Uppsättning av stora trigonometriska summor

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 7 maj 2019; kontroller kräver 6 redigeringar .

Uppsättningen av stora trigonometriska summor är en föreställning om talteori - en uppsättning index där Fouriertransformen av den karakteristiska funktionen för en given delmängd av en grupp tar tillräckligt stora värden.

För att underlätta presentationen används förkortningen MBTS vidare i artikeln, även om den inte är allmänt accepterad.

Förutsättningar för lärande

I den klassiska metoden för trigonometriska summor krävs det ofta att man uppifrån uppskattar värdet av modulen för summan för någon delmängd av den cykliska gruppen. Om denna summa har en liten modul för alla , så kan vi utifrån detta dra slutsatser om enhetligheten i fördelningen mellan kontinuerliga segment av rester modulo . Detta visar sig vara sant, till exempel för mängden kvadratiska rester [1] (och effektrester i allmänhet [2] ), diskreta logaritmer av successiva tal [3] eller (för enkla ) uttryck av formen , där är det inversa elementet med avseende på multiplikation ( Kloosterman summan ) [4 ] . ${\displaystyle \sum \limits _{x\in X}{e^{\frac {ax}{n))))$ ${\displaystyle X\subset {\mathbb {Z} }_{n))$ $a\not \equiv 0{\pmod {n}}$ $X$ $n$ $n$ $a+a^{-1}$ $a^{{-1}}$ ${\mathbb {F} }_{n}$

Frågan uppstår naturligtvis: om summorna i fråga inte har en liten modul för alla, för hur många kan då denna modul vara mycket stor, och för vilka speciella uppsättningar värden kan detta vara sant? Till exempel är det uppenbart att om detta är sant för , så även för , men frågan uppstår om förekomsten av andra sådana allmänna lagar som inte beror på mängdens natur . $a\not \equiv 0{\pmod {n}}$ $a$ $a$ $a$ $-a$ $X$

Denna fråga har fått stor uppmärksamhet i additiv kombinatorik , vars idé är att identifiera mönster i strukturen av uppsättningar med minimala restriktioner för dem, och Fourier-koefficienter används i stor utsträckning i den.

Definition

Regelbundenheter för MBTS betraktas som regel på grundval av två parametrar - storleken på huvuduppsättningen och gränsen längs vilken värdena för trigonometriska summor separeras. Ibland skrivs gränsen för trigonometriska summor inte explicit, utan parametriseras genom sin relation till mängden storlek (eftersom summans modul uppenbarligen aldrig är större än mängden). På grund av detta, såväl som från den olika normaliseringen av Fourier-koefficienterna, kan uttrycken i formuleringarna av definitioner och teorem av olika författare skilja sig, men kärnan i de relationer som studeras förblir densamma.

Låt vara ett naturligt tal, , $N$ ${\displaystyle A\subset {\mathbb {Z} }_{N))$ $|A|=\delta N$

Låt också beteckna den e Fourier-koefficienten (ej normaliserad) för den karakteristiska funktionen . ${\widehat {A}}(\xi )=\sum \limits _{x\in A}{e^{2\pi {\frac {\xi x}{N}}i}}$ $\xi$ $A$

Sedan definieras uppsättningarna av stora trigonometriska summor med en parameter (upp till parametern ) som $\alfa$

{\mathcal {R}}_{\alpha }={\mathcal {R}}_{\alpha }(A)=\left\lbrace {\xi :|{\widehat {A}}(\ xi )|\geq \alpha N}\right\rbrace

[5]

Vissa studiemetoder

Approximation av en funktion med en uppsättning

För att konstruera exempel på mängder som har MBTS med vissa egenskaper konstrueras ofta funktioner som har motsvarande Fourierkoefficienter, och då anges på denna basis förekomsten av mängder vars Fourierkoefficienter inte skiljer sig mycket från dessa funktioners koefficienter [6] [7] [8] . Skälen för detta ges av följande lemma, vars bevis går tillbaka till den allmänna linjär-algebraiska idén och går utanför räckvidden för vetenskapen om MBTS.

