Oreducerbar fraktion

Inom matematiken är en irreducerbar ( reducerad ) bråkdel en vanlig bråkdel av formen som inte kan reduceras . Med andra ord är ett bråk irreducerbart om dess täljare och nämnare är coprime [1] , det vill säga de har inga gemensamma divisorer förutom . Till exempel är en bråkdel irreducerbar, men du kan minska: $\pm {\frac {m}{n}}$ $\pm 1$ ${\frac {121}{90}}$ ${\frac {120}{90}}$ ${\frac {120}{90}}={\frac {12}{9}}={\frac {4}{3}}.$

Vanliga bråk

Varje rationellt tal som inte är noll kan unikt representeras som en irreducerbar bråkdel av formen där är ett heltal och är ett naturligt tal. Detta följer av aritmetikens grundläggande teorem . Om nämnaren tillåts vara negativ är en andra irreducerbar representation möjlig: ${\frac {m}{n)),$ $m$ $n$ $n$

-{\frac {4}{5}}={\frac {-4}{5}}={\frac {4}{-5}}

För att reducera ett vanligt bråk till en irreducerbar form är det nödvändigt att dividera dess täljare och nämnare med den största gemensamma divisorn [2] GCD För att hitta den största gemensamma divisorn används vanligtvis Euklids algoritm eller nedbrytning i primtal . $\pm {\frac {m}{n))$ $(m,n).$

För ett heltal n är den irreducerbara bråkrepresentationen

n={\frac {n}{1}}\

Variationer och generaliseringar

De irreducerbarhetsegenskaper som finns för vanliga bråk gäller för en godtycklig faktoriell ring , det vill säga en ring där en analog till aritmetikens grundsats gäller . Vilken bråkdel som helst från elementen i en faktoriell ring (med en nämnare som inte är noll) kan representeras i en irreducerbar form, och unikt upp till enhetsdelare för denna ring.

Ringen av Gaussiska tal består av komplexa tal av formen där är heltal. Det finns fyra enhetsdelare: Denna ring är faktoriell, och teorin om bråk för den är konstruerad på samma sätt som heltal. Det är till exempel lätt att kontrollera [3] att en bråkdel kan reduceras till (redan irreducerbar) $a+bi,$ $a,b$ $1;-1;i;-i.$ ${\frac {4+2i}{4+7i}}$ ${\frac {2}{3+2i}}.$

Polynom med koefficienter från någon ring bildar också en faktoriell ring - ringen av polynom . rationella funktioner , det vill säga bråk, i täljare och nämnare som är polynom . Enhetsdelare här kommer att vara icke-nolltal (som polynom med grad noll). Tvetydigheten i representationen kan tas bort genom att kräva att polynomet i nämnaren reduceras .

Men över en godtycklig ring krävs det generellt sett inte att ett element i bråkringen har en unik representation upp till enhetsdelare i form av ett irreducerbart bråk, eftersom aritmetikens huvudsats inte är giltig i varje ring [4] . Betrakta till exempel komplexa tal av formen , där , är heltal. Summan och produkten av sådana tal kommer att vara tal av samma slag, så de bildar en ring. Den är dock inte faktoriell, och den oreducerbara representationen av bråk är tvetydig, till exempel: $a=m+in{\sqrt {5}}$ $m$ $n$

{\frac {6}{3(1+i{\sqrt {5))))}}={\frac {2}{1+i{\sqrt {5}}}}={\frac { 1-i{\sqrt {5}}}{3}}

De andra och tredje bråken har både täljaren och nämnarens primtal för den angivna ringen, så båda bråken är irreducerbara.

Anteckningar

↑ Gusev, Mordkovich, 2013 , sid. 29-30.
↑ Vygodsky, 2006 , sid. 81-82.
↑ Weisstein, Eric W. Irreducible Fraction på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ Zhikov V.V. Fundamental theorem of aritmetic // Soros Educational Journal . - 2000. - T. 6 , nr 3 . - S. 112-117 .

Litteratur

Vygodsky M. Ya. Handbok i elementär matematik. - M. : AST, 2006. - 509 sid. — ISBN 5-17-009554-6 .
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematik: en studieguide. — M .: Astrel, 2013. — 671 sid. - (Studentens handbok). - ISBN 978-5-271-07165-2 .

Länkar

Weisstein, Eric W. Reduced Fraction på Wolfram MathWorld .