Punktvis konvergens

I matematik är punktvis konvergens av en sekvens av funktioner i en mängd en typ av konvergens där varje punkt i den givna mängden är associerad med gränsen för värdesekvensen för elementen i sekvensen vid samma punkt.

En funktion som definieras på detta sätt kallas gränsfunktionen för den givna sekvensen eller dess punktvisa gräns , och det sägs att den givna sekvensen konvergerar punktvis till gränsfunktionen.

En starkare form av konvergens är enhetlig konvergens : om en funktionell sekvens konvergerar enhetligt , då konvergerar denna sekvens också punktvis , men inte vice versa. För att den punktvisa gränsen för en sekvens av funktioner ska vara enhetlig måste Cauchy-kriteriet vara uppfyllt .

Begreppet punktvis konvergens överförs naturligt till funktionella familjer och funktionella serier .

Definition

Låta vara en sekvens av funktioner av formen ( ) där är definitionsdomänen gemensam för alla funktioner i familjen. $\{f_{{n}}\}_{{n=1}}^{{\infty }}$ $f_{n}\colon X\to {\mathbb {R}}$ $n=1,2,\prickar$ $X$

Fixa en punkt och överväg en numerisk sekvens av formuläret . $x\i X$ $\{f_{{n}}(x)\}_{{n=1}}^{{\infty }}$

Om denna sekvens har en (ändlig) gräns, kan en punkt associeras med gränsen för denna sekvens, vilket betecknar den : $x$ $f(x)$

f(x):=\lim _{{n\till \infty }}f_{n}(x)

Om vi tar hänsyn till alla punkter i uppsättningen där den angivna gränsen finns, kan vi definiera funktionen . $E\delmängd X$ $f\colon E\to {\mathbb {R}}$

Funktionen som definieras på detta sätt kallas den punktvisa gränsen för sekvensen av funktioner i familjen på uppsättningen : $\{f_{{n}}\}_{{n=1}}^{{\infty }}$ $E$

f_{n}\to f\quad \{E\}\Leftrightarrow \left(\forall x\in E\quad f_{n}(x)\to f(x)\quad n\to \infty \right)

medan familjen själv sägs konvergera punktvis till en funktion på uppsättningen . $\{f_{{n}}\}_{{n=1}}^{{\infty }}$ $f$ $E$

Egenskaper

Begreppet punktvis konvergens kontrasterar på vissa sätt med begreppet enhetlig konvergens . Specifikt,

\lim _{{n\rightarrow \infty }}f_{n}=f

jämnt

är liktydigt med

\lim _{{n\rightarrow \infty }}\sup\{\,\left|f_{n}(x)-f(x)\right|:x\in D\}=0.

Detta påstående är starkare än det punktvisa konvergenspåståendet: varje enhetligt konvergent funktionell sekvens konvergerar punktvis till samma gränsfunktion, men det omvända är inte sant i allmänhet. Till exempel,

\lim _{{n\rightarrow \infty }}x^{n}=0

punktvis på intervallet [0,1), men inte jämnt på intervallet [0,1).

Den punktvisa gränsen för en sekvens av kontinuerliga funktioner kanske inte är en kontinuerlig funktion, utan endast om konvergensen inte är enhetlig samtidigt. Till exempel funktionen

f(x)=\lim _{{n\högerpil \infty }}\cos(\pi x)^{{2n}}

tar värdet 1 om x är ett heltal och 0 om x inte är ett heltal och därför inte är kontinuerligt för heltal.

Värdena för funktionen f n behöver inte vara verkliga, utan kan tillhöra vilket topologiskt utrymme som helst så att begreppet punktvis konvergens är vettigt. Å andra sidan är enhetlig konvergens inte vettigt i allmänhet för funktioner som tar värden i topologiska utrymmen, men det är vettigt i det speciella fallet när det topologiska rummet är utrustat med metriken .

Topologi

Punktvis konvergens är detsamma som konvergens i topologin för en produkt på rymden Y X . Om Y är kompakt , då, enligt Tikhonovs sats , är utrymmet Y X också kompakt.

I måttteori

I måttteorin introduceras begreppet konvergens nästan överallt av en sekvens av mätbara funktioner definierade på ett mätbart utrymme , vilket betyder konvergens nästan överallt . Egorovs teorem säger att punktvis konvergens nästan överallt på en uppsättning av ändliga mått innebär enhetlig konvergens på en mängd som bara är något mindre.

Punktvis konvergens

Definition

Egenskaper

Topologi

I måttteori

Se även