Interpolationsformler

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 5 oktober 2016; kontroller kräver 6 redigeringar .

Interpolationsformler - i matematik, formler som ger ett ungefärligt uttryck för en funktion med hjälp av interpolation , det vill säga genom ett interpolationspolynom av grad , vars värden vid givna punkter sammanfaller med värdena för funktionen vid dessa punkter. Polynomet definieras på ett unikt sätt, men beroende på uppgiften är det bekvämt att skriva det i olika formler. $f(x)$ $P_n(x)$ $n$ ${\displaystyle x_{0},\;x_{1},\ldots ,x_{n))$ ${\displaystyle y_{0},\;y_{1},\ldots ,y_{n))$ $f$ $P_n(x)$

Lagranges interpolationsformel

Funktionen kan interpoleras på ett segment med ett interpolationspolynom skrivet i Lagrange-formen [1] : $f$ $[x_{0},x_{n}]$ $P_n(x)$

P_{n}(x)=\summa _{k=0}^{n}y_{k}{\frac {(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots ( x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\ldots (x-x_{n})}{(x_{k}-x_{0})(x_{k}-x_{ 1})\ldots (x_{k}-x_{k-1})(x_{k}-x_{k+1})\ldots (x_{k}-x_{n})}},

medan felet att interpolera funktionen med ett polynom [2] : $\f(x)$ $\P_n(x)$

|f(x)-P_n(x)|\le \frac {\|f^{(n+1)}(x)\|} {(n+1)!}\cdot \|\Pi_n(x) \|, \qquad \Pi_n(x)=(x-x_0)(x-x_1) \ldots(x-x_n).

I utrymmet för verkliga kontinuerliga funktioner tar motsvarande normer formen:

\|f^{(n+1)}(x)\|= \max_{x \in [x_0,x_n]}|f^{(n+1)}(x)|, \qquad \|\Pi_n (x)\|=\max_{x \i [x_0,x_n]}|\Pi_n(x)|.

Newtons interpolationsformel

Om punkterna är belägna på lika avstånd , kan polynomet skrivas som [3] : ${\displaystyle x_{0},\;x_{1},\ldots ,x_{n))$ $(x_{k}=x_{0}+kh)$ $P_n(x)$

P_{n}(x_{0}+th)=y_{0}+t\Delta y_{0}+{\frac {t(t-1)}{2))\Delta ^{2} y_{0}+\ldots +{\frac {t(t-1)\cdots (t-n+1)}{n!}}\Delta ^{n}y_{0}.

Här och är skillnaden i ändlig ordning . Detta är den så kallade Newtonformeln för framåtinterpolation. Dess namn indikerar att den innehåller de givna värdena som motsvarar interpolationsnoderna som ligger precis till höger om . Denna formel är praktisk när du interpolerar funktioner för värden nära . När du interpolerar funktioner för värden nära , är det lämpligt att transformera Newtons formel genom att ändra ursprunget (se nedan Stirling- och Bessel-formlerna). $x_{0}+th=x$ $\Delta ^{k}$ $k$ $f$ $x_{0}$ $x$ $x_{0}$ $x$ $x_k$

En kort form av Newtons interpolationsformel för fallet med ekvidistanta noder [4] :

P_{n}(x)=\summa _{m=0}^{n}\left(C_{x}^{m}\summa _{k=0}^{m}(-1) ^{k}\,C_{m}^{k}\,f(k)\höger)

var är binomialkoefficienterna generaliserade till domänen av reella tal . $C_{x}^{m}$

Newtons formel kan också skrivas för ojämnt fördelade noder, med de uppdelade skillnaderna för detta . Till skillnad från Lagrange-formeln, där varje term beror på alla interpolationsnoder, beror varje -te term i Newtons formel på de första (från origo) noderna, och att lägga till nya noder lägger bara till nya termer till formeln, vilket ger den en fördel i vad gäller kostnadseffektivitet för beräkningar [ 5] . $k$

Stirlings interpolationsformel

Om vi använder en uppsättning noder , där , sedan med hjälp av Newtons formel, kan vi få Stirlingformeln [6] : $x_{k}=x_{0}+kh$ $k=-n,\;-n+1,\ldots ,-1,\;0,\;1,\ldots ,n$

P_{n}(x_{0}+th)=y_{0}+t\delta y_{0}+{\frac {t^{2}}{2}}\delta ^{2}y_ {0}+\ldots +{\frac {t(t^{2}-1)\ldots (t^{2}-(n-1)^{2})}{(2n-1)!}} \delta ^{2n-1}y_{0}+{\frac {t^{2}(t^{2}-1)\ldots (t^{2}-(n-1)^{2}) }{(2n)!}}\delta ^{2n}y_{0}.

Här , och är den centrala ändliga skillnaden i ordning . $t={\frac {x-x_{0}}{h}}$ ${\displaystyle \delta ^{k))$ $k$

Bessels interpolationsformel

På liknande sätt kan man få Bessel-formeln, som har formen [7]

P_{n}(x_{0}+th)=y_{1/2}+\left(t-{\frac {1}{2}}\right)\Delta y_{1/2}+ {\frac {t(t-1)}{2}}\Delta ^{2}y_{1/2}+\cdots +{\frac {t(t^{2}-1)\cdots (t^ {2}-(n-1)^{2})(tn)}{(2n)!}}\Delta ^{2n}y_{1/2}+{\frac {t(t^{2}- 1)\cdots (t^{2}-(n-1)^{2})(tn)(t-{\frac {1}{2)))}{(2n+1)!}}\Delta ^{2n+1}y_{1/2}.

Denna formel är särskilt praktisk för interpolation vid , eftersom i detta fall alla termer som innehåller ändliga skillnader av en udda ordning försvinner. Detta fall motsvarar värdet , det vill säga interpolation "till mitten" [8] . $t={\frac {1}{2}}$ $x=x_{0}+{\frac {1}{2}}h$

Se även

Anteckningar

↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , sid. 85.
↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , sid. 91.
↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , sid. 119.
↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , sid. 115.
↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , sid. 107.
↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , sid. 127.
↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , sid. 129.
↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , sid. 130.

Litteratur

Goncharov, VL Teori för interpolation och approximation av funktioner. - 2:a uppl., reviderad .. -M .:Statens förlag för teknisk och teoretisk litteratur, 1954.
Berezin, I. S. , Zhidkov N. P. Computational methods. - 2:a uppl. -M .:Fizmatlit, 1962. - T. I. (ryska)

Länkar

[bse.sci-lib.com/article055748.html Stora sovjetiska encyklopedin]