Lemma av ormen

Ormlemma  är ett verktyg som används i matematik , särskilt homologisk algebra , för att konstruera långa exakta sekvenser . Ormlemmat är sant i vilken abelian kategori som helst och spelar en nyckelroll i homologisk algebra och dess tillämpningar, såsom algebraisk topologi . Homomorfismer konstruerade med dess hjälp brukar kallas för sammanbindande homomorfismer .

Formulering

I en abelsk kategori (som kategorin abelska grupper eller kategorin vektorrum över ett fast fält ), överväg ett kommutativt diagram :

vars strängar är exakta sekvenser och 0 är nollobjektet .

Sedan finns det en exakt sekvens som förbinder kärnorna och kokkärnorna i mappningarna a , b och c :

där d  är en homomorfism, känd som en bindande homomorfism .

Dessutom, om morfismen f är en monomorfism , så är morfismen  också en monomorfism, och om g' är en epimorfism , då är u  en epimorfism.

Namn Förklaring

För att förklara ursprunget till lemmats namn, föreställ dig diagrammet ovan enligt följande:

och notera att den exakta sekvensen vars existens hävdas i lemma har formen av en krypande orm.

Byggnadskartläggningar

Mappningar mellan kärnor och mappningar mellan kokkärnor induceras naturligt av givna (horisontella) mappningar på grund av diagrammets kommutativitet. Noggrannheten hos de två inducerade sekvenserna följer naturligtvis av noggrannheten hos linjerna i det ursprungliga diagrammet. En viktig del av påståendet om lemma är förekomsten av en anslutande homomorfism d som ingår i den exakta sekvensen.

I fallet med abelska grupper eller moduler över någon ring , kan mappningen d konstrueras enligt följande:

Vi väljer ett element x från ker c och betraktar det som ett element i C ; eftersom g är surjektiv, finns det ett y från B så att g ( y ) = x . Eftersom diagrammet är kommutativt har vi g' ( b ( y )) = c ( g ( y )) = c ( x ) = 0 (eftersom x ligger i kärnan av c ), och därför ligger b ( y ) i kärnan av g' . Eftersom den nedre raden är exakt, hittar vi element z i A' så att f '( z ) = b ( y ). Elementet z är unikt på grund av injektiviteten hos f '. Vi definierar d ( x ) = z + im ( a ). Det återstår att kontrollera att d är väldefinierat (det vill säga d ( x ) beror bara på x , inte på valet av y ), att det är en homomorfism och att den resulterande sekvensen är exakt.

Om detta görs kommer teoremet att bevisas för abelska grupper eller för moduler över en ring. I allmänhet kan beviset omformuleras i termer av egenskaper hos pilar. Ett annat sätt att bevisa det är att använda Mitchells inbäddningssats .

Litteratur