Självkonsekvent fältmetod

Mean field theory eller self-consistent field theory är ett tillvägagångssätt för att studera beteendet hos stora och komplexa stokastiska system inom fysik och sannolikhetsteori genom studier av enkla modeller. Sådana modeller tar hänsyn till många små komponenter som interagerar med varandra. Inflytandet av andra individuella komponenter på ett givet objekt approximeras av en medelvärdeseffekt, på grund av vilken problemet med många kroppar reduceras till ett enpartikelproblem.

Idén utvecklades först inom fysiken i verk av Pierre Curie [1] och Pierre Weiss , som beskrev fasövergången [2] . Liknande tillvägagångssätt har funnit tillämpning i epidemimodeller [3] , köteori [4] , datanätverksanalys och spelteori [5] .

Problemet med många kroppar, med hänsyn till interaktionen mellan dem, är svårt att lösa, förutom de enklaste fallen (teorin om slumpmässiga fält, den endimensionella Ising-modellen ). Därför ersätts N -kroppssystemet av ett enpartikelproblem med en väl vald extern potential, som ersätter verkan av alla andra partiklar med den valda. Det är svårare (till exempel när man beräknar fördelningsfunktionen i statistisk mekanik ) att ta hänsyn till permutationer när man beräknar interaktionen i Hamiltonian när man summerar över alla tillstånd. Syftet med medelfältsteorin är att kringgå det kombinatoriska tillvägagångssättet. Inom olika vetenskapsområden är medelfältteorin känd under sina egna namn, bland vilka är Bragg-Williams approximation, Bethe gittermodellen, Landau-teorin , Pierre-Weiss approximation, Flory-Guggins teori om lösningar, eller Schuytjens-Fleur teorin.

Huvudidén med medelfältsteorin är att ersätta alla handlingar på en vald kropp med en genomsnittlig eller effektiv interaktion, som ibland kallas ett molekylärt fält [6] . Detta reducerar alla problem med många kroppar till ett effektivt problem med en partikel. Lättheten att lösa problemet med medelfältteorin innebär att man skaffar sig en viss kunskap om systemets beteende till en relativt låg kostnad.

I klassisk fältteori kan Hamilton-funktionen expanderas till en serie med hjälp av storleken på fluktuationer nära medelfältet som expansionsparameter. Medelfältet kan då betraktas som den nollte ordningen av denna expansion. Det betyder att medelfältsteorin inte innehåller några fluktuationer, utan det motsvarar att interaktionerna ersätts av ett medelfält. Ganska ofta, i studiet av fluktuationer, är medelfältsteorin en startramp för studiet av fluktuationer av första eller andra ordningen.

I allmänhet är det mycket dimensionsberoende att bestämma hur väl medelfältsapproximationen kommer att fungera för ett visst problem. I medelfältsteori ersätts många interaktioner av en effektiv handling. Sedan, naturligtvis, om fältet eller partikeln i det initiala systemet har många interaktionspartner, kommer medelfältteorin att vara effektiv. Detta gäller för höga dimensioner, där Hamilton-funktionen inkluderar krafter med stor verkningsradie eller när partiklarna är utsträckta (till exempel polymerer). Ginzburg-kriteriet är ett formellt uttryck för hur fluktuationer gör medelfältsapproximationen dålig, ofta beroende på systemets rumsliga dimension.

Medan medelfältteori har utvecklats inom statistisk mekanik, har den också hittat tillämpningar inom andra områden, såsom interferens, grafteori , neurovetenskap och studiet av artificiell intelligens .

Formell tillvägagångssätt

Det formella förhållningssättet till medelfältsteori bygger på Bogolyubovs ojämlikhet . Hon säger att den fria energin i ett system med en Hamiltonsk funktion

{\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{0}+\Delta {\mathcal {H}}

har en övre gräns

F\leq F_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \langle {\mathcal {H}}\rangle _{0}-TS_{0}

var är entropin , och medelvärdesbildningen utförs över jämviktsensemblen av systemet med Hamilton-funktionen . I ett speciellt fall, när Hamiltons huvudfunktion beskriver ett system utan interaktion, och därför kan det skrivas som ${\displaystyle S_{0))$ ${\mathcal {H}}_{0}$

{\mathcal {H}}_{0}=\sum _{i=1}^{N}h_{i}\left(\xi _{i}\right)

där är en förkortning för graden av frihet för enskilda komponenter i det statistiska systemet (atomer, spins, etc.), kan vi överväga förfinningar av den övre gränsen genom att minimera den högra sidan av ojämlikheten. Minimering av huvudsystemet är då den bästa approximationen till det givna. Det är känt som medelfältsapproximationen. $\left(\xi _{i}\right)$

Oftast innehåller Hamilton-funktionen för systemet som ska undersökas endast parvisa interaktioner, dvs.

