Integral sinus

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 23 april 2019; kontroller kräver 2 redigeringar .

Integral sinus är en speciell funktion som definieras av integralen [1] :

$\operatörsnamn {Si}\,x=\int \limits _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,dt.$

Ibland använder de också notationen $\operatörsnamn {si}\,x:$

$\operatörsnamn {si}\,x=-\int \limits _{x}^{\infty }{\frac {\sin t}{t))\,dt=\operatörsnamn {Si}\,x-{\ frac {\pi }{2}}.$

Integralsinus kan definieras genom integralexponentialfunktionen i analogi med sinus [2] :

$\operatörsnamn {si}\,x={\frac {1}{2i}}\left(\operatörsnamn {Ei}\,(ix)-\operatörsnamn {Ei}\,(-ix)\right).$

Integral sinus introducerades av Lorenzo Mascheroni 1790.

Egenskaper

Integral sinus- udda funktion :

\operatörsnamn {Si}\,(-x)=-\,\operatörsnamn {Si}\,x.

Integralsinus har asymptoter :

\lim _{{x\to +\infty }}\operatörsnamn {Si}\,x={\frac {\pi }{2)),

\lim _{{x\to +\infty }}\operatörsnamn {si}\,x=0,

\lim _{{x\to -\infty }}\operatörsnamn {Si}\,x=-{\frac {\pi }{2)),

\lim _{{x\to -\infty }}\operatörsnamn {si}\,x=-\pi .

Integralsinus har lokala extrema vid punkter $x=\pm \pi ,\,\pm 2\pi ,\,\pm 3\pi ,\,\cdots$

Serieexpansion

\operatörsnamn {Si}\,x=x-{\frac {x^{3}}{3\cdot 3!}}+{\frac {x^{5}}{5\cdot 5!}}-{ \frac {x^{7}}{7\cdot 7!}}+\cdots =\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{{n}} }{(2n+1)!(2n+1)}}x^{{2n+1}}.

Denna serie används för den praktiska beräkningen av integralsinus, och i enlighet med Leibniz-satsen kommer felet att vara mindre än modulen för den senast tagna termen i denna serie.

Se även

Anteckningar

↑ Korn G., Korn T. Handbok i matematik för vetenskapsmän och ingenjörer. // M.: Nauka, 1968. - S. 625.
↑ Bateman G., Erdeyi A. Higher transcendental functions, vol. 2 // M.: Nauka, 1974. - P. 149.

Litteratur

Matematisk encyklopedisk ordbok. - M. , 1995. - S. 238.