Grüneisen parameter
Grüneisen-parametern är en dimensionslös parameter som beskriver effekten av en förändring i volymen av ett kristallgitter på dess vibrationsegenskaper och, som ett resultat, effekten av en temperaturförändring på gittrets storlek eller dynamik . Parametern som vanligtvis betecknas γ är uppkallad efter Eduard Grüneisen . Denna term förstås som en termodynamisk egenskap, vilket är det viktade medelvärdet av många individuella parametrar γ i som ingår i den ursprungliga formuleringen av Grüneisen-modellen i termer av fononolinjäriteter [ 1] .
Termodynamiska definitioner
På grund av ekvivalensen mellan många egenskaper och derivator inom termodynamiken (t.ex. Maxwells relationer ) finns det många formuleringar av Grüneisen-parametern som är lika sanna, vilket leder till många olika men ekvivalenta tolkningar av dess betydelse.
Några formuleringar för Grüneisen-parametern inkluderar:
|
, |
där V är volymen och är den specifika värmekapaciteten vid konstant tryck och volym, E är energin, S är entropin, α är den volymetriska termiska expansionskoefficienten och är de adiabatiska och isotermiska kompressibiliteterna , är ljudets hastighet i mediet, och ρ är densiteten.
Uttrycket för termisk expansionskoefficient i termer av specifik värmekapacitet och kompressibilitet i termer av Grüneisen-parametern kallas också för Grüneisen-lagen [2] .
Grüneisen-parametern för perfekta kristaller med parinteraktioner
Uttrycket för Grüneisen-parametern för en ideal kristall med parinteraktion i d -dimensionellt utrymme skrivs som [3] :
,![{\displaystyle \Gamma _{0}=-{\frac {1}{2d)){\frac {\Pi '''(a)a^{2}+(d-1)\left[\Pi ' '(a)a-\Pi '(a)\höger]}{\Pi ''(a)a+(d-1)\Pi '(a)))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/416b813f37cd85b1aa8943f484c7da0e45386f02)
var är den interatomära potentialen och är jämviktsgittrets konstant. Relationen mellan Grüneisen-parametern och potentialerna för Lennard-Jones , Morse och Mie visas i tabellen.
| Gitter | Dimensionera | Lennard-Jones potential | Mi potential | Morsepotential |
|---|---|---|---|---|
| Kedja | ||||
| triangulärt galler | ||||
| FCC, BCC | ||||
| "Hypergitter" | ||||
| Allmän formel |
Uttrycket för Grüneisen-parametern för en endimensionell kedja med Mie-potential sammanfaller exakt med resultaten av MacDonald och Roy. Genom att använda förhållandet mellan Grüneisen-parametern och den interatomära potentialen kan man härleda ett enkelt nödvändigt och tillräckligt villkor för negativ termisk expansion i perfekta kristaller med parinteraktioner
.
En detaljerad beskrivning av Grüneisen-parametern sätter ett rigoröst test för typen av interatomär potential [4] .
Mikroskopisk definition i termer av fononfrekvenser
Den fysiska innebörden av denna parameter kan också utökas genom att kombinera termodynamik med en rimlig mikroskopisk modell för vibrerande atomer i en kristall. När den återställande kraften som verkar på en atom som förskjuts från dess jämviktsposition är linjär i atomens förskjutning, beror frekvenserna ω i för individuella fononer inte på kristallens volym eller närvaron av andra fononer, inte heller på termisk expansion ( och således är y ) noll. När återställningskraften beror olinjärt på förskjutningen, ändras fononfrekvenserna ω i med volymen . Grüneisen-parametern för ett individuellt vibrationsläge med index definieras som den (negativa) logaritmiska derivatan av motsvarande frekvens :
Förhållandet mellan mikroskopiska och termodynamiska modeller
Med hjälp av den kvasi-harmoniska approximationen för atomvibrationer kan den makroskopiska Grüneisen-parametern ( γ ) relateras till att beskriva hur vibrationsfrekvenserna för atomer ( fononer ) inuti en kristall förändras med ändrad volym (dvs. γ i ). Det kan man till exempel visa
om det definieras som ett vägt genomsnitt
var är bidragen från individuella fononlägen till värmekapaciteten så att den totala värmekapaciteten är lika med
Bevis
För att bevisa det måste du införa värmekapaciteten per partikel ; Sedan
.
Det räcker alltså att bevisa
.
Vänster sida:
![{\displaystyle \sum _{i}\gamma _{i}c_{V,i}=\sum _{i}\left[-{\frac {V}{\omega _{i))}{\frac {\partial \omega _{i}}{\partial V}}\right]\left[k_{B}\left({\frac {\hbar \omega _{i}}{k_{B}T}} \right)^{2}{\frac {\exp \left({\frac {\hbar \omega _{i}}{k_{B}T}}\right)}{\left[\exp \left( {\frac {\hbar \omega _{i}}{k_{B}T}}\right)-1\right]^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94021637ae32993e80762bf3851d6159add42235)
Höger sida:
![{\displaystyle \alpha VK_{T}=\left[{\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}\right] V\left[-V\left({\frac {\partial P}{\partial V}}\right)_{T}\right]=-V\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}\left({\frac {\partial P}{\partial V}}\right)_{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa77712684609ab62610a7335907153325945b7d)
Dessutom ( Maxwells relationer ):
Denna derivata är lätt att bestämma i den kvasi-harmoniska approximationen, eftersom endast ω i är V - beroende.
![{\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial V))={\frac {\partial }{\partial V))\left\{-\sum _{i}k_{B}\ln \left [1-\exp \left(-{\frac {\hbar \omega _{i}(V)}{k_{B}T}}\right)\right]+\summa _{i}{\frac { 1}{T)){\frac {\hbar \omega _{i}(V)}{\exp \left({\frac {\hbar \omega _{i}(V)}{k_{B}T }}\right)-1}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42b350989a89f7313fa30ac595cf1c95f37ef7ea)
![{\displaystyle V{\frac {\partial S}{\partial V))=-\summa _{i}{\frac {V}{\omega _{i))}{\frac {\partial \omega _ {i}}{\partial V}}\;\;k_{B}\left({\frac {\hbar \omega _{i}}{k_{B}T}}\right)^{2}{ \frac {\exp \left({\frac {\hbar \omega _{i}}{k_{B}T}}\right)}{\left[\exp \left({\frac {\hbar \omega _{i}}{k_{B}T}}\right)-1\right]^{2}}}=\summa _{i}\gamma _{i}c_{V,i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f81aaa8a6dac86203c58b62597d2975975e87a0)
Detta ger
Länkar
Anteckningar
- ↑ Grüneisen, E., Theorie des festen Zustandes einatomiger Elemente , < https://zenodo.org/record/1424250 > Arkiverad 2 september 2019 på Wayback Machine
- ↑ A. E. Meyerovich. Gruneisen law // Physical Encyclopedia : [i 5 volymer] / Kap. ed. A. M. Prokhorov . - M . : Soviet Encyclopedia (vol. 1-2); Great Russian Encyclopedia (bd 3-5), 1988-1999. — ISBN 5-85270-034-7 .
- ↑ Krivtsov, AM & Kuzkin, VA (2011), Derivation of State Equations for Ideal Crystals of Simple Structure , Mechanics of Solids vol. 46 (3): 387–399 , DOI 10.3103/S002565441103006X
- ↑ LJ; porter. Betydelsen av Gruneisen-parametrar för att utveckla interatomära potentialer // J. Appl . Phys. : journal. - 1997. - Vol. 82 , nr. 11 . - doi : 10.1063/1.366305 .