Gaussisk kontinuumfördelning
Den Gaussiska kontinuumfördelningen introducerades i kvantfältteorin som en förlängning av begreppet Gaussfördelning för finita dimensionella vektorer till kontinuumrymden av skalära och vektorfält . Kontinuumfördelningen används aktivt i apparaten för funktionella integraler .
Definition
Betrakta ett fält från ett utrymme som definieras av villkoren för problemet (som regel definierar problemet villkor som jämnhet och avtagande i oändligheten). I allmänhet har den ett godtyckligt antal ikoner och argument. Genom att beteckna uppsättningen fältikoner som , och uppsättningen argument som , kallar vi den normala (gaussiska) distributionstätheten för den funktionella
,
![{\displaystyle \rho \left[\varphi \right]=C\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\iint \limits _{\Omega ^{2}}\!\mathrm { d} X_{1}\,\mathrm {d} X_{2}\,\varphi _{I_{1}}(X_{1})\cdot K_{I_{1},I_{2}}(X_ {1},X_{2})\cdot \varphi _{I_{2}}(X_{2})\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df90230b065fce148f45dfb81b6aa7560d2c8a09)
där är domänen för fältargumenten , summering antyds av uppsättningarna av ikoner och är kärnan i någon differentialintegraloperator och är en normaliseringskonstant.
Denna definition är som regel skriven mer kortfattat, utan tecken, argument och integrationer:
.
![{\displaystyle \rho \left[\varphi \right]=C\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\left(\varphi ,K\varphi \right)\right\}=C \exp \left\{-{\frac {\varphi K\varphi }{2}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8079e0c665e981498992004c24282f2b0e24007)
Genomsnitt
Låt oss säga att vi vill beräkna medelvärdet av någon kvantitet ( tillståndsfunktion ) . Vi introducerar driften av medelvärdesberäkning
![{\displaystyle F[\varphi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2efa2888b17d414da8ac85ac12a7926e69ade1c)
![{\displaystyle \langle F\rangle =\int \limits _{E}\!{\mathcal {D}}\varphi \,\rho \left[\varphi \right]F[\varphi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/def965106793053b60205b4a7712aa57c9639315)
Den funktionella (sökvägs)integralen skrivs på höger sida av uttrycket (för detaljer, se Funktionell integral ).
Beräkning av Gaussiska vägintegraler
För bana Gauss-integraler fungerar generaliseringen av formeln för n-dimensionella Gauss-integraler till banfallet:
.
![{\displaystyle \int \!{\mathcal {D}}\varphi \,\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\left(\varphi ,K\varphi \right)+\left (A,\varphi \right)\right\}=\det \left[{\frac {K}{2\pi }}\right]^{-1/2}\exp \left\{{\frac { (A,K^{-1}A)}{2}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b88dd7586b1dd330e16e316ee72b6228ec15415b)
Normaliseringstillstånd och konstant
Introduktion av normaliseringstillståndet
![{\displaystyle \int \!{\mathcal {D}}\varphi \,\rho \left[\varphi \right]=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7b26db962bc5b4df0934f5e6e6c3700910c1023)
och med hjälp av formeln från föregående stycke får vi
.
![{\displaystyle C=\det \left[{\frac {K}{2\pi }}\right]^{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f758b76ab1854e42b36498d8bcc0d110e3b2a50f)
Se även
Litteratur
- Richard Phillips Feynman, Albert R. Hibbs. Kvantmekanik och vägintegraler. - Förlaget "Mir", 1968.