Fredholms integralekvation

Fredholms integralekvation [1] är en integralekvation vars kärna är Fredholmskärnan . Uppkallad efter den svenske matematikern Ivar Fredholm . Med tiden växte studiet av Fredholmsekvationen till en oberoende sektion av funktionsanalys - Fredholmsteori , som studerar Fredholmskärnor och Fredholmsoperatorer .

Allmän teori

Den allmänna teorin som bygger på Fredholmsekvationerna är känd som Fredholmsteorin . Teorin betraktar en integrerad transformation av en speciell form

$\psi(s) = \int\limits_a^b\!K(s, t) \varphi(t)\, dt$

där funktionen kallas ekvationens kärna och operatorn definierad som $K$ $A$

$A\varphi = \int\limits_a^b\!K(s, t) \varphi(t)\, dt$ , kallas Fredholm-operatören (eller integralen).

Ett av de grundläggande resultaten är det faktum att kärnan i K är en kompakt operator , även känd som Fredholm-operatorn . Kompaktheten kan visas med enhetlig kontinuitet . Som en operator kan spektralteori appliceras på kärnan och studera spektrumet av egenvärden .

Ekvation av det första slaget

Den inhomogena Fredholmsekvationen av det första slaget har formen:

g(t)=\int\limits_a^b\!K(t,s)f(s)\,ds

och problemet är att, för en given kontinuerlig funktion av kärnan och funktionen, hitta funktionen . $K(t,s)$ $g(t)$ $f(s)$

Om kärnan är en funktion av skillnaden mellan dess argument, det vill säga och integrationens gränser , så kan den högra sidan av ekvationen skrivas om som en faltning av funktioner och , och därför ges lösningen av formeln $K(t,s)=K(ts)$ $\pm \infty$ $K$ $f$

f(t) = \mathcal{F}_\omega^{-1}\vänster[ {\mathcal{F}_t[g(t)](\omega)\över \mathcal{F}_t[K(t) )](\omega)} \right]=\int\limits_{-\infty}^\infty\!{\mathcal{F}_t[g(t)](\omega)\över \mathcal{F}_t [K(t)](\omega)}e^{2\pi i \omega t}\,d\omega

där och är de direkta respektive inversa Fouriertransformerna . De nödvändiga och tillräckliga förutsättningarna för existensen av en lösning definieras av Picards teorem . ${\mathcal {F}}_{t}$ $\mathcal{F}_\omega^{-1}$

Ekvation av det andra slaget

Den inhomogena Fredholmsekvationen av det andra slaget ser ut så här:

\varphi (s)=\lambda \int \limits _{a}^{b}\!K(s,t)\varphi (t)\,dt+f(s)

Problemet är att hitta funktionen som har en kärna och en funktion . I det här fallet beror förekomsten av en lösning och dess mångfald på ett tal som kallas det karakteristiska talet (inversen av det kallas proper ). Standardlösningsmetoden använder begreppet resolvent ; lösningen skriven som en serie är känd som Liouville-Neumann-serien . $K(t, s)$ $med)$ $\varphi (t)$ $\lambda$

Anteckningar

↑ BRE . Hämtad 18 juni 2020. Arkiverad från originalet 20 juni 2020. (obestämd)

Länkar

Integral Equations: Exact Solutions - från EqWorld: The World of Mathematical Equations.

Integralekvationer: Lösningsmetoder - från EqWorld: The World of Mathematical Equations.

Föreslagen läsning

A.D. Polyanin, A.V. Manzhirov. Handbok för integralekvationer. Moskva, Fizmatlit, 2003.