Yonedas lemma är ett resultat om funkorn Hom ; kategoriteoretisk generalisering av Cayleys klassiska gruppteoretiska teorem (om vi betraktar en grupp som en kategori av ett objekt). Lemmat tillåter oss att överväga inbäddningen av en godtycklig kategori i kategorin funktioner från den till kategorin uppsättningar . Det är ett viktigt verktyg som har gjort det möjligt att få många resultat inom algebraisk geometri och representationsteori .
I en godtycklig (lokalt liten) kategori för ett givet objekt kan vi överväga den kovarianta funktorn Hom , betecknad med:
.Yonedas lemma säger att för alla objekt i kategorin är naturliga transformationer från till en godtycklig funktion från en kategori till en kategori av uppsättningar i en-till-en-överensstämmelse med elementen i :
.För en given naturlig omvandling från till motsvarande element är , det vill säga den naturliga omvandlingen bestäms unikt av bilden av den identiska morfismen.
Den kontravarierande versionen av lemma anser att den kontravarianta funktionen:
,skickar till många . För en godtycklig kontravariant funktionör från till
.Mnemonregeln "falla in i något" används när man betraktar morfismer till ett fast objekt.
Beviset för Yonedas lemma presenteras i följande kommutativa diagram :
Diagrammet visar att den naturliga omvandlingen är helt definierad , eftersom för varje morfism :
.Dessutom definierar denna formel en naturlig transformation för alla (eftersom diagrammet är kommutativt). Beviset för det kontravarierande fallet är liknande.
Ett specialfall av Yonedas lemma är när funktorn också är en Hom-funktör. I det här fallet säger en samvariant version av Yonedas lemma att:
.Mappningen av varje kategoriobjekt till motsvarande Hom-funktion och varje morfism till motsvarande naturliga transformation definierar en kontravariant funktion från till , eller en kovariansfunktion:
.I denna situation anger Yonedas lemma att det är en helt univalent funktor , det vill säga det definierar en inbäddning i kategorin funktorer i .
I det motsatta fallet, av Yoneda-lemmat:
.Därför definierar den en helt univalent kovariansfunktion (Yoneda-inbäddningen):
.