Logaritmisk potential

Den logaritmiska potentialen är funktionen definierad i ℝ 2 som faltningen av den generaliserade funktionen ρ med funktionen -ln| z |:

V=-\rho \ln |z|.

Den logaritmiska potentialen uppfyller Poisson-ekvationen Δ V = −2πρ. I analogi med den Newtonska potentialen kan vi överväga tre särskilda fall av den logaritmiska potentialen.

Fysisk betydelse

Den fysiska innebörden av logaritmiska potentialer är att de motsvarar potentialen som skapas av laddningar (eller massor ) i tvådimensionell elektrostatik (eller tvådimensionell Newtonsk gravitation) fördelad med en (tvådimensionell) densitet ρ. Ur konventionell tredimensionell elektrostatiks synvinkel talar vi om en elektrostatisk potential skapad av en laddningsfördelning som har translationssymmetri längs en av de rumsliga axlarna (längs axeln vinkelrät mot planet, de kartesiska koordinaterna på vilka det finns komponenter i vektorn z - eller dess reella och imaginära delar, om betrakta z som ett komplext tal), med andra ord, fördelningen av laddningar, oberoende av den tredje koordinaten, konstant längs den (den laddade trådens potential).

Områdets potential

V(z)=\iint \limits _{G}\rho (\zeta )\ln {\frac {1}{|z-\zeta |}}d\xi \,d\eta ,\qquad \zeta =\xi +i\eta .

Om , då är själva potentialen harmonisk i och $\rho (z)\in C({\overline {G)))$ $V(z)\in C^{1}(\mathbb {R} ^{2})$ $\mathbb {R} ^{2}\setminus G$

V(z)=\ln {\frac {1}{|z|}}\iint \limits _{G}\rho (\zeta )d\xi \,d\eta +O\left({ \frac {1}{|z|}}\right),\ |z|\rightarrow \infty .

Här menas, som ofta görs, framställningen som ett komplext plan; men inom ramen för definitionerna är detta inte väsentligt, och i denna mening kan man här ersätta komplexa variabler helt enkelt med tvådimensionella vektorer, och modulen för ett komplext tal med den euklidiska normen i , och om den också är komplex, kan man betrakta dess verkliga och imaginära delar separat. $\mathbb {R} ^{2}$ $\zeta ,\z$ $\mathbb {R} ^{2}$ $\rho$

Logaritmisk potential för ett enkelt lager

V^{(0)}(z)=\mu \delta _{S}\ln {\frac {1}{|z|}}=\int \limits _{S}\mu (\zeta )\ln {\frac {1}{|z-\zeta |}}dS_{\zeta }.

Om , då är själva potentialen harmonisk i och $\mu (z)\in C(S)$ $V^{(0)}(z)\in C(\mathbb {R} ^{2})$ $\mathbb {R} ^{2}\setminus S$

V^{(0)}(z)=\ln {\frac {1}{|z|}}\int \limits _{S}\mu (\zeta )dS_{\zeta }+O\ vänster({\frac {1}{|z|}}\höger),\ |z|\högerpil \infty .

Om S är Lyapunov-kurvan , har potentialen derivat, och deras diskontinuitet observeras på själva kurvan:

\left({\frac {\partial V^{(0)}}{\partial \mathbf {n} }}\right){\Bigg |}_{+}=-\pi \mu (z )+{\frac {\partial V^{(0)}(z)}{\partial \mathbf {n} )),

\left({\frac {\partial V^{(0)}}{\partial \mathbf {n} }}\right){\Bigg |}_{-}=\pi \mu (z) +{\frac {\partial V^{(0)}(z)}{\partial \mathbf {n} )).

Dubbellagers logaritmisk potential

V^{(1)}(z)=-\ln {\frac {1}{|z|}}*{\frac {\partial }{\partial \mathbf {n} }}(\nu \delta _{S})=\int \limits _{S}\nu (\zeta ){\frac {\partial }{\partial \mathbf {n} }}\left(\ln {\frac {1} {|z-\zeta |}}\right)dS_{\zeta }=\int \limits _{S}\nu (\zeta ){\frac {\cos \varphi }{|z-\zeta |}} dS_{\zeta },

där φ är vinkeln mellan normalen i punkten ζ och radievektorn ritad till denna punkt från punkten z .

Om , då är själva potentialen harmonisk i och $\nu (z)\i C(S)$ $V^{(1)}(z)$ $\mathbb {R} ^{2}\setminus G$

V^{(1)}(z)=O\left({\frac {1}{|z|}}\right),\ |z|\rightarrow \infty .

Om S är Lyapunov-kurvan , då:

V^{(1)}\in C({\overline {G)))\cap C(S)\cap C(\mathbb {R} ^{2}\setminus G)

och

V_{+}^{(1)}(z)=\pi \nu (z)+V^{(1)}(z),

V_{-}^{(1)}(z)=-\pi \nu (z)+V^{(1)}(z).

Om densiteten dessutom är ett konstant värde är potentialen lika med

V^{(1)}={\begin{cases}-2\pi \nu ,\ z\in G,\\-\pi \nu ,\ z\in S,\\0,\ z \in \mathbb {R} ^{2}\setminus {\overline {G}}.\end{cases}}

Se även

Litteratur

Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. Ekvationer av matematisk fysik. — M.: Fizmatlit, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5 .
EN. Tikhonov, A.A. Samara. Ekvationer av matematisk fysik. — M.: Nauka, 1972.

Länkar

[bse.sci-lib.com/article091961.html Potential i den stora sovjetiska encyklopedin]