Fredholms integralekvation [1] är en integralekvation vars kärna är Fredholmskärnan . Uppkallad efter den svenske matematikern Ivar Fredholm . Med tiden växte studiet av Fredholmsekvationen till en oberoende sektion av funktionsanalys - Fredholmsteori , som studerar Fredholmskärnor och Fredholmsoperatorer .
Den allmänna teorin som bygger på Fredholmsekvationerna är känd som Fredholmsteorin . Teorin betraktar en integrerad transformation av en speciell form
där funktionen kallas ekvationens kärna och operatorn definierad som
, kallas Fredholm-operatören (eller integralen).
Ett av de grundläggande resultaten är det faktum att kärnan i K är en kompakt operator , även känd som Fredholm-operatorn . Kompaktheten kan visas med enhetlig kontinuitet . Som en operator kan spektralteori appliceras på kärnan och studera spektrumet av egenvärden .
Den inhomogena Fredholmsekvationen av det första slaget har formen:
och problemet är att, för en given kontinuerlig funktion av kärnan och funktionen, hitta funktionen .
Om kärnan är en funktion av skillnaden mellan dess argument, det vill säga och integrationens gränser , så kan den högra sidan av ekvationen skrivas om som en faltning av funktioner och , och därför ges lösningen av formeln
där och är de direkta respektive inversa Fouriertransformerna . De nödvändiga och tillräckliga förutsättningarna för existensen av en lösning definieras av Picards teorem .
Den inhomogena Fredholmsekvationen av det andra slaget ser ut så här:
.Problemet är att hitta funktionen som har en kärna och en funktion . I det här fallet beror förekomsten av en lösning och dess mångfald på ett tal som kallas det karakteristiska talet (inversen av det kallas proper ). Standardlösningsmetoden använder begreppet resolvent ; lösningen skriven som en serie är känd som Liouville-Neumann-serien .
A.D. Polyanin, A.V. Manzhirov. Handbok för integralekvationer. Moskva, Fizmatlit, 2003.