Tjeckiska komplett utrymme

Cech komplett utrymme är ett topologiskt utrymme som är en G-delta uppsättning (det vill säga skärningspunkten mellan en räkningsbar familj av öppna uppsättningar ) i något omgivande Hausdorff compactum .

Motsvarande definitioner

Genom ambient compacta

Ett Tychonoff-utrymme kallas Cech complete om något av följande likvärdiga påståenden gäller: $X$

utrymmet är en uppsättning typ i någon omgivande kompakt; $X$ $G_{\delta}$
utrymmet är en typ i vissa av dess kompakteringar ; $X$ $G_{\delta}$ $c X$
utrymmet är en typuppsättning i var och en av dess komprimering ; $X$ $G_{\delta}$ $c X$
utrymmet är en typ i Stone-Cech kompakteringen ; $X$ $G_{\delta}$ $\beta X$
utväxten av någon kompaktering är en uppsättning typ i ; $cX\setminus c(X)$ $F_{\sigma}$ $c X$
utväxten av varje kompaktering är en uppsättning av typ i ; $cX\setminus c(X)$ $F_{\sigma}$ $c X$
tillväxten av Cech-Stone kompaktering är en uppsättning typ i . $\beta X\setminus \beta(X)$ $F_{\sigma}$ $\beta X$

Intern egenskap

Ett Tikhonov-utrymme är Cech komplett om och endast om det innehåller en räknebar familj av öppna lock , så att skärningspunkten mellan ett centrerat system av slutna uppsättningar , i vilka det för varje det finns en uppsättning med en diameter som är mindre än locket , är icke- tom (de säger att diametern på uppsättningen , mindre än locket , om det finns från , sådan att ). $X$ $\{\mathfrak{U}_n\}_{n\in\N}$ $\mathfrak{F}$ $n\i N$ $F\in \mathfrak{F}$ $\mathfrak{U}_n$ $F$ $\mathfrak{U}_n$ $U$ $\mathfrak{U}_n$ $F\delmängd U$

Bevarande av fullständighet enligt Cech under operationer

Ett delrum till ett Cech-komplett utrymme är Cech-komplett om och endast om det kan representeras som skärningspunkten mellan en sluten uppsättning och en uppsättning av typ . I synnerhet ärvs Cech fullständighet av slutna uppsättningar och uppsättningar av typen . $A$ $X$ $F\cap M$ $F$ $G_{\delta}$ $G_{\delta}$

Summan av en familj av topologiska rum är Cech komplett om och endast om alla rum i denna familj är Cech kompletta.

En produkt av en räknebar familj av topologiska utrymmen är Cech komplett om och endast om alla utrymmen är Cech kompletta. Dessutom kanske produkten av en oräknelig familj av Cech-kompletta utrymmen inte är Cech-kompletta.

Om det finns en perfekt mappning mellan Tikhonov-utrymmen och , då är utrymmet Cech komplett om och endast om utrymmet är Cech komplett . Cech-fullständigheten bevaras dock i allmänhet inte under övergången till bilden under en öppen och stängd kontinuerlig mappning. $X$ $Y$ $X$ $Y$

Relation till andra klasser av utrymmen

Smalare klasser

Alla lokalt kompakta utrymmen (i synnerhet alla kompakta utrymmen) är Cech kompletta.

Ett mätbart utrymme är Cech komplett om och endast om det är mätbart med ett fullständigt mått.

Bredare klasser

Varje Cech-komplett utrymme är ett k - utrymme och är ett Baire-utrymme .

Litteratur

Engelking, R. Allmän topologi. — M .: Mir , 1986. — 752 sid.