Black-Scholes modell

Black -Scholes Option Pricing Model ( OPM ) är en modell som bestämmer det teoretiska priset på europeiska optioner , vilket innebär att om den underliggande tillgången handlas på marknaden så är priset på optionen på den implicit redan satt av sig själv. . Denna modell har använts flitigt i praktiken och kan bland annat också användas för att värdera alla derivat, inklusive warranter , konvertibla värdepapper , och till och med för att utvärdera eget kapital i finansiellt beroende företag.

Enligt Black-Scholes-modellen är nyckelelementet för att fastställa värdet på en option den förväntade volatiliteten hos den underliggande tillgången. Beroende på tillgångens fluktuation ökar eller minskar priset på den, vilket direkt påverkar värdet på optionen i direkt proportion. Således, om värdet på optionen är känt, är det möjligt att bestämma nivån av volatilitet som förväntas av marknaden [1] .

Historik

Formeln för modellprissättning av optioner utvecklades först av Fisher Black och Myron Scholes 1973 i The Pricing of Options and Corporate Liabilities. Deras forskning bygger på tidigare arbeten av Jack Traynor , Paul Samuelson , James Bones, Sheen Kassouf och Edward Thorpe och utvecklades under en period av snabb tillväxt inom optionshandel.

Teorins sju antaganden

För att härleda sin optionsprismodell gjorde Black och Scholes följande antaganden:

Värdepapper ( underliggande tillgång ) handlas kontinuerligt och deras prisbeteende följer en geometrisk Brownsk rörelsemodell med kända parametrar (i synnerhet dessa parametrar är konstanta under optionens livslängd).
Den underliggande tillgången för optionen ger ingen utdelning under optionens livslängd.
Det finns inga transaktionskostnader förknippade med att köpa eller sälja en aktie eller option.
Den kortsiktiga riskfria räntan är känd och är konstant under optionens livslängd.
Varje köpare av ett värdepapper kan låna till en kortfristig riskfri ränta för att betala vilken del som helst av dess pris.
blankning är tillåten utan begränsningar och säljaren kommer omedelbart att få alla kontanter för det kortade värdepapperet till dagens pris.
Det finns ingen möjlighet till arbitrage .

Modellens slutledning bygger på konceptet riskfri säkring . Genom att köpa aktier och samtidigt sälja köpoptioner på dessa aktier kan en investerare konstruera en riskfri position där vinsten på aktierna exakt kommer att kompensera för förlusterna på optionerna, och vice versa.

En riskfri säkrad position måste ge en avkastning till en ränta som är lika med den riskfria räntan, annars skulle det finnas en arbitragemöjlighet och investerare som försöker dra nytta av denna möjlighet skulle få priset på optionen till den jämviktsnivå som bestäms av modellen.

Formler

Köpoptionspris :

C=SN(d_{1})-Xe^{-rT}N(d_{2}),

var

d_{1}={\frac {\ln({\frac {S}{X)))+(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}})T}{\sigma {\sqrt {T)))),

d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T)).

säljoptionspris :

P=Xe^{-rT}N(-d_{2})-SN(-d_{1}).

Beteckningar:

$C$ — Köpoptionspris ;
$S$ — Aktuellt pris på den underliggande tillgången (avista).
$N(x)$ är den kumulativa fördelningsfunktionen för standardnormalfördelningen;
$X$ — lösenpris för optioner (strike).
$r$ — Riskfri ränta.
$T$ - tid till utgången av optionen;
$\sigma$ — Volatiliteten i avkastningen på den underliggande tillgången.

"Greker"

För att karakterisera känsligheten för priset (premium) för en option för en förändring av vissa värden, används olika koefficienter, så kallade "greker". Namnet kommer från det grekiska alfabetet , vars bokstäver betecknar dessa koefficienter (med undantag för "vega"). "Greker" inom ramen för Black-Scholes-modellen beräknas uttryckligen:

"Grekisk"	Partiell derivatrepresentation	köpoptioner _	säljoptioner _
delta	${\frac {\partial c}{\partial S))$	$N(d_{1})$	$-N(-d_{1})=N(d_{1})-1$
gamma	${\frac {\partial ^{2}c}{\partial S^{2))}$	${\frac {N'(d_{1})}{S\sigma {\sqrt {T))))$
vega [2] [3]	${\frac {\partial c}{\partial \sigma ))$	$SN'(d_{1}){\sqrt {T))$
theta	${\frac {\partial c}{\partial t))$	$-{\frac {SN'(d_{1})\sigma }{2{\sqrt {T))))-rKe^{-r(T)}N(d_{2})$	$-{\frac {SN'(d_{1})\sigma }{2{\sqrt {T))))+rKe^{-r(T)}N(-d_{2})$
ro [3]	${\frac {\partial c}{\partial r))$	$K\cdot T\cdot e^{-r(T)}N(d_{2})$	$-K\cdot T\cdot e^{-r(T)}N(-d_{2})$

Noterbart är att gamma- och vegaformlerna är desamma för puts och calls, vilket är en logisk härledning av put- och call-paritetsteori .

Till exempel gör kunskap om delta- och gammakoefficienterna det möjligt att uppskatta förändringen i priset (premien) för en option när priset på det underliggande finansiella instrumentet ändras : $\Delta$ $\Gamma$ $\delta c$ $\delta S$

\delta c\approx \Delta \cdot \delta S+\Gamma \,{\frac {(\delta S)^{2}}{2}}.

Denna formel erhålls genom att utöka optionspriset i en Taylor-serie . Likaså, ju större theta, desto snabbare tidsavklingning av alternativet, och så vidare. $c(S)$

Merton modell

Merton -modellen följer direkt av Black-Scholes- modellen , som gör det möjligt att modellera värdet av företagets eget kapital baserat på värdet av företagets värde och dess skuld, presenterat i form av en nollkupongobligation [4] . I detta fall representeras aktie S som en lång köpoption på det totala värdet av företag V med ett lösenpris på nollkupongobligationen F:

$S=max(VF,0)$

Skuld D, i sin tur, representeras som en portfölj, antingen lång på nollkupong F och kort placerad på företag V:s eget kapital till lösenpris F, eller lång på bolag V:s eget kapital och kort call på V vid strejk F:

$D=F-max(FV,0)=V-max(VF,0)$

Anteckningar

↑ Roger Lowenstein, "When genious failed" kapitel 7 "Bank of volatility", s.124
↑ Inte en grekisk bokstav.
↑ 1 2 den så kallade bastardgreken. Det finns ingen rysk översättning för denna term, innebörden är att differentiering utförs enligt parametern, som ansågs vara en konstant när formeln härleddes. Därför kan användningen av bastardgreker leda till allvarliga fel i handel och riskhantering.
↑ Rene M. Stulz. Kapitel 18: Kreditrisker och kreditderivat // Riskhantering och derivat. — Konsortiet, 1999.

Litteratur

Svart, Fischer; Myron Scholes. Prissättningen av optioner och företagsskulder // Journal of Political Economy : journal. - 1973. - Vol. 81 , nr. 3 . - s. 637-654 . - doi : 10.1086/260062 . [ett]
Merton, Robert C. Theory of Rational Option Pricing // Bell Journal of Economics and Management Science : journal. - The RAND Corporation, 1973. - Vol. 4 , nr. 1 . - S. 141-183 . - doi : 10.2307/3003143 . — .
Hull, John C.Optioner, terminer och andra derivat. - Prentice Hall , 1997. - ISBN 0-13-601589-1 .