Medelkurvaturflöde

Ett flöde av medelkrökning är en viss process av deformation av hyperytor i ett Riemannskt grenrör , i synnerhet för ytor i 3-dimensionellt euklidiskt utrymme .

Flödet deformerar ytan i normal riktning med en hastighet lika med dess genomsnittliga krökning. Till exempel, en sfär under påverkan av ett flöde komprimeras till en punkt.

Ekvation

En enparametersfamilj av ytor är ett flöde av medelkurvatur if $f_{t}\colon S\hookrightarrow M$

{\frac {\partial f_{t}(x)}{\partial t))=H_{t}(x)\cdot n(x),

där och betecknar medelkurvaturen och enheten vinkelrät mot ytan vid punkten . $H_{t}(x)$ $n(x)$ $f_{t}(S)$ $f_{t}(x)$

Egenskaper

Flödesekvationen är en parabolisk partiell differentialekvation .
- I synnerhet garanterar detta att det finns en lösning för små värden på tidsparametern.
Minimiytorna är kritiska punkter för ett flöde av medelkurvatur.
Vanligtvis bildar ett flöde av genomsnittlig krökning en singularitet i en ändlig tid, från vilken flödet upphör att definieras.
Huiskens monotoniformel
Under inverkan av flödet förblir en sluten konvex hyperyta i det euklidiska rymden konvex. Dessutom kollapsar den till en punkt på en begränsad tid, och omedelbart fram till denna punkt närmar sig ytan standardsfären upp till en skalförändring.
- I en allmän Riemannmanifold bevaras inte konvexiteten hos en hyperyta i flödet, även om man dessutom kräver att tvärsnittskrökningen är positiv .

Se även

Ett förkortningsflöde är ett specialfall av ett medelkurvaturflöde för kurvor i ett plan.
Ricci-flödet är en närbesläktad konstruktion för deformation av Riemannska grenrör.

Applikationer

Flow ger en naturlig utjämningsoperation för hyperytor. Ger i synnerhet en analytisk approximation av en given -slät hyperyta. $C^{2}$

Litteratur

Ecker, Klaus (2004), Regularity Theory for Mean Curvature Flow , vol. 57, Progress in Nolinear Differential Equations and their Applications, Boston, MA: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3243-3 , DOI 10.1007/978-0-8176-8210-1 .
Mantegazza, Carlo (2011), Lecture Notes on Mean Curvature Flow , vol. 290, Progress in Mathematics, Basel: Birkhäuser/Springer, ISBN 978-3-0348-0144-7 , DOI 10.1007/978-3-0348-0145-4 .
Lu, Conglin; Cao, Yan & Mumford, Davidd (2002), Surface evolution under curvature flows , Journal of Visual Communication and Image Representation vol. 13 (1-2): 65–81 , DOI 10.1006/jvci.2001.0476 . Se särskilt ekvationerna 3a och 3b.