grannskapet , med hjälp av Taylor-formeln, skriva , var är Taylor-serien. $a$ $a$ $x$ $a$ $\lim _{n\to \infty }R_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }(f(x)-P_{n}(x))=f(x) -\lim _{n\to \infty }P_{n}(x)$ $\lim _{n\to \infty }P_{n}(x)$

Det är uppenbart att en funktion är analytisk vid en punkt om och endast om det i den specificerade omgivningen av punkten finns ett kontinuerligt område så att resten av termen av dess expansion enligt Taylor-formeln tenderar till noll med ökande : . $f(x)$ $a$ $a$ $X$ $x\i X$ $n$ $\lim _{n\to \infty }R_{n}(x)=0$

Låt oss ta en exponentiell funktion som ett exempel . Dess Taylor-serie konvergerar på hela axeln för alla parametrar . Låt oss nu bevisa att denna funktion är analytisk på alla punkter . $e^{x}$ $x$ $a$ $a$

Den återstående termen av expansionen av denna funktion i Lagrange-formen har formen , där är något tal inneslutet mellan och (inte godtyckligt, men inte känt). Då uppenbarligen ${R_{n}}(x)={\frac {{(xa)}^{n+1}}{(n+1)!}}{e^{\xi _{n}}}$ $\xi _{n}$ $x$ $a$

\lim _{n\to \infty }{R_{n}}(x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {{(xa)}^{n+1}}{ (n+1)!}}{e^{\xi _{n}}}\leq M\cdot \lim _{n\to \infty }{\frac {{(xa)}^{n+1} }{(n+1)!}}=0

Det används här att på ett fast intervall är exponenten begränsad till något antal $M$

Dessutom, som kan ses, är gränsen för den återstående termen lika med noll för alla och . $x$ $a$

Maclaurin-serien med vissa funktioner

Utställare : $\displaystyle {\mathrm {e}}^{{x}}=1+{\dfrac {x}{1!}}+{\dfrac {x^{2}}{2!}}+{\dfrac { x^{3}}{3!}}+\cdots =\sum \limits _{{n=0}}^{{\infty }}{\dfrac {x^{n}}{n!}}, x\in {\mathbb {C}}$
Naturlig logaritm (" Mercator-serien "): för alla $\displaystyle \ln(1+x)=x-{\dfrac {x^{2}}{2}}+{\dfrac {x^{3}}{3}}-\cdots =\sum \limits _ {{n=0}}^{{\infty }}{\dfrac {(-1)^{n}x^{{n+1}}}{(n+1)}}=\summa \limits _ {{n=1}}^{{\infty }}{\dfrac {(-1)^{{n-1}}x^{n}}{n}},$ $-1< x\le 1$
Binomial expansion : för alla och alla komplexa var $\displaystyle (1+x)^{\alpha }=1+\sum \limits _{{n=1}}^({\infty }}{\binom \alpha n}x^{n},$ $\vänster| x\höger| < 1$ $\alfa,$ $\displaystyle {\binom {\alpha }{n}}=\prod \limits _{k=1}^{n}{\dfrac {\alpha -k+1}{k}}={\dfrac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!)}}$
- Kvadratrot : för alla $\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+{\dfrac {x}{2}}-{\dfrac {x^{2}}{8}}+{\dfrac {x^{ 3}}{16}}-{\dfrac {5x^{4}}{128}}+\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^ {n}(2n)!}{(1-2n)n!^{2}4^{n}}}x^{n},$ $|x|\leq 1$
- ${\dfrac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots =1+\summa \limits _{n=1}^{\ infty }x^{n},$ för alla $|x| < 1$
- Slutlig geometrisk serie: för alla $\displaystyle {\dfrac {1-x^{{m+1}}}{1-x}}=\summa \limits _{{n=0}}^{{m}}x^{n},$ ${\displaystyle x\not =1,\ m\in \mathbb {N} _{0))$
Trigonometriska funktioner :
- Sinus: $\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7} }{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n }x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$
- Cosinus: $\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots =\sum _{ n=0}^{\infty }{(-1)^{n}}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}},x\in \mathbb {C}$
- Tangent: för alla var är Bernoulli-nummer $\displaystyle \operatorname {tg}\ x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots =\sum _{{n =1}}^{{\infty }}{\frac {B_{{2n}}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{{ 2n-1}},$ $\left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2)),$ $B_{2n}$
- Sekant: för alla var är Euler-talen $\displaystyle \sec x=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {(-1)^{n}E_{{2n}}}{(2n)!}}x ^{{2n}}$ $\left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2))$ $E_{2n}$
- Arcsine: för alla [6] $\displaystyle \arcsin x=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots \ =\sum _{{n=0} }^{{\infty }}{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)))x^{{2n+1}}$ $\left|x\right|\leq 1$
- Arccosine: för alla $\displaystyle \arccos x={\pi \over 2}-\arcsin x={\pi \over 2}-\sum _{{n=0}}^({\infty }}{\frac {(2n) !}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{{2n+1}}$ $\left|x\right|\leq 1$
- Arctangent: för alla $\displaystyle \operatörsnamn {arctg} \ x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \ =\ summa _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}x^{2n-1}$ $\left|x\right|\leq 1$
Hyperboliska funktioner :
- $\operatorname {sh} x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots =\sum _{ n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1},x\in \mathbb {C}$
- $\operatorname {ch} x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots =\sum _ {n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n},x\in \mathbb {C}$
- $\operatorname {th} x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-\cdots =\sum _{n =1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}$ för alla $\left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2))$
- $\operatorname {arsh} x=x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}-\cdots \ =\sum _{ n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)))x^{ 2n+1}$ för alla $\vänster| x\höger| < 1$
- $\operatorname {arth} x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+\cdots =\sum _{n= 0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}$ för alla $\vänster| x\höger| < 1$

