Interpolationsformler - i matematik, formler som ger ett ungefärligt uttryck för en funktion med hjälp av interpolation , det vill säga genom ett interpolationspolynom av grad , vars värden vid givna punkter sammanfaller med värdena för funktionen vid dessa punkter. Polynomet definieras på ett unikt sätt, men beroende på uppgiften är det bekvämt att skriva det i olika formler.
Funktionen kan interpoleras på ett segment med ett interpolationspolynom skrivet i Lagrange-formen [1] :
medan felet att interpolera funktionen med ett polynom [2] :
I utrymmet för verkliga kontinuerliga funktioner tar motsvarande normer formen:
Om punkterna är belägna på lika avstånd , kan polynomet skrivas som [3] :
Här och är skillnaden i ändlig ordning . Detta är den så kallade Newtonformeln för framåtinterpolation. Dess namn indikerar att den innehåller de givna värdena som motsvarar interpolationsnoderna som ligger precis till höger om . Denna formel är praktisk när du interpolerar funktioner för värden nära . När du interpolerar funktioner för värden nära , är det lämpligt att transformera Newtons formel genom att ändra ursprunget (se nedan Stirling- och Bessel-formlerna).
En kort form av Newtons interpolationsformel för fallet med ekvidistanta noder [4] :
var är binomialkoefficienterna generaliserade till domänen av reella tal .
Newtons formel kan också skrivas för ojämnt fördelade noder, med de uppdelade skillnaderna för detta . Till skillnad från Lagrange-formeln, där varje term beror på alla interpolationsnoder, beror varje -te term i Newtons formel på de första (från origo) noderna, och att lägga till nya noder lägger bara till nya termer till formeln, vilket ger den en fördel i vad gäller kostnadseffektivitet för beräkningar [ 5] .
Om vi använder en uppsättning noder , där , sedan med hjälp av Newtons formel, kan vi få Stirlingformeln [6] :
Här , och är den centrala ändliga skillnaden i ordning .
På liknande sätt kan man få Bessel-formeln, som har formen [7]
Denna formel är särskilt praktisk för interpolation vid , eftersom i detta fall alla termer som innehåller ändliga skillnader av en udda ordning försvinner. Detta fall motsvarar värdet , det vill säga interpolation "till mitten" [8] .