Quas-analytisk funktion

Kvasianalytiska funktioner i matematisk analys är en klass av funktioner som löst sett kan rekonstrueras helt från sina värden i ett litet område (till exempel på gränsen till en region). Denna egenskap underlättar i hög grad lösningen av differentialekvationer och studiet av andra analysproblem. Eftersom denna egenskap gäller för analytiska funktioner (se komplex analys ), så innehåller klassen av kvasianalytiska funktioner klassen av vanliga analytiska funktioner och kan betraktas som en förlängning av den [1] .

Definitioner

Enstaka variabelfunktioner

En av de många kännetecknen för en analytisk funktion : låt funktionen vara oändligt differentierbar vid alla punkter i segmentet och låt det finnas ett tal (beroende på funktionen) så att olikheten gäller för alla punkter: $f(x)$ $[a,b]$ $A$ $x\i[a,b]$

|f^{(n)}(x)|\leqslant A^{n}n!

(ett)

Då är funktionen analytisk ( den omvända satsen är också sann) [2] . $f(x)$

Jacques Hadamard föreslog 1912 att generalisera ovanstående ojämlikhet genom att ersätta sekvensen med en sekvens av den allmänna formen av positiva reella tal . Han definierade på intervallet [ a , b ] klassen av funktioner C M ([ a , b ]) enligt följande: $n!$ ${\displaystyle M=\{M_{k}\}_{k=0}^{\infty ))$

Alla funktioner från klassen är oändligt differentierbara ( f ∈ C ∞ ([ a , b ])), och på alla punkter x ∈ [ a , b ] och för alla är följande villkor uppfyllt: $f$ $k\geqslant 0$

\left|{\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)\right|\leqslant A^{k}k!M_{k}

(2)

där A är någon konstant (beroende på funktionen).

Om vi tar sekvensen M k =1, så får vi, enligt vad som sades i början av avsnittet, exakt klassen av vanliga reella analytiska funktioner på intervallet [ a , b ].

Klassen C M ([ a , b ]) kallas kvasi -analytisk om för någon funktion f ∈ C M ([ a , b ]) unikhetsvillkoret är uppfyllt : om vid någon punkt x ∈ [ a , b ] för alla k , då är f identiskt lika med noll. ${\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)=0$

Elementen i en kvasianalytisk klass kallas kvasianalytiska funktioner . Ovanstående villkor innebär att två funktioner som sammanfaller någon gång tillsammans med alla deras derivator sammanfaller överallt. Med andra ord bestämmer värdena för en funktion i ett godtyckligt litet område helt alla dess värden.

Funktioner för flera variabler

För en funktion och för en uppsättning index betecknar vi: $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ${\displaystyle j=(j_{1},j_{2},\ldots ,j_{n})\in \mathbb {N} ^{n))$

{\displaystyle |j|=j_{1}+j_{2}+\ldots +j_{n))

D^{j}={\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{1}^{j_{1}}\partial x_{2}^{j_{2}}\ldots \ partiell x_{n}^{j_{n}}}}}

j!=j_{1}!j_{2}!\ldots j_{n}!

x^{j}=x_{1}^{j_{1}}x_{2}^{j_{2}}\ldots x_{n}^{j_{n}}.

Då kallas det kvasi -analytisk i en öppen domän om det för varje kompakt finns en konstant sådan att: $f$ $U\subset \mathbb {R} ^{n},$ $K\subset U$ $A$

\left|D^{j}f(x)\right|\leqslant A^{|j|+1}j!M_{|j|}

för alla index från setet och på alla punkter . $j\in \mathbb {N} ^{n}$ $x\i K$

Klassen av kvasianalytiska funktioner av variabler med avseende på en sekvens på en mängd kan betecknas med , även om det finns andra notationer i källorna. $n$ $M$ $U$ $C_{n}^{M}(U)$

Kvasianalytiska klasser för logaritmiskt konvexa sekvenser

Antag att i ovanstående definition , och sekvensen är icke- minskande. Denna sekvens sägs vara logaritmiskt konvex om villkoret är uppfyllt: $M_{1}=1$ $M_{k}$

Sekvensen ökar.

{M_{k+1} \over M_{k}}

Om sekvensen är logaritmiskt konvex, då: $M_{k}$

{\displaystyle (M_{k})^{1/k))

ökar också.

M_{r}M_{s}\leqslant M_{r+s}

för alla .

(r,s)\in \mathbb {N} ^{2}

För logaritmiskt konvex är den kvasianalytiska klassen en ring . I synnerhet är det stängt under multiplikation och sammansättning . Det senare betyder: $M$ $C_{n}^{M}$

Om och , då .

{\displaystyle f=(f_{1},f_{2},\ldots f_{p})\in (C_{n}^{M})^{p))

g\in C_{p}^{M}

g\circ f\in C_{n}^{M}

Denjoy-Carleman teorem

Denjoy-Carleman-satsen formulerades och delvis löstes av Arnaud Denjoy ( Denjoy (1921 )) och bevisades fullständigt av Thorsten Carleman ( Carleman (1926 )). Denna sats ger ett kriterium för att avgöra under vilka sekvenser M funktionerna C M ([ a , b ]) bildar en kvasianalytisk klass.

Enligt satsen är följande påståenden likvärdiga:

C M ([ a , b ]) är en kvasianalytisk klass.
$\sum 1/L_{j}=\infty ,$ var . $L_{j}=\inf _{k\geq j}(k\cdot M_{k}^{1/k})$
$\sum _{j}(jM_{j}^{*})^{-1/j}=\infty ,$ där M j * är den största logaritmiskt konvexa sekvensen som ovan avgränsas av M j .
$\sum _{j}{\frac {M_{j-1}^{*}}{(j+1)M_{j}^{*}}}=\infty .$

För att bevisa att påståendena 3, 4 är ekvivalenta med 2:an används Carlemans ojämlikhet .