Taylors formel för en funktion av två variabler

Låt funktionen ha kontinuerliga derivator upp till ordningen inklusive i någon omgivning av punkten . Vi introducerar differentialoperatören $f(x,y)$ $(n+1)$ $(x_0, y_0)$

\mathrm{T}=(x-x_0)\dfrac {\partial} {\partial x}+(y-y_0)\dfrac {\partial} {\partial y}

Då kommer expansionen (Taylor-formeln) av funktionen i potenser för i ett område av punkten att ha formen $f(x,y)$ ${\displaystyle (x-x_{0})^{p}(y-y_{0})^{q))$ $p+q\leq n$ $(x_0, y_0)$

f(x,y)=\sum\limits_{k=0}^n \dfrac {\mathrm{T}^kf(x_0,y_0)} {k!} + R_n(x,y),

var är den återstående termen i Lagrange-formen: $R_n(x,y)$

R_n(x,y)=\dfrac {\mathrm{T}^{(n+1)} f(\xi,\zeta)} {(n+1)!},\ \xi \in [x_0,x ],\ \zeta \in [y_0,y]

Observera att operatörerna och endast agerar på funktionen , inte på och/eller . ${\dfrac {\partial }{\partial x))$ ${\dfrac {\partial }{\partial y))$ ${\displaystyle \mathrm {T} ^{k))$ $f(x,y)$ $(x-x_0)$ $(y-y_{0})$

På samma sätt är formeln byggd för funktioner av valfritt antal variabler, bara antalet termer i operatorn ändras . $\mathrm{T}$

När det gäller en funktion av en variabel . $\mathrm {T} =(x-x_{0}){\dfrac {d}{dx}}\,$

Taylor-formel för många variabler

För att erhålla Taylor-formeln för en funktion av variabler , som i något område av punkten har kontinuerliga derivator upp till -: e ordningen inklusive, introducerar vi differentialoperatorn $n$ $f(x_1, x_2, ... x_n)$ $(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ $(m+1)$

\mathrm {T} =(x_{1}-a_{1}){\dfrac {\partial }{\partial x_{1))}+(x_{2}-a_{2}){\ dfrac {\partial }{\partial x_{2}}}+...+(x_{n}-a_{n}){\dfrac {\partial }{\partial x_{n}}}.