Om , så finns det en uppsättning storlek så att [9] $f:{\mathbb {Z} }_{N}\to [0;1]$ ${\displaystyle S\subset {\mathbb {Z} }_{N))$ $\left\lfloor {\sum \limits _{x}{f(x)))\right\rfloor$ $\forall r\in {\mathbb {Z} }_{N}:|{\widehat {S}}(r)-{\widehat {f}}(r)|\leq 20{\sqrt { N}}$

Filtrering av Fourierkoefficienter

För att härleda allmänna uttalanden om MBTS för vissa uppsättningar, är det bekvämt att använda [10] [11] funktionerna som bildas från mängdens indikatorfunktion genom att filtrera Fourierkoefficienterna med avseende på denna MBTS, det vill säga en sådan funktion som $f$

{\widehat {f}}(\xi )={\begin{cases}{\widehat {1_{A}}}(\xi )&\xi \in {\mathcal {R}}_{\ alpha }(A)\\0&\xi \inte \in {\mathcal {R}}_{\alpha }(A)\end{cases}}

Det visar sig att för sådana funktioner är det mesta av summan av värden också koncentrerad till . $A$

Egenskaper

Storlek

Från jämlikhet är det lätt att få. vad . $\sum \limits _{\xi }{|{\widehat {A}}(\xi )|^{2}}=|A|^{2}$ ${\displaystyle |{\mathcal {R}}_{\alpha }|<{\frac {\delta }{\alpha ^{2))))$

För vissa värden är denna uppskattning ganska korrekt när det gäller tillväxtordningen på . $\delta ,\alpha$

Ett exempel är kvadratiska rester

Om är mängden kvadratiska rester modulo , , då för , förvandlas skattningen till en olikhet nära . ${\displaystyle Q_{p}\subset {\mathbb {Z} }_{p))$ $sid$ $\delta ={\frac {p+1}{2p)),\ \alpha \approx {\frac {1}{2{\sqrt {p))))$ $|{\mathcal {R}}_{\alpha }(Q_{p})|=p$ $|{\mathcal {R}}_{\alpha }(Q_{p})|<2(p+1)$

Med hjälp av en konstruktion av formen kan denna idé generaliseras till MBTS med en lägre gräns i förhållande till modulen med värdet på summan. Samtidigt bildas samma skillnad mellan uppskattningen och den faktiska storleken på MBTS. ${\displaystyle \bigcup \limits _{s=0}^{k-1}{(sp+Q_{p})}\subset {\mathbb {Z} }_{kp))$

Ett exempel är konsekutiva nummer

I exemplet med kvadratiska rester är värdet nära fast. För att hitta exempel med ett godtyckligt värde räcker det att ta hänsyn till mängden där . $\delta ={\frac {p+1}{2p}}\approx {\frac {1}{2}}$ $\delta$ ${\displaystyle A=\{1,2,\dots ,m\}\subset {\mathbb {Z} }_{N))$ $m\ll N$

Sedan (det vill säga riktningarna för vektorerna som motsvarar begränsas av en ganska snäv vinkel) och därför , så att den nedre gränsen är sann . Dessutom, eftersom , är det till och med sant att $\forall \xi <{\frac {N}{4m}}\forall a\in A:\ \arg \left({e^{2\pi {\frac {\xi a}{N}} i}}\right)<{\frac {\pi }{2}}$ ${\displaystyle e^{2\pi {\frac {\xi a}{N}}i))$ $\forall \xi <{\frac {N}{4m)):|{\widehat {A}}(\xi )|\gg {\frac {m}{2}}$ $|{\mathcal {R}}_{\frac {m}{2N}}(A)|\geq \left\lfloor {\frac {N}{4m}}\right\rfloor$ $|{\widehat {A}}(\xi )|=|{\widehat {A}}(-\xi )|$ $|{\mathcal {R}}_{\frac {m}{2N}}(A)|\geq \left\lfloor {\frac {N}{2m}}\right\rfloor$

