Osgod kurva

I matematik är en Osgood-kurva en icke-korsande kurva ( Jordan- kurva eller båge) med positiv area [2] . Mer formellt är de kurvor i det euklidiska planet med positivt tvådimensionellt Lebesgue-mått .

Berättelser

De första exemplen på sådana kurvor hittades av William Fogh Osgood [3] och Lebesgue [4] . Båda exemplen har positiv area i vissa delar av kurvorna, men noll area i andra delar. Denna brist korrigerades av Knopp [5] , som hittade en kurva med ett positivt område nära var och en av dess punkter, baserat på tidigare konstruktioner av Vaclav Sierpinski . Knopps exempel har den ytterligare fördelen att, när den är konstruerad, kan området vara vilken bråkdel som helst av arean av det konvexa skrovet [6] .

Fraktalkonstruktion

Även om de flesta rymdfyllande kurvor inte är Osgood-kurvor (de har positiv area, men skär sig ofta ett oändligt antal gånger, vilket bryter mot definitionen av en Jordan-kurva), är det möjligt att modifiera den rekursiva konstruktionen av rymdfyllande kurvor eller fraktala kurvor för att få en Osgood-kurva [7] .

Till en början ansåg Osgood i sin publikation från 1903 en kurva som fyllde en kvadrat [8] . Det var denna brutna linje som fick hans namn [1] . Senare generaliserades detta namn till andra figurer. Till exempel använder Knopps konstruktion den rekursiva uppdelningen av trianglar i par av mindre trianglar som delar en gemensam vertex genom att ta bort kilar. Om kilarna som ska tas bort på varje nivå av konstruktionen utgör en oföränderlig (fraktionell) del av arean av trianglar, blir resultatet en Cesaro-fraktal som liknar Koch-kurvan , men när kilar tas bort minskar vars ytor snabbare får vi Osgood-kurvan [6] .

Denjoy-Ries konstruktion

Ett annat sätt att konstruera en Osgood-kurva är att använda en tvådimensionell version av Smith-Volterra-Cantor-uppsättningen , en helt frånkopplad uppsättning punkter med en area som inte är noll, till vilken Denjoy-Ries-satsen är tillämpas , enligt vilken varje avgränsad och helt frånkopplad delmängd av planet är en delmängd Jordan-kurva [9] .

Se även

Anteckningar

  1. ↑ 1 2 Slyusar, V. Fraktalantenner. En i grunden ny typ av "trasiga" antenner. Del 2. . Elektronik: vetenskap, teknik, affärer. - 2007. - Nr 6. S. 86 - 87. (2007). Hämtad 27 april 2020. Arkiverad från originalet 3 april 2018.
  2. ↑ Rado (1948) .
  3. ↑ Osgood, 1903 .
  4. ↑ Lebesgue, 1903 .
  5. ↑ Knopp, 1917 .
  6. ↑ 12 Knopp , 1917 ; Sagan, 1994 , avsnitt 8.3, Osgood Sierpinski and Knopp curves, pp. 136–140 Arkiverad 29 maj 2016 på Wayback Machine .
  7. ↑ Knopp, 1917 ; Lance, Thomas, 1991 ; Sagan 1993 ).
  8. ↑ William F. Osgood . A Jordan Curve of Positive Area // Transaktioner från American Mathematical Society . - 1903. - T. 4 . — S. 107–112 . — ISSN 0002-9947 . - doi : 10.1090/S0002-9947-1903-1500628-5 . — .
  9. ↑ Balcerzak, Kharazishvili, 1999 .

Litteratur

Länkar