Hardys ojämlikhet

Hardys ojämlikhet är en matematisk ojämlikhet uppkallad efter författaren, den engelske matematikern G. H. Hardy . Först publicerad och bevisad 1920 i Hardys anteckning [1] om att förenkla beviset för Hilberts dubbla seriesats [2] [3] .

Formulering

Här är en modern version av ojämlikheten; den skiljer sig något från den som ges i Hardys första publikation - 1926 specificerade Edmund Landau koefficienten på höger sida [4] .

Låta vara en sekvens av icke-negativa reella tal , som inte alla är lika med noll. Sedan gäller följande olikhet för alla reella tal : $a_{1},a_{2},a_{3}\dots$ $p>1$

\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\right)^{ p}<\left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{p}.

Konstanten till höger är optimal, det vill säga i fallet med en minskning av den kan ojämlikheten inte tillfredsställas [5] . $\left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}$

Integral version

Om är en icke-negativ integrerbar funktion , då [6] : $f(x)$

\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,dt\right)^{p }\,dx\leqslant \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx .

Likheten mellan vänster och höger sida är möjlig om och endast om funktionen är lika med noll nästan överallt [6] . $f(x)$

Anteckningar

Från Hardys ojämlikhet kan Carlemans ojämlikhet härledas som en konsekvens .

Hardys integrala ojämlikhet har många generaliseringar [7] [8] .

Anteckningar

↑ Hardy, GH Note on a theorem of Hilbert // Mathematische Zeitschrift : journal. - 1920. - Vol. 6 , nr. 3-4 . - s. 314-317 . - doi : 10.1007/BF01199965 .
↑ Hilbert ojämlikhet // Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer). - M .: Soviet Encyclopedia , 1977. - T. 1. - S. 967-968.
↑ Hardy, Littlewood, Poya 2006 , sats 315ff.
↑ Hardy, Littlewood, Poya 2006 , anmärkning om sats 327.
↑ Hardy, Littlewood, Poya 2006 , sats 326ff.
↑ 1 2 Hardy, Littlewood, Poya 2006 , Teorem 327.
↑ Encyclopedia of Mathematics, 1985 .
↑ Ruzhansky, Michael. Hardy ojämlikheter på homogena grupper: 100 år av härdiga ojämlikheter . - ISBN 978-3-030-02894-7 , 3-030-02894-1.

Litteratur

Nikolsky S. M. Approximation av funktioner för flera variabler och inbäddningssatser, 2nd ed., M.: Nauka, 1977, 456 pp.
Xapdy G. G. , Littlewood D. E. , Polia G. Ojämlikheter = Ojämlikheter. - M. : KomKniga, 2006. - 458 sid. — ISBN 5-484-00363-6 .
Hardy ojämlikhet // Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer) . - M .: Soviet Encyclopedia , 1985. - T. 5. - S. 772-773.
Kufner, Alois; Persson, Lars-Erik. Viktade ojämlikheter av Hardy-typ (neopr.) . - World Scientific Publishing , 2003. - ISBN 981-238-195-3 .
Masmoudi, Nader (2011), About the Hardy Inequality, in Dierk Schleicher, Malte Lackmann, An Invitation to Mathematics , Springer Berlin Heidelberg, ISBN 978-3-642-19533-4 CS1 maint: Uses editors parameter (länk) Masmoudi, Nader (2011), About the Hardy Inequality, i Dierk Schleicher, Malte Lackmann, An Invitation to Mathematics , Springer Berlin Heidelberg, ISBN 978-3-642-19533-4 .

Länkar

Hazewinkel, Michiel, red. (2001), Hardy inequality , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4