Transmissionsfunktion

Överföringsfunktionen är ett av sätten att matematiskt beskriva ett dynamiskt system . Används främst inom kontrollteori , kommunikation och digital signalbehandling . Representerar en differentialoperator som uttrycker förhållandet mellan input och output från ett linjärt stationärt system . Genom att känna till systemets insignal och överföringsfunktionen är det möjligt att återställa utsignalen.

I styrteorin är överföringsfunktionen för ett kontinuerligt system förhållandet mellan Laplace-transformen av utsignalen och Laplace-transformen av insignalen under noll initiala förhållanden.

Eftersom systemets överföringsfunktion helt bestämmer dess dynamiska egenskaper, reduceras den initiala uppgiften att beräkna ACS till att bestämma dess överföringsfunktion. Vid beräkning av regulatorernas inställningar används ganska enkla dynamiska modeller av industriella kontrollobjekt i stor utsträckning. Överföringsfunktionen är en bråkrationell funktion av en komplex variabel för olika system.

Linjära stationära system

Låt vara insignalen för det linjära stationära systemet och vara dess utsignal. Sedan skrivs överföringsfunktionen för ett sådant system som: $u(t)$ $y(t)$ $W(s)$

W(s)={\frac {Y(s)}{U(s)))),

var är överföringsfunktionsoperatorn i Laplace-transformen ,

s=\sigma +j\omega

U(s)

och är Laplace-transformerna för signaler och, respektive:

Y(s)

u(t)

y(t)

U(s)={\mathcal {L}}\left\{u(t)\right\}\equiv \int \limits _{0}^{+\infty }u(t)e^{ -st}\,dt,

Y(s)={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}\equiv \int \limits _{0}^{+\infty }y(t)e^{ -st}\,dt.

Diskret överföringsfunktion

För diskreta och diskreta kontinuerliga system introduceras konceptet med en diskret överföringsfunktion . Låt vara ingångssignalen för ett sådant system, och vara dess diskreta utsignal, . Sedan skrivs överföringsfunktionen för ett sådant system som: $u(k)$ $y(k)$ $k=0,1,2,\dots$ $W(z)$

W(z)={\frac {Y(z)}{U(z)}}

där och är z-transformers för signaler och, respektive: $U(z)$ $Y(z)$ $u(k)$ $y(k)$

U(z)={\mathcal {Z}}\left\{u(k)\right\}\equiv \sum _{{k=0}}^{\infty }u(k)z^{{- k}}

Y(z)={\mathcal {Z}}\left\{y(k)\right\}\equiv \sum _{{k=0}}^{{\infty }}y(k)z^{ {-k}}

Förhållande med andra dynamiska egenskaper

Systemets AFC kan erhållas från överföringsfunktionen genom att formellt ersätta den komplexa variabeln med : $s$ $j\omega$

W(j\omega )\equiv W(s),s=j\omega

Impulsövergångsfunktionen är originalet (i betydelsen av Laplace-transformen) för överföringsfunktionen.

Egenskaper för överföringsfunktionen, poler och nollor för överföringsfunktionen

1. För stationära system (det vill säga system med konstanta parametrar av komponenter) och med klumpade parametrar är överföringsfunktionen en bråkrationell funktion av en komplex variabel : $s$

W(s)={\frac {R(s)}{Q(s)}}={\frac {b_{0}s^{m}+b_{1}s^{{m-1}}+ \dots +b_{m}}{a_{0}s^{n}+a_{1}s^{{n-1}}+\dots +a_{n}}}

2. Nämnaren och täljaren för överföringsfunktionen är de karakteristiska polynomen i differentialekvationen för rörelse för det linjära systemet. Överföringsfunktionens poler kallas rötterna till nämnarens karakteristiska polynom , nollor är rötterna till täljarens karakteristiska polynom .

3. I fysiskt realiserbara system kan ordningen för polynomet av täljaren för överföringsfunktionen inte överstiga ordningen för polynomet av dess nämnare , dvs. $m$ $n$ $m\leq n$

4. Impulsövergångsfunktionen är originalet ( Laplace transform ) för överföringsfunktionen.

5. Med en formell ersättning av , erhålls en komplex överföringsfunktion av systemet som samtidigt beskriver amplitudfrekvensen (i form av modulen för denna funktion) och fasfrekvenskarakteristiken för systemet som dess argument . $s=j\omega$ $W(s)$

Matrisöverföringsfunktion

För MIMO- system introduceras konceptet med en matrisöverföringsfunktion . Matrisöverföringsfunktionen från systemingångsvektorn till utdatavektorn är en matris , elementet i den -th raden i den -th kolumnen representerar systemets överföringsfunktion från den -th koordinaten för systemets indatavektor till den -th koordinaten för utgångsvektorn. $U(t)$ $Y(t)$ $W=\{w_{i,j}\}$ $i$ $j$ $i$ $j$