Multipel korrelationskoefficient

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 23 mars 2019; verifiering kräver 1 redigering .

Multipelkorrelationskoefficient - Karakteriserar tätheten av den linjära korrelationen mellan en slumpvariabel och någon uppsättning slumpvariabler. Närmare bestämt, om (ξ 1 ,ξ 2 ,...,ξ k ) är en slumpmässig vektor från Rk , så är den multipla korrelationskoefficienten mellan ξ 1 och ξ 2 ,...,ξ k numeriskt lika med paret linjär korrelationskoefficient mellan värdet ξ 1 och dess bästa linjära approximation i variablerna ξ 2 ...,ξ k , vilket är en linjär regression av ξ 1 på ξ 2 ,...,ξ k . $\rho _{\xi _{1}\bullet \xi _{2},\ldots ,\xi _{k))$ $M(\xi _{1}|\xi _{2},\ldots ,\xi _{k})$

Egenskaper

Multipelkorrelationskoefficienten har egenskapen att under villkoret

$M\xi _{1}=M\xi _{2}=\ldots =M\xi _{k}=0$ när är en regression av ξ 1 på ξ 2 ,...,ξ k , $\xi _{1}^{*}=\beta _{2}\xi _{2}+\beta _{3}\xi _{3}+\cdots +\beta _{k}\ xi _{k}$

bland alla linjära kombinationer av variabler kommer ξ 2 ,...,ξ k variabeln ξ 1 att ha den maximala korrelationskoefficienten med ξ 1 * , sammanfallande med . I denna mening är den multipla korrelationskoefficienten ett specialfall av den kanoniska korrelationskoefficienten . Vid k = 2 sammanfaller multipelkorrelationskoefficienten i absolut värde med den parvisa linjära korrelationskoefficienten ρ 12 mellan ξ 1 och ξ 2 . $\rho _{\xi _{1}\bullet \xi _{2},\ldots ,\xi _{k))$

Beräkning

Multipelkorrelationskoefficienten beräknas med hjälp av korrelationsmatrisen enligt formeln $\mathbf {R} =\left\{\rho _{i,j}\right\},i,j=1,\ldots ,k$

$\rho _{\xi _{1}\bullet \xi _{2},\ldots ,\xi _{k))^{2}=1-{\frac {\left\vert R\right \vert }{R_{11}}}$ ,

där är determinanten för korrelationsmatrisen och är det algebraiska komplementet av elementet ρ 11 = 1 ; här . Om , då med sannolikhet 1 sammanfaller värdena på ξ 1 med den linjära kombinationen ξ 2 ,...,ξ k , därför ligger den gemensamma fördelningen ξ 1 ,ξ 2 ,...,ξ k på ett hyperplan i utrymmet R k . Å andra sidan, för alla parkorrelationskoefficienter är ρ 12 = ρ 13 = ... = ρ 1k = 0 lika med noll, därför korrelerar värdena på ξ 1 inte med värdena på ξ 2 , ...,ξ k . Det omvända är också sant. Multipelkorrelationskoefficienten kan också beräknas med hjälp av formeln $\left\vert R\right\vert$ $R_{11}$ $0\leqslant \rho _{\xi _{1}\bullet \xi _{2},\ldots ,\xi _{k))\leqslant 1$ $\rho _{\xi _{1}\bullet \xi _{2},\ldots ,\xi _{k))=1$ $\rho _{\xi _{1}\bullet \xi _{2},\ldots ,\xi _{k))=0$

$\rho _{\xi _{1}\bullet \xi _{2},\ldots ,\xi _{k))^{2}=1-{\frac {\sigma _{\xi _ {1}\bullet \xi _{2},\ldots ,\xi _{k}}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}$ ,

där är variansen av ξ 1 och är variansen av ξ 1 i förhållande till regressionen. $\sigma _{1}^{2}$ $\sigma _{\xi _{1}\bullet \xi _{2},\ldots ,\xi _{k))^{2}=M(\xi _{1}-(\beta _ {2}\xi _{2}+\beta _{3}\xi _{3}+\cdots +\beta _{k}\xi _{k}))^{2}$

Exempel på multipel korrelationskoefficient

Provanalogen för multipelkorrelationskoefficienten är värdet , där och är uppskattningar för och erhållna från ett urval av storlek n . Fördelningen av statistiken används för att testa nollhypotesen om inget samband . Förutsatt att provet tas från en multivariat normalfördelning kommer värdet att ha en betafördelning med parametrar om . För fallet är typen av distribution känd, men används praktiskt taget inte på grund av dess krånglighet. $r_{1\bullet 2,\ldots ,k}={\sqrt {1-{\frac {s_{1\bullet 2,\ldots ,k}^{2}}{s_{1}^{ 2}}}}}$ $s_{1\bullet 2,\ldots ,k}^{2}$ $s_{1}^{2}$ $\sigma _{\xi _{1}\bullet \xi _{2},\ldots ,\xi _{k}}^{2}$ $\sigma _{1}^{2}$ ${\displaystyle r_{1\bullet 2,\ldots ,k))$ $r_{1\bullet 2,\ldots ,k}^{2}$ ${\frac {k-1}{2)),{\frac {nk}{2))$ $\rho _{\xi _{1}\bullet \xi _{2},\ldots ,\xi _{k))=0$ $\rho _{\xi _{1}\bullet \xi _{2},\ldots ,\xi _{k))\neq 0$ $r_{1\bullet 2,\ldots ,k}^{2}$

Se även

Bestämningskoefficient

Litteratur

Kramer G. Matematiska metoder för statistik, övers. från engelska, 2:a uppl., M., 1975;
Kendall M., Steward A. , Statistical Inference and Relationships, trans. från engelska, M., 1973.