Flerskalig analys

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 21 maj 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Multiscale analysis (MSA) är ett verktyg för att bygga wavelet- baser . Den utvecklades 1988/89. Malla och I. Meyrom. Idén med flerskalig analys är att signalen bryts ner i en ortogonal bas som bildas av skift och flerskaliga kopior av wavelet - funktionen. Konvolution av en signal med wavelets gör det möjligt att markera de karakteristiska egenskaperna hos signalen i området för lokalisering av dessa wavelets.

Begreppet multiscale analys (MSA) är grundläggande i teorin om wavelets. För flerskalig analys har en snabb kaskadberäkningsalgoritm som liknar den snabba Fouriertransformen utvecklats .

Definition

När du utför KMA, representeras signalrymden som ett system av kapslade delutrymmen , som skiljer sig från varandra genom att skala om den oberoende variabeln. Således kallas en uppsättning slutna utrymmen multi-scale analys (MCA) om vissa villkor är uppfyllda. $L^{2}(\mathbb {R} )$ $V_{j}\subset L^{2}(\mathbb {R} ),j\in \mathbb {Z} ,$ $L^{2}(\mathbb {R} )$ $V_{j}(\mathbb {R} ),j\in \mathbb {Z} ,$

(1) Häckande skick:

V_{j}\subset V_{j+1}

för alla . Hela signalrymden som helhet kan representeras som en sekvens av kapslade slutna delrum av motsvarande nivåer av signalnedbrytning ;

j\in \mathbb {Z}

L^{2}(\mathbb {R} )

m

(2) Villkoret för fullständighet och täthet av uppdelning:

\bigcup \limits _{j\in \mathbb {Z} }V_{j}

tätt in

L^{2}(\mathbb {R} );

(3) Villkor för ortogonalitet för delutrymmen:

\bigcap \limits _{j\in \mathbb {Z} }V_{j}={0};

(4) Tillståndet för bevarande i underrummet under funktionsskiften:

f(t)\in V_{j}\Leftrightarrow f(t+1)\in V_{j};

(5) Skala transformation av en funktion med 2 gånger argumentet flyttar funktionen till det intilliggande delutrymmet:

{\displaystyle f(t)\in V_{j))

f(t)\in V_{j}\Leftrightarrow f(2t)\in V_{j+1};

f(t)\in V_{j}\Leftrightarrow f(t/2)\in V_{j-1};

(6) Det finns vars heltal skiftar med avseende på argumentet utgör en ortonormal bas för rymden

{\displaystyle r(t)\in V_{0))

V_{0}

f_{0,k}(t)=f(tk),k\in \mathbb {Z} .

Funktionen kallas skalningsfunktionen .

r(t)

Egenskaper

Låt oss beteckna förskjutningarna och utvidgningarna av funktionen $f:$ $f_{k,n}(x)=2^{k/2}f(2^{k}x+n),k,n\in \mathbb {Z} .$

För vilken funktion som helst utgör en ortonormal grund i $j\in \mathbb {Z}$ $\varphi _{j,n},n\in \mathbb {Z}$ $V_{j}.$

Om då . $f\in V_{j},$ $f(\cdot \pm 2^{-j})\in V_{j},j\in \mathbb {Z}$

Funktionen från villkor (5) kallas skalning för en given CMA. $\varphi$

Konstruktion av ortogonala wavelet-baser

Låt dem bilda KMA. Beteckna med det ortogonala komplementet till i rymden Sedan sönderdelas rummet till en direkt summa. Således, genom sekventiell uppdelning av rum och med hänsyn till villkor (3), får vi A med villkor (2), vi har: $\{V_{j}\}_{j\in \mathbb {Z} }$ $W_j$ $V_{j}$ $V_{j+1}.$ $V_{j+1}$ $V_{j+1}=V_{j}\bigoplus W_{j}.$ $V_{j}$ $V_{j+1}=\bigoplus \limits _{i=-\infty }^{j}W_{i}.$ $L_{2}(\mathbb {R} )={\overline {\bigoplus \limits _{j=-\infty }^{\infty }W_{j))}.$

Alltså sönderdelas rymden till en direkt summa av parvisa ortogonala delrum.Det är viktigt att funktionen genererar ytterligare en funktion vars heltalsförskjutningar är en ortonormal bas i . En sådan konstruktion kan utföras med hjälp av följande teorem. $L_{2}(\mathbb {R} )$ $W_{j}.$ $\varphi$ $\psi \in W_{0},$ $W_{0}.$ $\psi$

Låt - CMA med en skalningsfunktion - dess mask, systemet är ortonormalt, $\{V_{j}\}_{j\in \mathbb {Z} }$ $\varphi,$ $m_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\sum \limits _{n\in \mathbb {N} }h_{n}e^{2\pi in\xi }$ ${\displaystyle \{\varphi _{0n}\}_{n\in \mathbb {Z} ))$

\psi :=\sum \limits _{n\in \mathbb {N} }(-1)^{1-n}h_{1-n}\varphi _{1n}.

Då bildar funktionerna en ortonormal grund för rummet $\psi _{jn},j,n\in \mathbb {Z}$ $L_{2}(\mathbb {R} ).$

Flerdimensionell KMA

I det allmänna fallet med ett dimensionellt utrymme bildar en ortonormal bas funktioner, med hjälp av vilka MRA av vilken funktion som helst av deras utrymme utförs, medan normaliseringsfaktorn är lika med . $n-$ $2^{n}-1$ $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ $2^{nm/2}$

Anteckningar

Charles K. Chui, An Introduction to Wavelets , (1992), Academic Press, San Diego, ISBN 0-585-47090-1
Novikov I. Ya., Protasov V. Yu., Skopina M. A., Splash Theory , (2005), Fizmatlit, Moskva, ISBN 5-9221-0642-2