Men för , förvandlas den övre skattningen till en ojämlikhet . $\delta ={\frac {m}{N)),\ \alpha ={\frac {m}{2N))$ $|{\mathcal {R}}_{\alpha }(A)|\leq 4{\frac {N}{m}}$

Det visar sig att den övre skattningen också är exakt upp till multiplikation med en konstant. $\left\lfloor {\frac {N}{2m}}\right\rfloor \leq |{\mathcal {R}}_{\alpha }(A)|\leq 4{\frac {N}{ m}}$

Struktur

Graden av strukturerad MBTS i olika betydelser kan uppskattas ganska exakt när de är tillräckligt stora. I fallet när de är små kan MBTS vara ganska godtyckliga.

Additiv energi

Å ena sidan tillåter MBTS en lägre uppskattning av den additiva energin för någon av deras delmängder.

Om , då [11] $B\subset {\mathcal {R}}_{\alpha }$ ${\displaystyle T_{k}(B)\gg _{k}{\frac {\alpha ^{2k)){\delta ^{2k-1))}|B|^{2k))$

Kort beskrivning av bevisidén

Det räcker att uppskatta energin för mängder av formen på ett liknande sätt och summera resultaten över värdena $B'\subset {\mathcal {R}}_{\alpha }\setminus {\mathcal {R}}_{2\alpha }$ $\alpha ,2\alpha ,4\alpha ,\dots$

Funktionen används för att uppskatta energin . vars Fourier-koefficienter är de koefficienter som filtrerats med . Eftersom, från allmänna överväganden, värdena för en sådan funktion är mycket mättade i , är det tillräckligt, med hjälp av en serie Hölder-ojämlikheter och operationer med faltningar, att uppskatta denna mättnad genom konstruktionen och en viss faktor beroende på (dvs. , på ). Konstruktionen , på grund av subtraktionen från (det vill säga på grund av villkoret på uppskattningen från ovan), uppskattas ovanifrån genom värdet av den additiva energin (med någon ytterligare faktor). $B'$ $1_{A}$ $B'$ $A$ $\sum \limits _{u}{({\Bigg \vert }{\sum \limits _{r}({\widehat {f))(r){\overline {{\widehat {f)) (en)}}}}{\Bigg \vert }}^{2}}$ $|A|$ $\delta$ $\sum \limits _{u}{({\Bigg \vert }{\sum \limits _{r}({\widehat {f))(r){\overline {{\widehat {f)) (en)}}}}{\Bigg \vert }}^{2}}$ ${\mathcal {R}}_{2\alpha }$ $B'$ ${\widehat {f}}(\xi )$

Å andra sidan, under vissa ytterligare (inte alltför starka) förhållanden på parametrarna, finns det en uppsättning för vilken den övre gränsen också är sann [ 12] . Detta tyder på att MBTS ibland fortfarande kan vara ganska stort och ostrukturerat på samma gång. $k,\alpha ,\delta$ $A$ ${\displaystyle T_{k}({\mathcal {R}}_{\alpha })\ll _{k}{\frac {\delta}{\alpha ^{2k))))$ ${\displaystyle |{\mathcal {R}}_{\alpha }|\gg {\frac {\delta }{\alpha ^{2))))$

Design

För konstruktion används setet , som har en speciellt förbättrad dissociativitetsegenskap. $\lambda$

Själva uppsättningen definieras som föreningen av skiftningarna av olika aritmetiska progressioner med skillnader , och skiftningarna väljs på detta sätt. så att varje ny progression som läggs till uppsättningen har så liten skärning som möjligt med den redan konstruerade uppsättningen. $A$ $|\Lambda |$ $\lambda \in \Lambda$

MBTS för en sådan uppsättning innehåller föreningen av samma antal andra aritmetiska progressioner (vilket tillåter oss att tala om dess stora storlek) och är samtidigt själv inkluderad i unionen av samma aritmetiska progressioner, bara mer utvidgad i båda riktningar (och detta gör att vi kan härleda från allmänna kombinatoriska överväganden att dess tillsatsenergi inte är stor).