Då har expansionen (Taylor-formeln) av funktionen i potenser i ett område av punkten formen $(x_{i}-a_{i})^{k_{i))$ $(a_{1},a_{2},...,a_{n})$

f(x_{1},x_{2},...x_{n})=\summa \limits _{k=0}^{m}{\dfrac {\mathrm {T} ^{k }f(a_{1},a_{2},...,a_{n})}{k!}}+R_{m}(x_{1},x_{2},...x_{n }),

var är resten av beställningen . $R_m(x_1, x_2, ... x_n)$ $(m+1)$

För en funktion av variabler som är oändligt differentierbar i något område av punkten , har Taylor-serien formen $n$ $(a_{1},a_{2},...,a_{n})$

f(x_{1},x_{2},...x_{n})=\sum \limits _{k_{1}=0}^{\infty }\sum \limits _{k_{ 2}=0}^{\infty }...\sum \limits _{k_{n}=0}^{\infty }C_{k_{1},k_{2},...k_{n} }(x_{1}-a_{1})^{k_{1}}(x_{2}-a_{2})^{k_{2}}...(x_{n}-a_{n} )^{k_{n}}

var

C_{k_{1},k_{2},...k_{n))={\dfrac {1}{k_{1}!k_{2}!...k_{n}!} }{\dfrac {\partial ^{k_{1}+k_{2}+...+k_{n))}{\partial x_{1}^{k_{1))\partial x_{2}^ {k_{2}}...\partial x_{n}^{k_{n}}}}f(x_{1},x_{2},...x_{n})|_{x_{1 }=a_{1},x_{2}=a_{2},...,x_{n}=a_{n}}

Ett exempel på Maclaurins serieexpansion av en funktion av tre variabler

Låt oss hitta ett uttryck för Taylor-seriens expansion av funktionen av tre variabler , och i närheten av punkten upp till den andra ordningen av litenhet. Operatören kommer att se ut $x$ $y$ $z$ $(0,0,0)$ $\mathrm{T}$

\mathrm{T}= x \dfrac {\partial} {\partial x}+ y \dfrac {\partial} {\partial y}+ z \dfrac {\partial} {\partial z}.

Expansionen i en Taylor-serie kan skrivas som

f(x,y,z)=\sum \limits _{k=0}^{2}{\dfrac {\mathrm {T} ^{k}f_{0}}{k!)}} + R_{2}(x,y,z)=

=\left(1+T+{\frac {T^{2}}{2}}\right)f_{0}+R_{2}(x,y,z);

Givet att

T^2 = x^2 \dfrac {\partial^2} {\partial x^2}+ y^2 \dfrac {\partial^2} {\partial y^2}+ z^2 \dfrac {\partial ^2} {\partial z^2} + 2xy \dfrac {\partial^2} {\partial x \partial y} + 2xz \dfrac {\partial^2} {\partial x \partial z}+ 2yz \dfrac {\partial^2} {\partial y \partial z},

vi får

f(x,y,z)=f_{0}+x{\dfrac {\partial f_{0}}{\partial x}}+y{\dfrac {\partial f_{0}}{\ partiell y))+z{\dfrac {\partial f_{0)){\partial z))+{\frac {x^{2)){2)){\dfrac {\partial ^{2}f_{ 0}}{\partial x^{2}}}+{\frac {y^{2}}{2}}{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial y^{2 ))}+{\frac {z^{2}}{2}}{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial z^{2}}}+

+xy{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial x\partial y}}+xz{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial x \partial z}}+yz{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial y\partial z}}+R_{2}(x,y,z).

Till exempel, vid , $f(x,y,z)=e^{x+y+z}$

f(x,y,z)=1+x+y+z+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {y^{2}}{2}}+{ \frac {z^{2}}{2}}+xy+xz+yz+R_{2}(x,y,z).

