Koszul komplex

Koszul-komplexet introducerades först i matematik av Jean-Louis Koszul för att definiera kohomologiteorin om Lie-algebras . Det visade sig därefter vara en användbar allmän konstruktion av homologisk algebra . Dess homologi kan användas för att avgöra om en sekvens av element i en ring är M -regular , och som en konsekvens kan den användas för att bevisa grundläggande djupegenskaper för en modul eller ideal .

Definition

Låt R vara en kommutativ ring och E en fri R -modul med finit rang r . Vi betecknar med den i -te yttre potensen av E . Sedan för en R -linjär mappning är Koszul-komplexet associerat med s kedjekomplexet av R -moduler $\wedge ^{i}E$ $s:E\to R$

K_{\bullet }(s):0\to \wedge ^{r}E{\overset {d_{r}}{\to }}\wedge ^{r-1}E\to \cdots \ att \kila ^{1}E{\översätta {d_{1}}{\to }}R\to 0,

där differentialen d k ges av regeln: för varje e i från E

{\displaystyle d_{k}(e_{1}\wedge \dots \wedge e_{k})=\summa _{i=1}^{k}(-1)^{i+1}s(e_{ i})e_{1}\wedge \cdots \wedge {\widehat {e_{i))}\wedge \cdots \wedge e_{k))

Upphöjden betyder att faktorn hoppas över. ${\widehat {\cdot ))$

Observera att och . Observera också att ; denna isomorfism är inte kanonisk (till exempel är valet av en volymform i differentialgeometri ett exempel på en sådan isomorfism). $\wedge ^{1}E=E$ $d_{1}=s$ $\wedge ^{r}E\simeq R$

Om E = R r (det vill säga en bas väljs), då specificering av en R -linjär avbildning s : R r → R är ekvivalent med att specificera en finit sekvens s 1 , …, s r av element i R (radvektor) och i detta fall beteckna $K_{\bullet }(s_{1},\dots ,s_{r})=K_{\bullet }(s).$

Om M är en ändligt genererad R -modul sätter vi

K_{\bullet }(s,M)=K_{\bullet }(s)\otimes _{R}M

i :e homologin för Koszul-komplexet

\operatörsnamn {H} _{i}(K_{\bullet }(s,M))=\operatörsnamn {ker} (d_{i}\otimes 1_{M})/\operatörsnamn {im} (d_ {i+1}\otimes 1_{M})

kallas den i-te Koszul-homologin . Till exempel, om E = R r och är en radvektor av element av R , då är differentialen för Koszul- komplexet $s=[s_{1}\cdots s_{r}]$ ${\displaystyle d_{1}\otimes 1_{M))$

s:M^{r}\to M,\,(m_{1},\dots ,m_{r})\mapsto s_{1}m_{1}+\dots +s_{r}m_{ r}

och

\operatorname {H} _{0}(K_{\bullet }(s,M))=M/(s_{1},\dots ,s_{r})M=R/(s_{1} ,\dots ,s_{r})\otimes _{R}M.

Också

\operatorname {H} _{r}(K_{\bullet }(s,M))=\{m\in M:s_{1}m=s_{2}m=\dots =s_{r }m=0\}=\operatörsnamn {Hom} _{R}(R/(s_{1},\dots ,s_{r}),M).

Koszul-komplex av små dimensioner

Givet ett element x i en ring R och en R -modul M , ger multiplikation med x en homomorfism av R -moduler

M\to M.

När det ses som ett kedjekomplex (koncentrerat i potenserna 1 och 0), betecknas det . Dess homologi är $K(x,M)$

H_{0}(K(x,M))=M/xM,H_{1}(K(x,M))=Ann_{M}(x)=\{m\in M,xm= 0\},

Således lagrar Koszul-komplexet och dess homologi grundläggande information om egenskaperna för multiplikation med x .

Kedjekomplexet K • ( x ) kallas Koszulkomplexet av elementet x i ringen R . Om x 1 , x 2 , …, x n är element i R , Koszul-komplexet av sekvensen x 1 , x 2 , …, x n , vanligtvis betecknad med K • ( x 1 , x 2 , …, x n ) , är tensorprodukten av komplexen Koszul för varje i . $K_{\bullet }(x_{1})\otimes K_{\bullet }(x_{2})\otimes \cdots \otimes K_{\bullet }(x_{n})$

Koszul-komplexet för ett par har formen $(x,y)\in R^{2}$

0\to R{\xrightarrow {\ d_{2}\ }}R^{2}{\xrightarrow {\ d_{1}\ }}R\to 0,

där matriserna och ges som $d_{1}$ $d_{2}$

d_{1}={\begin{bmatrix}x&y\\\end{bmatrix}}

och

d_{2}={\begin{bmatrix}-y\\x\\\end{bmatrix}}.

Då är cykler av grad 1 exakt linjära relationer mellan elementen x och y , medan gränser är triviala relationer. Den första Koszul-homologin H 1 ( K • ( x , y )) beskriver således relationerna modulo triviala relationer.

I det fall då elementen x 1 , x 2 , …, xn bildar en regelbunden sekvens, försvinner all högre Koszul-homologi.

Exempel

Om k är ett fält, X 1 , X 2 , …, Xd är okända , och R är en polynomring k [ X 1 , X 2 , …, Xd ] , Koszul-komplexet K • ( X i ) av sekvens X i är ett konkret exempel på en fri upplösning av en R -modul k .

Litteratur

David Eisenbud , kommutativ algebra. Med sikte på algebraisk geometri, Graduate Texts in Mathematics, vol 150, Springer-Verlag, New York, 1995. ISBN 0-387-94268-8