Fint genererad abelsk grupp

En ändligt genererad abelsk grupp är en abelsk grupp som ges av ett ändligt system av generatorer , det vill säga en sådan kommutativ grupp för vilken det finns en ändlig mängd så att det finns en representation: $(G,+)$ $x_{1},\dots ,x_{s}\in G$ $\forall x\in G$

{\displaystyle x=n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+\dots +n_{s}x_{s))

var finns heltal. ${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{s))$

Ändligt genererade Abeliska grupper har en relativt enkel struktur och kan klassificeras fullständigt; förmågan att reducera hänsynen till vissa objekt till dem anses värdefull. Exempel är heltal och tal modulo , varje direkt summa av ett ändligt antal ändligt genererade abelska grupper är också en ändligt genererad abelsk grupp. Enligt klassificeringssatsen finns det inga andra (upp till isomorfism) ändligt genererade Abelia-grupper. Till exempel är gruppen av rationella tal inte ändligt genererad: om det fanns ett genereringssystem skulle det räcka med att ta ett naturligt tal coprime $(\mathbb {Z} ,+)$ $(\mathbb {Z} _{n},+)$ $(\mathbb {Q} ,+)$ $x_{1},\dots ,x_{s}\in \mathbb {Q}$ $w$ med alla nämnare av siffror från systemet att få , inte genererade av systemet . $1/w$ $\{x_{1},\dots ,x_{s}\}$

Klassificering

Klassificeringssatsen för ändligt genererade Abelska grupper (som är ett specialfall av klassificeringen av ändligt genererade moduler över huvudidealernas domän ) säger att varje ändligt genererad Abelisk gruppär isomorf till den direkta summan av enkla cykliska grupper och oändliga cykliska grupper , där en enkel cyklisk grupp är en sådan cyklisk grupp vars ordning är ett potensprimtal. Vad betyder det att varje sådan grupp är isomorf till en grupp av formen: $G$

\mathbb {Z} ^{n}\oplus \mathbb {Z} _{m_{1}}\oplus \dots \oplus \mathbb {Z} _{m_{t}}

där , och tal är (inte nödvändigtvis olika) potenser av primtal. Värdena bestäms unikt (upp till ordning) av gruppen ; i synnerhet är det ändligt om och bara om . $n \geqslant 0$ ${\displaystyle m_{1},\dots ,m_{t))$ ${\displaystyle n,m_{1},\dots ,m_{t))$ $G$ $G$ $n=0$

Baserat på det faktum att det är isomorft för en produkt och om och endast om och är coprime och , kan vi också representera vilken ändligt genererad grupp som helst i form av en direkt summa $G_{m}$ ${\displaystyle G_{j))$ ${\displaystyle G_{k))$ $j$ $k$ $m=jk$ $G$

\mathbb {Z} ^{n}\oplus \mathbb {Z} _{k_{1}}\oplus \dots \oplus \mathbb {Z} _{k_{u}}

var delar , som delar och så vidare tills . Och återigen, siffrorna och ges unikt av gruppen . $k_{1}$ $k_{2}$ $k_{3}$ $k_{u}$ $n$ ${\displaystyle k_{1},\dots ,k_{u))$ $G$

Litteratur

Melnikov O. V., Remeslennikov V. N., Romankov V. A. . Kapitel II. Grupper // Allmän Algebra / Under det allmänna. ed. L. A. Skonyakova . - M . : Nauka , 1990. - T. 1. - S. 66-290. — 592 sid. — (Referens matematiskt bibliotek). — 30 000 exemplar. — ISBN 5-02-014426-6 .