Exempel : Denjoy (1921 ) [3] påpekade att om en av sekvenserna ges $M_{n}$

1,\,{(\ln n)}^{n},\,{(\ln n)}^{n}\,{(\ln \ln n)}^{n},\, {(\ln n)}^{n}\,{(\ln \ln n)}^{n}\,{(\ln \ln \ln n)}^{n},\dots ,

då är motsvarande klass kvasianalytisk. Den första sekvensen (av enheter) ger de vanliga analytiska funktionerna.

Ytterligare egenskaper

För en logaritmiskt konvex sekvens gäller följande egenskaper för motsvarande funktionsklass. $M$

$C^{M}$ sammanfaller med klassen av analytiska funktioner om och endast om . $\sup _{j\geq 1}(M_{j})^{1/j}<\infty$
Om är en annan logaritmiskt konvex sekvens för vilken (här är en konstant), då . $N$ ${\displaystyle M_{j}\leqslant C^{j}N_{j))$ $C$ $C^{M}\subset C^{N}$
$C^{M}$ stabil med avseende på differentiering om och endast om . $\sup _{j\geq 1}(M_{j+1}/M_{j})^{1/j}<\infty$
För varje oändligt differentierbar funktion kan man hitta kvasianalytiska ringar och och element så att . $f$ $C^{M}$ $C^{N}$ $g\in C^{M},h\in C^{N}$ $f=g+h$

Indelning enligt Weierstrass

Definition . En funktion sägs vara av vanlig ordning med avseende på om och . $g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $d$ $x_{n}$ ${\displaystyle g(0,x_{n})=h(x_{n})x_{n}^{d))$ $h(0)\neq 0$

Låt vara en vanlig ordningsfunktion med avseende på . Det sägs att en ring av reella eller komplexa funktioner av variabler uppfyller Weierstrass-divisionen med avseende på om det finns för var och en så att: $g$ $d$ $x_{n}$ $En}$ $n$ $g$ $f\in A_{n}$ $q\in A$ ${\displaystyle h_{1},h_{2},\ldots ,h_{d-1}\in A_{n-1))$

f=gq+h

, var .

{\displaystyle h(x',x_{n})=\sum _{j=0}^{d-1}h_{j}(x')x_{n}^{j))

Exempel : Ringen av analytiska funktioner och ringen av formella potensserier uppfyller båda Weierstrass divisionsegenskapen. Om dock är logaritmiskt konvex och inte sammanfaller med klassen av analytiska funktioner, så uppfyller den inte Weierstrass divisionsegenskapen med avseende på . $M$ $C^{M}$ $C^{M}$ ${\displaystyle g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=x_{1}+x_{2}^{2))$

Historik

Nyckelfrågan i detta ämne är förmågan hos en analytisk funktion att unikt återställa sitt "globala utseende" från värdena för själva funktionen och dess derivator vid en godtycklig regelbunden punkt [4] . Émile Borel var den första som upptäckte att denna egenskap inte bara gäller för analytiska funktioner.

1912 formulerade Jacques Hadamard frågan: vilken sekvens skulle vara för att ovanstående " unikitetsvillkor " skulle hålla för ett funktionspar från motsvarande klass. Arnaud Denjoy gav 1921 tillräckliga förutsättningar för kvasianalyticitet och ett antal exempel på kvasianalytiska klasser (se Denjoy (1921 )). En fullständig lösning på problemet gavs fem år senare av Thorsten Carleman (se Carleman (1926 )), som fastställde de nödvändiga och tillräckliga förutsättningarna för kvasianalyticitet [1] . $M_{n},$

Senare generaliserade S. N. Bernshtein och S. Mandelbroit begreppet kvasi-analyticitet till klasser av icke-differentiera och till och med diskontinuerliga funktioner. Det enklaste exemplet är uppsättningen lösningar av en linjär differentialekvation med kontinuerliga koefficienter; funktionerna som ingår i denna lösning har generellt sett inte ett oändligt antal derivator [5] ..

Anteckningar

↑ 1 2 Mathematical Encyclopedia, 1979 , sid. 798.
↑ Mandelbroit, 1937 , sid. 10-12.
↑ Leontiev, 2001 .
↑ Mandelbroit, 1937 , sid. 9-11.
↑ Gorny, 1938 , sid. 171.

Litteratur

Gorny A. Kvasianalytiska funktioner // Framsteg inom matematiska vetenskaper . - M. , 1938. - Nr 5 . — S. 171–186 .
Leontiev A.F. Quasiananalytic class of functions // Matematisk uppslagsverk (i 5 volymer). - M .: Soviet Encyclopedia , 1979. - T. 2. - S. 798-800.
Mandelbroit S. Kvasianalytiska klasser av funktioner. - M. - L .: ONTI NKTP, 1937.
Mandelbroit S. Angränsande serie, regularisering av sekvenser. Ansökningar, övers. från franska, Moskva: Utländsk litteratur, 1955.
Carleman, T. (1926), Les fonctions quasi-analytiques , Gauthier-Villars (fr.)
Denjoy, A. (1921), Sur les fonctions quasi-analytiques de variable réelle, CR Acad. sci. Paris T. 173: 1329–1331
Hörmander, Lars (1990), The Analysis of Linear Partial Differential Operators I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-00662-1
Leont'ev, A.F. Kvasianalytisk klass // Hazewinkel, Michiel . Encyclopedia of Mathematics. - Springer Science+Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .

Länkar

Cohen, Paul J. (1968), Ett enkelt bevis på Denjoy-Carleman-satsen , The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America). — T. 75 (1): 26–31, ISSN 0002-9890 , DOI 10.2307/2315100