Ställ in densitet

Densiteten för en ( mätbar ) uppsättning på den verkliga linjen , vid en punkt är gränsen (om den finns) för relationen $E$ $\mathbb {R}$ $x$

\lim _{|D|\to 0}|E\cap D|/|D|

där är ett godtyckligt segment som innehåller och är dess Lebesgue-mått . Om vi istället för ett mått betraktar ett externt mått , då får vi definitionen av den externa tätheten vid en punkt . $D$ $x$ $|D|$ $E$ $x$

Tätheten i det dimensionella utrymmet introduceras på liknande sätt. I detta fall ersätts segmentens längder med volymerna av motsvarande dimensionella parallellepiped med ytor parallella med koordinatplanen, och gränsen beaktas när parallellepipedens diameter tenderar mot noll. $n$ $n$

För uppsättningar från visar sig begreppet höger ( vänster ) densitet vid en punkt vara användbart , vilket erhålls från den allmänna definitionen om vi endast betraktar segment med en vänster (höger) slutpunkt . $\mathbb {R}$ $E$ $x$ $D$ $x$

Relaterade definitioner

Densitetspunkten är den punkt där densiteten är lika med en.
- Nästan alla punkter i en mätbar uppsättning är dess densitetspunkter.
Förädlingspunkten är den punkt där densiteten är noll.

Se även

Densitetspunktsats

Litteratur

Natanson IP Teori om funktioner för en reell variabel. - M. , 1974.