{\mathcal {H}}=\summa _{(i,j)\in {\mathcal {P}}}V_{i,j}\left(\xi _{i},\xi _{ j}\right)

var är uppsättningen av parinteraktioner. Då kan minimeringsförfarandet genomföras formellt. Det definieras som en generaliserad summa av observerbara över frihetsgraderna för en komponent (summan för diskreta storheter, intergalen för kontinuerliga). Den fria energin ges ungefär som ${\mathcal {P}}$ ${\rm {Tr))_{i}f(\xi _{i})$ $f$

$F_{0}=\,\!$	${\rm {Tr))_{1,2,..,N}{\mathcal {H))(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _ {N})P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N})$
	$+kT\,{\rm {Tr}}_{1,2,..,N}P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2}, ...,\xi _{N})\log P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N})$

var är sannolikheten att hitta huvudsystemet i ett tillstånd med variabler . Denna sannolikhet ges av den normaliserade Boltzmann-faktorn $P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N})$ $(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N})$

{\begin{aligned}P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N})&{}={ \frac {1}{Z_{0}^{(N)}}}e^{-\beta {\mathcal {H}}_{0}(\xi _{1},\xi _{2}, ...,\xi _{N})}\\&{}=\prod _{i=1}^{N}{\frac {1}{Z_{0))}e^{-\beta h_ {i}\left(\xi _{i}\right)}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \prod _{i=1}^{N}P_{0}^{ (i)}(\xi _{i})\end{aligned}}

var är den statistiska summan. sedan ${\displaystyle Z_{0))$

{\begin{aligned}F_{0}=&{}\summa _{(i,j)\in {\mathcal {P))}{\rm {Tr))_{i,j}V_ {i,j}\left(\xi _{i},\xi _{j}\right)P_{0}^{(i)}(\xi _{i})P_{0}^{(j )}(\xi _{j})\\&{}+kT\summa _{i=1}^{N}{\rm {Tr}}_{i}P_{0}^{(i)} (\xi _{i})\log P_{0}^{(i)}(\xi _{i}).\end{aligned}}

För minimering tas derivatan med avseende på sannolikheten för en frihetsgrad Användning av obestämda Lagrange-multiplikatorer för normalisering. Slutresultatet är ett system av självständiga ekvationer ${\displaystyle P_{0}^{(i)))$

P_{0}^{(i)}(\xi _{i})={\frac {1}{Z_{0))}e^{-\beta h_{i}^{MF}( \xi _{i})}\qquad i=1,2,..,N

där medelfältet anges som

h_{i}^{MF}(\xi _{i})=\summa _{\{j|(i,j)\in {\mathcal {P}}\}}{\rm {Tr }}_{j}V_{i,j}\left(\xi _{i},\xi _{j}\right)P_{0}^{(j)}(\xi _{j}).

Applikation

Medelfältsteorin kan tillämpas på ett antal fysiska system, genom att studera till exempel fasövergångar [7] .

Ising modell

Låt Ising-modellen definieras på ett d - dimensionellt gitter. Hamiltonian ges som

{\displaystyle H=-J\summa _{\langle i,j\rangle }s_{i}s_{j}-h\summa _{i}s_{i))

där betecknar summan över par av närmaste grannar , och är snurr av närmaste grannar. $\sum _{\langle i,j\rangle }$ $\langle i,j\rangle$ $s_{i}=\pm 1$ $s_{j}$

Genom att införa fluktuationsavvikelser från medelvärdet kan Hamiltonian skrivas om $m_{i}\equiv \langle s_{i}\rangle$

H=-J\sum _{\langle i,j\rangle }(m_{i}+\delta s_{i})(m_{j}+\delta s_{j})-h\sum _ {är jag}

där snurrfluktuationer betecknas med . ${\displaystyle \delta s_{i}\equiv s_{i}-m_{i))$

Expandera den högra sidan, kan man få en term som bara beror på medelvärdet av snurret och inte beror på spin-konfigurationen. Denna term är trivial, den påverkar inte systemets statistiska egenskaper. Nästa term innehåller produkten av det genomsnittliga värdet av snurret och fluktuationerna. Slutligen innehåller den sista termen produkter av fluktuationer.

Medelfältsapproximationen består i att försumma denna term av andra ordningen i fluktuationer. Dessa fluktuationer växer i lågdimensionella system, så medelfältteorin fungerar bättre för högdimensionella system.

H\approx H^{MF}\equiv -J\sum _{\langle i,j\rangle }(m_{i}m_{j}+m_{i}\delta s_{j}+m_{ j}\delta s_{i})-h\sum _{i}s_{i}

Termerna kan ordnas om igen. Dessutom bör det genomsnittliga värdet för var och en av snurren inte bero på platsen, eftersom Ising-systemet är translationellt invariant. Det är därför

H^{MF}=-J\sum _{\langle i,j\rangle}\left(m^{2}+2m(s_{i}-m)\right)-h\sum _{ är jag}.

