Burali-Forti-paradoxen

Burali-Forti-paradoxen visar att antagandet om existensen av en mängd av alla ordningstal leder till motsägelser och därför är mängdteorin motsägelsefull , där konstruktionen av en sådan mängd är möjlig.

Formulering

I den matematiska litteraturen finns olika formuleringar baserade på olika terminologi och en förmodad uppsättning välkända teorem. Här är en möjlig formulering.

Det kan bevisas att om är en godtycklig uppsättning ordningstal, då summamängden är ett ordningstal större än eller lika med vart och ett av elementen i . Antag nu att det är mängden av alla ordningstal. Då är ett ordningstal större än eller lika med något av talen i . Men då och är ett ordningstal, dessutom är det redan strikt större, och därför inte lika med något av talen i . Men detta motsäger villkoret som är mängden av alla ordningstal. $x$ $\textstyle\bigcup x$ $x$ $\Omega$ $\textstyle\bigcup \Omega$ $\Omega$ $\textstyle\bigcup \Omega \cup \{\bigcup \Omega\} = \bigcup \Omega + 1$ $\Omega$ $\Omega$

Historik

Paradoxen upptäcktes av Cesare Burali-Fortiår 1897 och visade sig vara en av de första paradoxerna som visade att naiv mängdteori är inkonsekvent och därför olämplig för matematikens behov. Avsaknaden av en uppsättning av alla ordningstal motsäger begreppet naiv mängdteori, som tillåter konstruktion av mängder med en godtycklig egenskap hos element, det vill säga termer av formen "mängden av alla sådana att " ( ). $x$ $P$ $\{x \mid P\}$

Modern axiomatisk mängdteori lägger strikta begränsningar på typen av tillstånd , som kan användas för att bilda mängder. I axiomatiska system som Gödel - Bernays är det tillåtet att bilda en term för godtycklig , men med förbehållet att det kan visa sig inte vara en mängd, utan en klass . $P$ $\{x \mid P\}$ $P$

Se även

Litteratur

Er, Justin M. En historisk redogörelse för set-teoretiska antinomier orsakade av abstraktionens axiom .