I fallet när har den största möjliga storleken sammanfaller dessa uppskattningar (om den första övervägs för ) upp till en konstant beroende på . Det vill säga, för en ganska bred klass av parametervärden finns det uppsättningar vars MBTS-struktureringsmått bestäms nästan unikt, och deras MBTS visar sig vara desto mer ostrukturerade, ju fler element de innehåller (desto större är skillnaden mellan och ). ${\mathcal {R}}_{\alpha }$ $B={\mathcal {R}}_{\alpha }$ $k$ $\delta ,\alpha$ $\delta$ $\alfa$

Additiv dimension

En annan egenskap som studeras är den additiva dimensionen av MBTS, det vill säga storleken på den maximala dissociativa uppsättningen som finns i den . Vidare betecknas detta värde som . $\dim _{+}({\mathcal {R}}_{\alpha })$

Chang bevisade 2002 att [13] [14] . Grunden för beviset var tillämpningen av Rudins ojämlikhet på den funktion som bildades från mängdens indikatorfunktion genom att filtrera Fourierkoefficienterna enligt [10] . ${\displaystyle \dim _{+}({\mathcal {R}}_{\alpha })\ll {\left({\frac {\delta }{\alpha }}\right)}^{2}\ log {\left({\frac {1}{\delta }}\right)))$ ${\mathcal {R}}_{\alpha }$

Samtidigt visade Green 2003 att under förutsättningarna

$\delta \leq {\frac {1}{8))$

$\alpha \leq {\frac {\delta }{32))$

${\left({\frac {\delta }{\alpha }}\right)}^{2}\log {\left({\frac {1}{\delta}}\right)}\leq {\frac {\log N}{\log \log N))$

det finns en uppsättning för vilken [15] [7] . $A$ ${\displaystyle \dim _{+}({\mathcal {R}}_{\alpha })\gg {\left({\frac {\delta }{\alpha }}\right)}^{2}\ log {\left({\frac {1}{\delta }}\right)))$

Det vill säga, när man överväger tillräckligt stora värden av summorna, kan den additiva dimensionen av MBTS också uppskattas ganska exakt.

Godtycke

Om MBTS är tillräckligt liten jämfört med dess maximala möjliga storlek, visar den övergripande uppskattningen för den additiva energin sig vara trivial, det vill säga det tillåter oss inte att säga något om den interna strukturen i uppsättningen.

Det visar sig att i det här fallet ingenting kan sägas om det - det vill säga en godtycklig uppsättning kan vara en liten MBTS.

Teorem (Shkredov)

Om en

$\delta <{\frac {1}{2}}$

$20{\frac {1}{\sqrt {N}}}<\alpha \leq {\frac {\delta }{2}}$

$|S|\leq {\frac {\delta }{2\alpha }}$

$S=-S$

sedan [ 6] $\exists A:\ |A|=\left\lfloor {\delta N}\right\rfloor$ ${\mathcal {R}}_{\alpha }(A)=S$

Kort beskrivning av bevisidén

Det räcker med att överväga en sådan funktion $f$

{\widehat {f}}(\xi )={\begin{cases}\delta &\xi =0\\2\alpha &\xi \in S\setminus \{0\}\\0&\ xi \not \in S\end{cases}}

och tillämpa lemmat om approximationen av dess Fourierkoefficienter i termer av Fourierkoefficienterna för mängdens indikatorfunktion.

Den huvudsakliga begränsningen här är att resten beror på den allmänna karaktären hos trigonometriska summor. $|S|\leq {\frac {\delta }{2\alpha }}$

Storleksbegränsningen kan lättas till genom att lägga till villkoret att den har någon egenskap som är en variation av dissociativitet [16] . $|S|\leq {\frac {\delta }{\alpha }}\log {\frac {1}{\delta }}$ $S$

Förhållandet mellan MBTS av olika uppsättningar

MBTS med storleksuppsättningar (halva gruppstorleken) täcker på sätt och vis strukturen för alla andra MBTS. $\left\lfloor {\frac {N}{2}}\right\rfloor$