Grannsummering kan skrivas om till , var är de närmaste grannarna , och faktorn 1/2 förhindrar att samma term tas i beräkning två gånger, eftersom två snurr är involverade i bildandet av varje bindning. Förenkling ger slutresultatet ${\displaystyle \sum _{\langle i,j\rangle }={\frac {1}{2}}\summa _{i}\summa _{j\in nn(i)))$ $nn(i)$ $i$

H^{MF}={\frac {Jm^{2}Nz}{2}}-\underbrace {(h+mJz)} _{h^{\mathrm {eff} }}\sum _{ är jag}

var är koordinationsnumret . Vid denna tidpunkt är Ising Hamiltonian uppdelad i summan av en-partikel Hamiltonian med effektivt medelfält och medelfältet på grund av intilliggande snurr. Det är värt att notera att detta genomsnittliga fält direkt beror på antalet närmaste grannar och därför på systemets dimension (till exempel för ett hyperkubiskt gitter med dimension , ). $z$ $h^{\mathrm {eff} }=h+Jzm$ $d$ $z=2d$

Denna Hamiltonian ersätts i fördelningsfunktionen och det effektiva endimensionella problemet löses, erhåller

Z=e^{-\beta Jm^{2}Nz/2}\left[2\cosh \left({\frac {h+mJz}{k_{B}T}}\right)\right ]^{N}

var är antalet gitternoder. Detta är ett slutet och exakt uttryck för systemets distributionsfunktion. Från den kan du få gratis energi och ta reda på de kritiska indexen. I synnerhet kan man få magnetiseringen m som en funktion av . $N$ $h^{\mathrm {eff} }$

Därmed erhålls två ekvationer som anger sambandet mellan m , vilket gör att vi kan bestämma m beroende på temperatur. Konsekvensen av detta är följande: $m$ $h^{\mathrm {eff} }$

för temperaturer över ett visst värde är den enda lösningen . Systemet är paramagnetiskt . $T_{c}$ $m=0$
för det finns två lösningar som inte är noll: . Systemet är en ferromagnet . ${\displaystyle T<T_{c))$ ${\displaystyle m=\pm m_{0))$

$T_{c}$ finns från relationen: . Detta visar att medelfältsteorin kan beskriva fasövergången till det ferromagnetiska tillståndet. ${\displaystyle T_{c}={\frac {Jz}{k_{B))))$

Applikation till andra system

På liknande sätt kan medelfältteori tillämpas på andra Hamiltonianer:

När man studerar fasövergången metall-supraledare. I detta fall är analogen av magnetisering det supraledande gapet . $\Delta$
För det molekylära fältet med flytande kristaller , som uppstår när regissörsfältets Laplacian är icke-noll.
Att bestämma den optimala packningen av aminosyrasidokedjor för en given tertiär struktur när man förutsäger strukturen av proteiner.

Generalisering för tidsberoende medelvärdefält

I medelfältsteorin visas det för en enda nod som en skalär eller vektor, men beror inte på tid. Detta är dock inte nödvändigt: i varianten av teorin, som kallas den dynamiska medelfältsteorin, beror medelfältet på tid. Till exempel kan dynamisk teori tillämpas på Hubbard-modellen genom att studera metallisolatorn Mott-övergången .

Anteckningar

↑ Kadanoff, LP More is the Same; Fasövergångar och medelfältsteorier // Journal of Statistical Physics : journal. - 2009. - Vol. 137 , nr. 5-6 . - s. 777-797 . - doi : 10.1007/s10955-009-9814-1 . - . - arXiv : 0906.0653 .
↑ Weiss, Pierre . L'hypothèse du champ moléculaire et la propriété ferromagnétique (franska) // J. Phys. Theor. Appl. :tidskrift. - 1907. - Vol. 6 , nr 1 . _ - s. 661-690 .
↑ Boudec, JYL; McDonald, D.; Mundinger, J. Ett generiskt medelfältskonvergensresultat för system av interagerande objekt // Fjärde internationella konferensen om kvantitativ utvärdering av system (QEST 2007 ) . - 2007. - P. 3. - ISBN 0-7695-2883-X . - doi : 10.1109/QEST.2007.8 .
↑ Baccelli, F.; Karpelevich, F.I.; Kelbert, M.Y.; Puhalskii, A.A.; Rybko, A.N.; Suhov, YM En medelfältsgräns för en klass av könätverk // Journal of Statistical Physics : journal. - 1992. - Vol. 66 , nr. 3-4 . — S. 803 . - doi : 10.1007/BF01055703 . - .
↑ Lasry, JM; Lions, PLMean field games (neopr.) // Japanese Journal of Mathematics. - 2007. - T. 2 . - S. 229 . - doi : 10.1007/s11537-007-0657-8 .
↑ Chaikin, PM; Lubensky, TC Principer för den kondenserade materiens fysik (neopr.) . — 4:e trycket. - Cambridge: Cambridge University Press , 2007. - ISBN 978-0-521-79450-3 .
↑ H.E. Stanley. Medelfältsteori för magnetiska fasövergångar // Introduktion till fasövergångar och kritiska fenomen (engelska) . - Oxford University Press , 1971. - ISBN 0-19-505316-8 .