Ändlig p-grupp

En grupp kallas en finit -grupp $sid$ om den har ordning lika med någon potens av ett primtal .

Grundläggande egenskaper för ändliga p-grupper

Låt vara en ändlig -grupp, då $P$ $sid$

P är nilpotent .
$|Z(P)|>1$ , var är mitten av gruppen P . $Z(P)$
För någon i det finns en normal undergrupp av ordning . $1\leq k<n$ $P$ $p^{k}$
Om är normalt i , då . $H$ $P$ $|H\cap Z(P)|>1$
$P'\leq \Phi (P)$ .
$P/\Phi (P)\cong E_{p^{d))$ .

Vissa klasser av ändliga p-grupper

Detta avsnitt beskriver definitionerna och egenskaperna hos vissa klasser av ändliga -grupper som ofta beaktas i den vetenskapliga litteraturen. $sid$

p-grupper av maximal klass

En ändlig ordningsgrupp kallas en grupp av maximal klass om dess nilpotensklass är lika med . $sid$ $p^{n}$ $n-1$

Om är en finit -grupp av maximal klass, då och . $P$ $sid$ $P'=\Phi (P)$ $|Z(P)|=p$

De enda 2-grupperna av ordningsföljd av maximal klass är: den dihedriska gruppen , den generaliserade kvartjongruppen och den semidedriska gruppen . $2^{n}$ $D_{2^{n))$ $Q_{2^{n))$ $SD_{2^{n))$

Till skillnad från 2-grupper är fallet med p-grupper av maximal klass för p>2 mycket mer komplicerat.

p-centrala p-grupper

En finit -grupp kallas -central om . Begreppet är dubbelt, i en viss mening, till begreppet en kraftfull -grupp. $sid$ $sid$ $\Omega _{1}(P)\leq Z(P)$ $sid$

Kraftfulla p-grupper

En finit -grupp kallas kraftfull om för och för . Begreppet är dubbelt, i en viss mening, till begreppet -central -grupp. $sid$ ${\displaystyle [P,P]\leq P^{p))$ $p\neq 2$ $[P,P]\leq P^{4}$ $p=2$ $sid$ $sid$

Vanliga p-grupper

En finit grupp kallas regelbunden om , där , gäller för någon . Till exempel kommer alla abelska -grupper att vara regelbundna. En grupp som inte är regelbunden kallas oregelbunden . $sid$ $P$ $x,y\in P$ $(xy)^{p}=x^{p}y^{p}c^{p}$ $c\in P'$ $sid$

Varje undergrupp och faktorgrupp i en vanlig -grupp är regelbunden. $sid$
En finit -grupp är regelbunden om någon av dess undergrupper som genereras av två element är regelbunden. $sid$
En ändlig ordningsgrupp är som mest regelbunden. $sid$ ${\displaystyle p^{p))$
En finit -grupp vars nilpotensklass är mindre än vanlig. Alla grupper av nilpotensklass 2 är också vanliga för . $sid$ $sid$ $p>2$
Alla ändliga icke-abeliska 2-grupper är oregelbundna.

Finita p-grupper av små beställningar

Antal distinkta -grupper av ordning $sid$ $p^{n}$

Antalet icke- isomorfa ordningsgrupper är 1: gruppen . $sid$ $C_{p}$
Antalet icke-isomorfa ordningsgrupper är 2: grupper och . $p^{2}$ $C_{p^{2))$ $C_{p}\times C_{p}$
Antalet icke-isomorfa ordningsgrupper är 5, varav tre är Abeliska grupper: , , och två är icke-Abeliska: för - och ; för p = 2 - , . $p^{3}$ $C_{p^{3))$ $C_{p^{2}}\times C_{p}$ ${\displaystyle C_{p}\times C_{p}\times C_{p))$ $p>2$ $E_{p^{3}}^{+}$ $E_{p^{3}}^{-}$ $D_{4}$ $F_8$
Antalet icke-isomorfa ordningsgrupper är 15 för , antalet ordningsgrupper är 14. $p^{4}$ $p>2$ $2^4$
Antalet icke-isomorfa ordningsgrupper är lika med för . Antalet beställningsgrupper är 51, antalet beställningsgrupper är 67. $p^{5}$ $2p+61+2GCD(p-1,3)+GCD(p-1,4)$ $p\geq 5$ $2^{5}$ $3^{5}$
Antalet icke-isomorfa ordningsgrupper är lika med för . Antalet beställningsgrupper är 267, antalet beställningsgrupper är 504. $p^{6}$ $3p^{2}+39p+344+24GCD(p-1.3)+11GCD(p-1.4)+2GCD(p-1.5)$ $p\geq 5$ $2^6$ $3^{6}$
Antalet icke-isomorfa ordningsgrupper är lika med för . Antalet beställningsgrupper är 2328, antalet beställningsgrupper är 9310, antalet beställningsgrupper är 34297. $p^{7}$ $3p^{5}+12p^{4}+44p^{3}+170p^{2}+707p+2455+(4p^{2}+44p+291)GCD(p-1,3) +(p^{2}+19p+135)GCD(p-1,4)+(3p+31)GCD(p-1,5)+4GCD(p-1,7)+5GCD(p-1, 8)+GCD(p-1,9)$ $p>5$ $2^7$ $3^{7}$ $5^{7}$

