Komplett metriskt utrymme

Ett komplett metriskt utrymme är ett metriskt utrymme där varje fundamental sekvens konvergerar (till ett element i samma utrymme) [1] .

I de flesta fall är det de fullständiga metriska utrymmena som beaktas. För ofullständiga utrymmen finns en kompletteringsoperation , som gör det möjligt att betrakta det ursprungliga utrymmet som en tät uppsättning i dess färdigställande. Påfyllningsoperationen liknar på många sätt stängningsoperationen för delmängder.

Påfyllning

Vilket metriskt utrymme som helst kan bäddas in i ett komplett utrymme på ett sådant sätt att måttet utökar metriken och underutrymmet är överallt tätt i . Ett sådant utrymme kallas en komplettering och betecknas vanligtvis med . $X=(X,\rho)$ $Y$ $Y$ $X$ $X$ $Y$ $Y$ $X$ $\bar X$

Byggnad

För ett metriskt utrymme , på uppsättningen av grundläggande sekvenser i man kan införa en ekvivalensrelation $X=(X,\rho)$ $X$

(x_n)\sim(y_n)\Leftrightarrow \lim\rho(x_{n}, y_n)=0.

Uppsättningen av ekvivalensklasser med måttet definierat $\bar X$

\bar \rho((x_n),(y_n))= \lim\rho(x_{n}, y_n),

är ett metriskt utrymme. Själva utrymmet är isometriskt inbäddat i det på följande sätt: en punkt motsvarar klassen av en konstant sekvens . Det resulterande utrymmet kommer att vara färdigställandet . $(X,\rho)$ $x\i X$ $x_n=x$ $(\bar X,\bar \rho)$ $X$

Egenskaper

Fullbordandet av ett metriskt utrymme är unikt , upp till isometri .
Fullbordandet av ett metriskt utrymme är isometriskt för stängningen av bilden under Kuratowski-inbäddningen $M$
Fullständighet ärvs av slutna delmängder av ett komplett metriskt utrymme.
Kompletta metriska utrymmen är utrymmen i den andra Baire-kategorin . Det vill säga, om det totala utrymmet är uttömt av en räknebar förening av slutna uppsättningar, så har åtminstone en av dem inre punkter.
Ett metriskt utrymme är kompakt om och endast om det är komplett och helt avgränsat ; det vill säga för vilket utrymme som helst kan täckas av ett ändligt antal bollar med radie . $X$ $\varepsilon >0$ $X$ $\varepsilon$
Banachs fixpunktssats . Sammandragningsmappningar av ett komplett metriskt utrymme i sig har en fast punkt.
Ett metriskt utrymmes fullständighet är inte en topologisk egenskap. Det vill säga, ett komplett metriskt utrymme kanske inte är komplett när måttet ersätts med ett likvärdigt, det vill säga ett mått som genererar samma topologi som det ursprungliga måttet.
- En topologisk egenskap är närvaron av minst ett komplett mått i den klass av mått som genererar topologin för ett metriskt utrymme (den så kallade metriska topologiska fullständigheten eller mätbarheten med en fullständig mått).

Exempel

Komplettera metriska utrymmen

Uppsättningen av reella (reella) tal är komplett i standardmåttet . $\mathbb {R}$ $d(x, y) = |x - y|$
I allmänhet är varje finitdimensionell euklidisk eller enhetlig rymd komplett [1] .
Fullständighetsegenskapen är obligatorisk i definitionen av ett Banach-utrymme , särskilt ett Hilbert-utrymme .
Funktionsutrymmet som är kontinuerligt på ett intervall med en enhetlig metrik är ett komplett metriskt utrymme, och är därför ett Banach-rum om vi betraktar det som ett normerat linjärt utrymme.

Ofullständiga metriska mellanslag

Rationella tal med standardavstånd är ett ofullständigt metriskt utrymme. Resultatet av slutförandet av detta utrymme blir mängden av alla reella tal . $\mathbb {Q}$ $d(x,y)=|xy|$ $\mathbb {R}$
De rationella talen kan också utrustas med en p-adic värdering , komplettering med avseende på vilket leder till fältet p-adic tal . $\mathbb Q_p$
Space of integrerbar (enligt Riemann) fungerar på ett segment i integralmetriken . Resultatet av att slutföra detta utrymme kommer att vara utrymmet för Lebesgue-integrerbara funktioner definierade på samma intervall. $d(f, g) = \int_a^b |f(x)-g(x)| dx$

Variationer och generaliseringar

Om den har en algebraisk struktur som överensstämmer med metriken, till exempel en topologisk ring , så fortsätter denna struktur naturligt till dess komplettering. $X$

Anteckningar

↑ 1 2 Shilov, 1961 , sid. 40.

Litteratur

Zorich V.A. Matematisk analys. — T. 2. IX, §5.
Shilov G.E. Matematisk analys. Specialkurs. — M .: Nauka, 1961. — 436 sid.