Homogen differentialekvation

Det finns två koncept för homogenitet av differentialekvationer .

Enhetlighet i argument

En vanlig första ordningens ekvation sägs vara homogen med avseende på x och y om funktionen är homogen med grad 0: $y'=f(x,y)$ $f(x,y)$

f(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{0}f(x,y)=f(x,y)

En homogen funktion kan representeras som en funktion av : ${\frac {y}{x))$

\ f(x,y)=f\left(1,{\frac {y}{x}}\right)=g\left({\frac {y}{x}}\right)

Vi använder substitution och sedan använder vi produktregeln : . Därefter reduceras differentialekvationen till en ekvation med separerbara variabler: ${\frac {y}{x}}=u$ ${\frac {d(ux)}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dx}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+ u$ $y'=f(x,y)$

u'x+u=g(u)\Högerpil {\frac {du}{ug(u)))+{\frac {dx}{x}}=0

Enhetlighet på höger sida

En differentialekvation är homogen om den inte innehåller en fri term – en term som inte är beroende av den okända funktionen. Så vi kan säga att ekvationen är homogen om . $F(y,y',y'',\ldots )=G(x)$ $G(x)\ekvivalent 0$

Om man talar om en inhomogen differentialekvation . $G(x)\nekv 0$

Det var för lösningen av linjära homogena differentialekvationer som en hel teori byggdes, vilket underlättades av uppfyllandet av deras princip om överlagring .

Homogen differentialekvation

Enhetlighet i argument

Enhetlighet på höger sida

Se även