Lemma av Yoneda

Yonedas lemma är ett resultat om funkorn Hom ; kategoriteoretisk generalisering av Cayleys klassiska gruppteoretiska teorem (om vi betraktar en grupp som en kategori av ett objekt). Lemmat tillåter oss att överväga inbäddningen av en godtycklig kategori i kategorin funktioner från den till kategorin uppsättningar . Det är ett viktigt verktyg som har gjort det möjligt att få många resultat inom algebraisk geometri och representationsteori .

Allmänt fall

I en godtycklig (lokalt liten) kategori för ett givet objekt kan vi överväga den kovarianta funktorn Hom , betecknad med: $A$

h^{A}=\mathrm {Hom} (A,-)

Yonedas lemma säger att för alla objekt i kategorin är naturliga transformationer från till en godtycklig funktion från en kategori till en kategori av uppsättningar i en-till-en-överensstämmelse med elementen i : $A$ ${\mathcal C}$ $h^{A}$ $F$ ${\mathcal C}$ ${\mathbf {Set}}$ $FA)$

\mathrm {Nat} (h^{A},F)\cong F(A)

För en given naturlig omvandling från till motsvarande element är , det vill säga den naturliga omvandlingen bestäms unikt av bilden av den identiska morfismen. $\Phi$ $h^{A}$ $F$ $FA)$ $u=\Phi _{A}({\mathrm {id}}_{A})$

Den kontravarierande versionen av lemma anser att den kontravarianta funktionen:

h_{A}=\mathrm {Hom} (-,A)

skickar till många . För en godtycklig kontravariant funktionör från till $X$ $\mathrm {Hom} (X,A)$ $G$ ${\mathcal C}$ ${\mathbf {Set}}$

\mathrm {Nat} (h_{A},G)\cong G(A)

Mnemonregeln "falla in i något" används när man betraktar morfismer till ett fast objekt.

Beviset för Yonedas lemma presenteras i följande kommutativa diagram :

Diagrammet visar att den naturliga omvandlingen är helt definierad , eftersom för varje morfism : $\Phi$ $\Phi _{A}({\mathrm {id}}_{A})=u$ $f\colon A\to X$

\Phi _{X}(f)=(Ff)u

Dessutom definierar denna formel en naturlig transformation för alla (eftersom diagrammet är kommutativt). Beviset för det kontravarierande fallet är liknande. $u\in F(A)$

Yonedas investering

Ett specialfall av Yonedas lemma är när funktorn också är en Hom-funktör. I det här fallet säger en samvariant version av Yonedas lemma att: $F$

\mathrm {Nat} (h^{A},h^{B})\cong \mathrm {Hom} (B,A)

Mappningen av varje kategoriobjekt till motsvarande Hom-funktion och varje morfism till motsvarande naturliga transformation definierar en kontravariant funktion från till , eller en kovariansfunktion: $A$ ${\mathcal C}$ $h^{A}=Hom(A,-)$ $f\colon B\to A$ $\mathrm {Hom} (f,-)$ $h^{-}$ ${\mathcal C}$ $\mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}$

h^{-}\colon {\mathcal {C}}^{\text{op}}\to \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}

I denna situation anger Yonedas lemma att det är en helt univalent funktor , det vill säga det definierar en inbäddning i kategorin funktorer i . $h^{-}$ ${\mathcal C}^{{op))$ ${\mathbf {Set}}$

I det motsatta fallet, av Yoneda-lemmat:

\mathrm {Nat} (h_{A},h_{B})\cong \mathrm {Hom} (A,B)

Därför definierar den en helt univalent kovariansfunktion (Yoneda-inbäddningen): $h_{-}$

h_{-}\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}

Litteratur

Freyd, Peter (1964), Abelian categories (2003 reprint ed.), Harper's Series in Modern Mathematics, Harper and Row , < http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/3/tr3abs.html > .
McLane S. Kapitel 3. Universella konstruktioner och gränser // Kategorier för den arbetande matematikern = Kategorier för den arbetande matematikern / Per. från engelska. ed. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 68-94. — 352 sid. — ISBN 5-9221-0400-4 .