Kravchuk polynom

Kravchuk polynom
allmän information
Formel	${\mathcal {K}}_{n}^{(p)}(x)=(-1)^{n}{\binom {N}{n}}p^{n}{}_ {2}F_{1}(-n,-x;-N;1/p)$
Skalär produkt	$(f,g)=\sum \limits _{x=0}^{N}f(x)g(x)\sigma (x)$ .
Domän	$x\in {1,2,...N}$
ytterligare egenskaper
Döpt efter	Kravchuk, Mikhail Filippovich

Kravchuks polynom ( M. F. Kravchuk , 1929 ) är klassiska ortogonala polynom av en diskret variabel på ett enhetligt rutnät, för vilka ortogonalitetsrelationen inte är en integral , utan en serie eller en ändlig summa: . $\sum \limits _{x=0}^{N}k_{n}^{(p)}(x)k_{m}^{(p)}(x)\sigma (x)=d_ {n}^{2},\delta _{m,n}$

Här är viktfunktionen, är den kvadratiska normen, . Ty , viktfunktionen, upp till en konstant faktor, reduceras till binomialkoefficienten . $\sigma (x)={\binom {N}{x}}p^{x}q^{Nx}$ ${\displaystyle d_{n}={\sqrt {{\binom {N}{n}}(pq)^{n))))$ $0<p<1,\quad 0<q<1,\quad p+q=1$ $p=q=1\left/2\right.$ $1\left/2^{N}\right.$

Återkommande relationen för dessa polynom har formen . $(n+1)k_{n+1}^{(p)}(x)+pq\left(N-n+1\right)k_{n-1}^{(p)}(x )={\bigl [}x+n(pq)-pN{\bigr ]}k_{n}^{(p)}(x)$

Genom enkla transformationer kan den reduceras till formen

$f_{n+1}{\frac {k_{n+1}^{(p)}(x)}{d_{n+1}}}+f_{n}{\frac {k_{n -1}^{(p)}(x)}{d_{n-1}}}=\left(rx+\varepsilon n+\Delta \right){\frac {k_{n}^{(p)}( x)}{d_{n}}}$ ,

var

$f_{n}={\sqrt {\frac {n(N+1-n)}{N))},\quad r={\frac {1}{\sqrt {pqN))},\ quad \varepsilon =r(pq),\quad \Delta =-rpN.$

Kravchuk-polynomen kan uttryckas i termer av den Gaussiska hypergeometriska funktionen :

$k_{n}^{(p)}(x)=(-1)^{n}{\binom {N}{n}}p^{n}{}_{2}F_{1} (-n,-x;-N;1/p)$

I gränsen vid går Kravchuk-polynomen över till Hermite-polynomen : $N\till \infty$

$\lim \limits _{N\to \infty }\left(2/Npq\right)^{n/2}n!;k_{n}^{(p)}\left(Np+{\sqrt {2Npq}},x\right)=H_{n}(x)$

De fyra första polynomen för det enklaste fallet är: $p=q=1/2$

${\mathcal {K}}_{0}(x,N)=1$
${\mathcal {K}}_{1}(x,N)=-2x+N$
${\mathcal {K}}_{2}(x,N)=2x^{2}-2Nx+{N \choose 2}$
${\mathcal {K}}_{3}(x,N)=-{\frac {4}{3}}x^{3}+2Nx^{2}-\left(N^{2} }-N+{\frac {2}{3}}\right)x+{N \choose 3}$

Litteratur

Sur une generalization des polynomes d'Hermite . M. Krawtchouk. CRAcad. sci. 1929. T.189, nr 17. P.620 - 622 - artikeln där Kravchuks polynom introducerades för första gången; det franska originalet och översättningar till engelska och ryska finns på länken.
A. F. Nikiforov, S. K. Suslov, V. B. Uvarov. Klassiska ortogonala polynom av en diskret variabel. Moskva, "Nauka", 1985.
Krawtchouk Polynomials hemsida är en webbplats dedikerad till Krawtchouk polynom och innehåller i synnerhet en omfattande bibliografi.

Se även

Ortogonala polynom
Bessel polynom Gegenbauer polynom Kravchuk polynom Laguerre polynom Legendre polynom Polachek polynom Rogers polynom Zernike polynom Chebyshev polynom Charlier polynom Hermitpolynom Jacobi polynom