Teorem (Grön)

Om , så finns det för någon sådan att och [8] ${\displaystyle \alpha \geq 80{\frac {1}{\sqrt {N))))$ ${\displaystyle A\subset {\mathbb {Z} }_{N))$ ${\displaystyle B\subset {\mathbb {Z} }_{N))$ $|B|=\left\lfloor {\frac {N}{2}}\right\rfloor$ ${\mathcal {R}}_{\alpha }(A)\subset {\mathcal {R}}_{\frac {\alpha }{4}}(B)$

Generaliseringar

MBTS kan studeras inte bara för cykliska, utan också för vilka grupper som helst, om begreppet Fourierkoefficient är ordentligt generaliserat [17] .

Till exempel, för vilken som helst och dess uppsättning innehåller -MBTS en undergrupp av storlek (det sista uttrycket betyder tetration ) [18] . $\alpha <{\frac {1}{2))$ ${\displaystyle A\subset {\mathbb {Z} }_{2}^{n))$ $\alfa$ ${}^{\left({\frac {1}{\alpha ^{3))}\right)}2$

Applikationer

Chang tillämpade gränser på den additiva dimensionen av MBTS för att förbättra gränserna i Freimans teorem [14] .

Litteratur

B.I. Segal. Trigonometriska summor och några av deras tillämpningar på talteori // Uspekhi matematicheskikh nauk. - 1946. - Utgåva. 3-4 (13-14) . - S. 147-193 . (ryska)

M. A. Korolev. Metoder för att uppskatta Kloostermans korta summor // Chebyshevskii sbornik. - 2016. - T. 17 , nr. 4 . - S. 79-109 . (ryska)

I. D. Shkredov. Några exempel på uppsättningar av stora trigonometriska summor // Matematisk samling. - 2007. - T. 198 , nr. 12 . - S. 105-140 . (ryska)

I. D. Shkredov. På uppsättningar av stora trigonometriska summor // Izvestiya RAN, Mathematics Series. - 2008. - T. 72 , nr. 1 . - S. 161-182 . (ryska)

Mei-Chu Chang. Ett polynom bundet i Freimans teorem // Duke Mathematical Journal. - 2002. - Vol. 113 , iss. 3 . - s. 399-419 .

Ben Green. Några konstruktioner i den omvända spektralteorin för cykliska grupper // Combinatorics, Probability and Computing. - 2003. - Vol. 12 , iss. 2 . — S. 127-138 .

Ben Green. Ett regelbundet lemma av Szemerédi-typ i abelska grupper, med applikationer (engelska) // Geometric & Functional Analysis GAFA. - 2005. - Vol. 15 , iss. 2 . — S. 340-376 .

Anteckningar

↑ Segal, 1946 , sid. 151.
↑ Segal, 1946 , sid. 159-160.
↑ Segal, 1946 , sid. 163.
↑ Korolev, 2016 , sid. 81-82.
↑ Shkredov, 2008 , sid. 161.
↑ 1 2 Shkredov, 2007 , sid. 109, proposition 2.1.
↑ 1 2 Green, 2003 , sid. 131-133, Lemma 3.2, 3.3.
↑ 1 2 Green, 2003 , sid. 129, Lemma 2.3.
↑ Green, 2003 , sid. 129, Lemma 2.2.
↑ 1 2 Förtryck av Changs arbete Arkiverad 1 december 2016 på Wayback Machine , sid. 17, Lemma 3.1
↑ 1 2 Shkredov, 2008 , sid. 163, sats 5.
↑ Shkredov, 2007 , sid. 118, sats 2.11.
↑ Shkredov, 2008 , sid. 162, sats 1 (inget bevis).
↑ 1 2 Chang, 2002 .
↑ Shkredov, 2008 , sid. 162, sats 4 (inget bevis).
↑ Shkredov, 2007 , sid. 112, förslag 2.9.
↑ Shkredov, 2007 , sid. 108.
↑ Green, 2005 , sid. 345, sats 2.1.