Anteckningar

↑ Taylor, Brook, Methodus Incrementorum Directa et Inversa [Direkta och omvända metoder för inkrementering] (London, 1715), sidorna 21-23 (Proposition VII, Theorem 3, Corollary 2). Översatt till engelska i DJ Struik, A Source Book in Mathematics 1200-1800 (Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1969), sidorna 329-332.
↑ Gupta RC Madhava-Gregory-serien, Math. Education 7 (1973), B67-B70.
↑ Zaporozhets G. I. "Guide för att lösa problem i matematisk analys" - S. 371
↑ N.S. Piskunov. Differential- och integralkalkyl. - Mithril, 1996. - S. Volym 1, kapitel 4, stycke 6.
↑ N.S. Piskunov. Differential- och integralkalkyl för tekniska högskolor. - trettonde. - MOSKVA "NAUKA", 1985. - S. Volym 2, kapitel 16, stycke 16.
↑ Med ett värde på x nära 1 ger denna beräkningsformel ett stort fel. Därför kan du använda formeln var $\arcsin x = \arccos \sqrt{1-x^2},$ $\arccos x = {\pi\över 2}-\arcsin x$

Litteratur

Ilyin V. A., Sadovnichiy V. A., Sendov B. Kh. Matematisk analys, del 1, red. 3, ed. A. N. Tikhonov. M.: Prospekt, 2004.
Kamynin L. I. Matematisk analys. T. 1, 2. - 2001.
Kiselev V. Yu., Pyartli A. S., Kalugina T. F. Högre matematik. Första terminen, interaktiv datorlärobok.
Markushevich AI Teori för analytiska funktioner. I 2 volymer - Ed. 2:a. — M .: Nauka , 1967 . - Volym 1: Teorins början. — 486 sid.
Narasimhan R. Analys av verkliga och komplexa grenrör. - per. från engelska. E. M. Chirki. — M .: Mir , 1971 . — 232 sid.
Petrova S. S., Romanovska D. A. Om historien om upptäckten av Taylor-serien. // Historisk och matematisk forskning . - M . : Nauka , 1980. - Nr 25 . - S. 10-24 .
Piskunov N. S. Differential- och integralkalkyl för tekniska högskolor. I 2 volymer - Ed. 13:e. - M . : Nauka, Huvudupplagan av fysisk och matematisk litteratur , 1985 . - T. 1. - 432 sid.
Piskunov N. S. Differential- och integralkalkyl för tekniska högskolor. I 2 volymer - Ed. 13:e. - M . : Nauka, Huvudupplagan av fysisk och matematisk litteratur , 1985 . - T. 2. - 560 sid.
Fikhtengol'ts G. M. Kurs för differential- och integralkalkyl. I 3 band - Ed. 8:a. — M .: FIZMATLIT , 2003 . - T. I. - 680 sid. — ISBN ISBN 5-9221-0156-0 .

Sekvenser och rader
Sekvenser	Numerisk sekvens Grundläggande sekvens Linjär återkommande sekvens Fibonacci-siffror lockiga siffror Faktoriell Barker-sekvens de bruijn sekvens
Rader, grundläggande	Radsumma Resten av raden Villkorlig konvergens Omväxlande serie Rad flersektion
Nummerserier ( operationer med nummerserier )	harmonisk serie Leibniz-serien En serie omvända kvadrater En serie ömsesidiga primtal Dirichlet rad Mercator-serien Rad Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funktionella rader	Taylor-serien Laurent-serien Fourier-serier Trigonometrisk Fourier-serie trigonometrisk serie Wiener-serien
Andra radtyper	Neumann-serien Puiseux rad

Differentialkalkyl

Main

privata vyer

Differentialoperatorer
( i olika koordinater )

Första beställning	Nabla-operatör Lutning Divergens Rotor Helmholtzian
andra beställning	Elliptisk operatör Laplace-operatör Laplace vektor operatör D'Alembert operatör Laplace-Beltrami operatör
högre order	Hypoelliptisk operatör

Relaterade ämnen