Fundamental Residue Theorem

Basic Residue Theorem är ett kraftfullt verktyg för att beräkna integralen av en meromorf funktion över en sluten kontur. Det används också ofta för att beräkna verkliga integraler. Det är en generalisering av Cauchy-integralsatsen och Cauchy- integralformeln .

Påstående: om en funktion är analytisk i någon sluten helt enkelt ansluten domän , förutom ett ändligt antal singulära punkter , av vilka ingen hör till gränskonturen , är följande formel giltig:

var  är resten av funktionen vid punkten .

Slingan förs moturs. För att använda satsen i beräkningen av reella integraler är det nödvändigt att analytiskt utöka den integrerbara reella funktionen till det komplexa planet och hitta dess rester, vilket vanligtvis är ganska enkelt att göra. Därefter är det nödvändigt att stänga integrationskonturen genom att lägga till en halvcirkel till det verkliga segmentet som ligger i det övre eller nedre komplexa halvplanet. Därefter kan integralen över denna kontur beräknas med hjälp av huvudrestsatsen. Ofta kan integralen över en halvcirkel tendera till 0 genom att välja den på rätt sätt, varefter konturintegralen blir lika med den verkliga.

Exempel

Väsentlig

uppstår i sannolikhetsteorin vid beräkning av den karakteristiska funktionen för Cauchy-fördelningen och kan inte beräknas med konventionella metoder. Låt oss beräkna det genom integralen över konturen som anges i figuren ( ). Integralen är

Eftersom det  är en hel funktion (det finns inga singulariteter på det komplexa planet), har funktionen singulariteter endast vid punkter där . Eftersom detta bara är möjligt med eller . Endast en av dessa punkter ligger inom konturen.

Avdraget i lika

Sedan, enligt huvudrestsatsen:

Konturen kan delas i en rak del och en krökt båge, så att

Det är därför

Det kan visas att för :

Därför, om , då

På liknande sätt, för en båge som omsluter en punkt istället för , kan det visas att för :

Som ett resultat får vi:

(När integralen beräknas med de vanliga analysmetoderna är den lika med )

Se även

Länkar