Carl Johan Malmsten | |
---|---|
Svensk. Carl Johan Malmsten | |
Födelsedatum | 9 april 1814 [1] [2] [3] |
Födelseort | Skara (kommun) |
Dödsdatum | 11 februari 1886 [1] [2] (71 år) |
En plats för döden | Uppsala |
Land | |
Vetenskaplig sfär | matte |
Arbetsplats | |
Alma mater | Uppsala universitet |
Akademisk examen | Filosofie doktor (PhD) i matematik |
Akademisk titel | Professor |
Mediafiler på Wikimedia Commons |
Carl Johan Malmsten ( svensk Carl Johan Malmsten ; 9 april 1814 i Skara kommun , Sverige - 11 februari 1886 , Uppsala , Sverige ) var en svensk matematiker och politiker. Känd för sitt tidiga arbete med komplex analys, teorin om några speciella funktioner, och som medgrundare (tillsammans med Mittag-Leffler ) av den matematiska tidskriften Acta Mathematica [4] .
Malmsten tog sin docentexamen 1840 och blev två år senare professor i matematik vid Uppsala universitet . 1844 antogs han i Kungliga Vetenskapsakademien . Från 1859 till 1866 han var också en del av regeringen i Skara kommun , där han tjänstgjorde som minister utan portfölj , samtidigt som han fortsatte att studera matematik.
Under lång tid nämndes namnet Karl Malmsten främst i samband med hans tidiga arbete med teorin om funktioner för en komplex variabel [5] . Men han gjorde också stora bidrag till andra analysområden, särskilt till teorin om spec. funktioner och differentialekvationer, men tyvärr glömdes många av hans verk oförtjänt bort, och resultaten tillskrevs andra. Så relativt nyligen visade Yaroslav Blagushin (Iar Blagouchine) [6] att det var Malmsten som ägde ett antal viktiga verk om logaritmiska integraler och summor som är nära relaterade till gammafunktionen , dess logaritmiska derivata , den generaliserade zetafunktionen , samt Dirichlet L-serien . Särskilt 1842 kunde Malmsten i analytisk form uttrycka följande logaritmiska integraler
Detaljerna i beräkningarna, såväl som en intressant historisk analys, ges i verk av Ya Blagushin [6] [7] . Många av dessa integraler återupptäcktes och återstuderades först på 1900-talet. I synnerhet förekom de, utan ett enda omnämnande av Malmsten, periodvis i verk av Ilan Vardi (Ilan Vardi), Viktor Adamchik (Victor Adamchik), Victor Moll (Victor Moll), Eric Weisstein och några andra [8] [9] [10] [11] [12] [13] . Dessutom har missuppfattningarna om författarskapet till dessa formler gått så långt att den första av dessa integraler i många moderna källor kallas Vardis integral , även om han beräknade den 146 år senare än Malmsten. Malmsten fick dessa formler med hjälp av olika ganska besvärliga serieexpansioner, term-by-term integration, och även skickligt att tillämpa elementära transformationer. Metoder för modern analys gör det möjligt att erhålla dem på mindre tidskrävande sätt, såsom konturintegreringsmetoder [6] , med hjälp av Hurwitz zeta-funktionen [9] , genom polylogaritmer [10] och med Dirichlet L-serien [8] . Samma metoder gör det möjligt att beräkna mer komplexa Malmsten-integraler [14] , av vilka ett stort antal övervägdes i verk av V. Adamchik [9] , och särskilt Ya. Blagushin [6] (cirka 80 integraler). Här är några exempel på sådana integraler
där m och n är positiva heltal så att m < n , G är den katalanska konstanten , ζ är Riemanns zetafunktion , Ψ är digammafunktionen , Ψ 1 är trigammafunktionen; se respektive ur. (43), (47) och (48) i [9] för de tre första integralerna, och ex. 36-a, 36-b, 11-b och 13-b i [6] för de fyra sista (den tredje integralen förekommer i båda tidningarna). Intressant nog leder vissa Malmsten-integraler till gamma- och polygammafunktioner i det komplexa argumentet, som inte är särskilt vanliga i analys. Till exempel,
såväl som,
se Yaroslav Blagushin [6] , ex. 7-a respektive 37. Det har också fastställts att Malmsten-integralerna är nära besläktade med de generaliserade Stieltjes-konstanterna [6] [7] [15] , som fortfarande är dåligt förstådda för tillfället.
År 1842 lyckades Malmsten också beräkna flera viktiga logaritmiska serier, bland vilka följande två sticker ut mest:
och
Det sista resultatet är särskilt viktigt eftersom det är en Fourierserie-expansion av logaritmen för gammafunktionen , ett resultat som vanligtvis, och som visas i [6] , felaktigt tillskrivs Ernst Kummer , som härledde en liknande formel
först 1847 (strängt taget erhålls Kummers resultat från Malmstens resultat genom att sätta a=π(2x-1)).
Malmsten gjorde också ett stort bidrag till teorin om zetafunktioner, samt integraler och serier relaterade till dem. I synnerhet var det han som 1842 bevisade det
och
där serierna till vänster och höger konvergerar under 0<s<1. Intressant nog indikerades den första av dessa formler av Leonhard Euler 1749 [16] , men det var Malmsten som rigoröst bevisade det. Det är ganska roligt att formeln för serien L(s) också gavs av Oskar Schlömilch 1849, dessutom som en övning för studenter, men han publicerade sitt bevis först 9 år senare. [6] [17] [18] [19] Anmärkningsvärt är likheten mellan formeln för L(s) med den berömda Riemanns reflektionsformel
som Riemann härledde 1858, och som för övrigt också först gavs, om än i en något annan form, av Leonhard Euler 1749 [16] . År 1846 härledde Malmsten även flera andra reflektionsformler som är specialfall av Hurwitz-reflektionsformeln för den generaliserade zetafunktionen.
På tal om Malmstens bidrag till teorin om zetafunktioner, kan man inte undgå att nämna den alldeles nyligen upptäckta upptäckten av hans författare till reflektionsformeln för den första generaliserade Stieltjes-konstanten
där m och n är positiva heltal så att m < n . Denna jämlikhet tillskrevs felaktigt länge Almkvist och Meurman, som fick den ett och ett halvt sekel senare än Malmsten [7] .
Det är anmärkningsvärt att Malmstens skrifter är skrivna på ett mycket modernt språk och är lättlästa (trots att många är skrivna på latin, franska och svenska). Dessutom sammanfaller de beteckningar som antagits i Malmstens verk nästan helt med moderna, vilket också i hög grad underlättar deras läsning.
Tematiska platser | ||||
---|---|---|---|---|
Ordböcker och uppslagsverk | ||||
|