Ortonormalt system

Ett ortonormalt system är ett ortogonalt system där varje element i systemet har enhetsnorm .

Definition

För alla delar av detta system , den skalära produkten , där är Kronecker-symbolen : $\varphi _{i},\varphi _{j}$ $(\varphi _{i},\varphi _{j})=\delta _{{ij}}$ $\delta _{{ij}}$

\delta _{{ij}}=\left\{{\begin{matrix}1,&i=j\\0,&i\neq j\end{matrix}}\right.

Ett ortonormalt system, om det är komplett, kan användas som grund för utrymmet. I det här fallet kan nedbrytningen av vilket element som helst beräknas med formlerna: , där . $\vec a$ ${\vec a}=\summa _{{k}}\alpha _{i}\varphi _{i}$ $\alpha _{i}=({\vec a},\varphi _{i})$

Exempel

I ett ändligt dimensionellt utrymme kommer ett ortonormalt system att vara en uppsättning vektorer: $R^{n}$

e_{1}=(1,0,\dots ,0),e_{2}=(0,1,0,\dots ,0),\dots ,e_{n}=(0,0,\dots , 0,1)

I rymden kommer $L^{2}[0,l]$ ett ortonormalt system att vara en uppsättning funktioner:

\varphi _{k}(x)={\sqrt ({\frac {2}{l))))\sin k{\frac {\pi}{l))x

Dessutom kommer detta system av funktioner också att vara en ortonormal bas i rymden . $L^{2}[0,l]$

I rymden $L^{2}[0,1]$ är systemet med Rademacher-funktioner ortonormalt.

Ortogonalisering

Från vilket linjärt oberoende system som helst kan man konstruera ett ortonormalt system genom att tillämpa Gram-Schmidt-ortogonaliseringsprocessen .

Ortonormalt system

Definition

Exempel

Ortogonalisering

Se även