Kontravariant vektor

En kontravariant vektor brukar kallas en uppsättning (kolumn) av vektorkoordinater i den vanliga basen (det vill säga dess kontravarianta koordinater ) eller 1-former i samma bas, vilket dock inte är naturligt för den. Den kontravarianta vektorn i differentialgeometri och relaterade fysiska begrepp är tangentrymdsvektorn .

Denna definition överensstämmer med definitionen av den kontravarianta valensen 1 tensor (se Tensor ), som är den kontravarianta vektorn (tangent rymdvektor) som ett specialfall av en tensor.

Grundläggande information

Det är vanligt att skriva kontravarianta koordinater med en upphöjd, och även - i matrisnotation - som en kolumnvektor (i motsats till notationen med en sänkt och radvektor för kovarianta koordinater och följaktligen en " kovariant vektor ").

En kontravariant provvektor är en förskjutningsvektor skriven som en uppsättning koordinatsteg: . $\dx^{i}$

Varje uppsättning tal som transformeras under någon förändring av koordinater på samma sätt (den nya uppsättningen uttrycks i termer av samma matris i termer av den gamla) representerar en kontravariant vektor. $\dx^{i}$

Det bör noteras att om en icke-degenererad metrisk tensor definieras , så är "kovariansvektor" och "kontravariant vektor" helt enkelt olika representationer (poster i form av en uppsättning siffror) av samma geometriska objekt - en vanlig vektor eller 1-form . Det vill säga, samma vektor kan skrivas som kovariant (det vill säga en uppsättning kovarianta koordinater) och kontravariant (det vill säga en uppsättning kontravarianta koordinater). Detsamma kan sägas om 1-formen. Transformationen från en representation till en annan görs helt enkelt genom faltning med måtten :

\ v_{i}=g_{{ij}}v^{j}

\ v^{i}=g^{{ij}}v_{j}

(här och nedan menar vi summering över ett upprepat index, enligt Einsteins regel).

Innehållsmässigt särskiljs vektorer och 1-former endast av vilken av representationerna som är naturliga för dem. Så för 1-former är det naturligt att expandera på en dubbel basis, som till exempel för en gradient, eftersom deras naturliga faltning (skalär produkt) med en vanlig vektor (till exempel förskjutning) utförs utan deltagande av ett mått, helt enkelt genom att summera de multiplicerade komponenterna. För vanliga vektorer, såsom dx i , är det naturligt att expandera i huvudbasen, eftersom de konvolverar med andra vanliga vektorer, såsom förskjutningsvektorn i rumsliga koordinater, med deltagande av en metrik. Till exempel erhålls en skalär - (som en total differential ) genom att vika utan deltagande av måtten för en kovariant vektor , vilket är en naturlig representation av 1-formen av gradienten som verkar på ett skalärt fält, med en kontravariant vektor , som är en naturlig representation av den vanliga förskjutningsvektorn i koordinater; medan den viks ihop med sig själv med hjälp av metriska: , vilket är helt överens med det faktum att det är kontravariant. $\ d\phi =(\partial _{i}\phi )dx^{i}$ $\ \partial _{i}\phi$ $\dx^{i}$ $\dx^{i}$ $\ (dx)^{2}=g_{{ij}}dx^{i}dx^{j}$

Om vi talar om vanligt fysiskt utrymme, är ett enkelt tecken på kovarians-kontravariansen för en vektor hur dess naturliga representation viks ihop med en uppsättning rumsliga förskjutningskoordinater , vilket är ett exempel på en kontravariant vektor. De som konvolverar med genom enkel summering, utan deltagande av metriken, är en kovariant vektor (1-form), medan de med deltagande av metriken är en kontravariant vektor. Om utrymmet och koordinaterna är så abstrakta och anmärkningsvärda att det inte finns något sätt att skilja mellan den huvudsakliga och den dubbla basen, förutom genom ett godtyckligt villkorligt val, då försvinner den meningsfulla distinktionen mellan kovarianta och kontravarianta vektorer, eller blir också rent villkorlig. $\dx^{i}$ $\dx^{i}$

Frågan om exakt representationen i vilken vi ser ett föremål är naturlig för det kommer att beröras lite högre. Naturligt för en vanlig vektor är en kontravariant representation, medan den för en 1-form är kovariant.

Obs: Alla dessa termer används ofta i tensoralgebra; det är underförstått att på det utrymme i vilket de beskrivna objekten finns (eller på grenröret i vars tangentutrymme de finns) finns det en metrisk (åtminstone en pseudo-riemannisk sådan). $g_{ij}$

Litteratur

Landau L. D. , Lifshits E. M. Fältteori . - 7:e upplagan, reviderad. — M .: Nauka , 1988. — 512 sid. - (" Teoretisk fysik ", volym II). — ISBN 5-02-014420-7 .

Kontravariant vektor

Grundläggande information

Litteratur

Se även