p-grupper av ordning , asymptotik $p^{n}$

För , antalet icke-isomorfa ordningsgrupper är asymptotiskt lika med . $n\högerpil\infty$ $p^{n}$ $p^{(2/27+O(n^{-1/3}))n^{3))$

Kända problem i teorin om ändliga p-grupper

Automorfismgruppen för en finit p-grupp

För grupper som är automorfismer av en finit -grupp finns det enkla övre gränser, men nedre gränser är mycket mer komplicerade. I mer än ett halvt sekel har följande hypotes varit öppen: $sid$ $sid$

Låt vara en icke-cyklisk -grupp av ordning , då . $P$ $sid$ $|P|\geq p^{3}$ $|P|\leq |Syl_{p}(Aut(P))|$

Denna gissning bekräftas för en stor klass av -grupper: abelska grupper, för alla grupper av beställningar som mest , grupper av maximal klass. Någon generell syn på detta problem har dock ännu inte hittats. $sid$ $p^{7}$

Higmans hypotes

J. Thompson bevisade ett välkänt teorem som säger att en ändlig grupp med en regelbunden automorfism av prime order är nilpotent. $q$

Låt en grupp ha en vanlig automorfism av prime order . Då är dess nilpotensklass . $P$ $q$ $cl(P)={\frac {q^{2}-1}{4))$

Hittills har bara mycket svagare uppskattningar bevisats: (Kostrikin, Kreknin). ${\displaystyle cl(P)<q^{q))$

Försvagad Burnside gissning

Burnsides gissning var att om det finns en grupp med generatorer och en period (det vill säga alla dess element uppfyller relationen ), så är den ändlig. Om så är fallet anger vi det maximala av dessa grupper med . Då kommer alla andra grupper med samma egenskap att vara dess faktorgrupper. Det är faktiskt lätt att visa att gruppen är en elementär abelsk 2-grupp. Van der Waerden bevisade att ordningen för en grupp är . Men som Novikov och Adyan visade, för och för alla udda är gruppen oändlig. $m$ $n$ $x$ $x^{n}=1$ $B(m,n)$ $B(m,2)$ $B(m,3)$ $3^{\frac {m(m^{2}+5)}{6}}$ $m\geq 2$ $n\geq 4381$ $B(m,n)$

Den försvagade Burnside-förmodan säger att ordningarna för ändligt genererade periodgrupper är avgränsade. Denna gissning bevisades av Efim Zelmanov . För ändliga grupper betyder det att det bara finns ändligt många grupper av en given exponent och med ett givet antal generatorer. $m$ $n$ $sid$ $sid$

Oregelbundna p-grupper

Klassificering av oregelbundna p-ordningsgrupper . $p^{p+1}$

Litteratur

Belonogov V. A. Uppgiftsbok om gruppteori - M .: Nauka , 2000.
Vinberg E. B. Algebrakurs. - 3:e uppl. - M . : Factorial Press, 2002. - 544 sid. - 3000 exemplar. — ISBN 5-88688-060-7 .
Hall M. Teori om grupper. Förlag för utländsk litteratur - M. , 1962.
Khukhro E.I. Om p-grupper av automorfismer av abelska p-grupper - Algebra i Logika, 39, N 3 (2000), 359-371.
Berkovich Y. Groups of Prime Power Order, Delarna I, II, (under förberedelse).
Berkovich Y., Janko Z. Groups of Prime Power Order, del III, (under förberedelse).
Gorenstein D. Finite groups - NY: Harper and Row, 1968.
Huppert B. Endliche Gruppen I. - Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1967.
Lazard M. Groupes analytiques p-adiques - Publ. Matematik. Inst. Hautes Etud. Sci 26 (1965), 389-603.
Lubotzky A., Mann A. Kraftfulla p-grupper, I: finita grupper, J. Algebra, 105, N2 (1987), 484-505; II: p-adiska analytiska grupper, ibid., 506-515.
Weigel T. Kombinatoriska egenskaper hos p-centrala grupper - Freiburg Univ., 1996, förtryck.
Weigel T. p-Central groups and Poincare duality - Freiburg Univ., 1996, preprint.

Länkar

GAP-system .