Kirchhoff styr

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 7 december 2019; kontroller kräver 9 redigeringar .

Kirchhoffs regler (ofta kallade Kirchhoffs lagar i den tekniska litteraturen ) är förhållandena som håller mellan strömmar och spänningar i delar av alla elektriska kretsar .

Lösningar av system med linjära ekvationer , sammanställda på basis av Kirchhoffs regler, låter dig hitta alla strömmar och spänningar i elektriska kretsar av likström, växelström och kvasistationär ström [1] .

De är av särskild betydelse inom elektroteknik på grund av deras mångsidighet, eftersom de är lämpliga för att lösa många problem i teorin om elektriska kretsar och praktiska beräkningar av komplexa elektriska kretsar.

Tillämpningen av Kirchhoffs regler på en linjär elektrisk krets gör det möjligt att erhålla ett system med linjära ekvationer för strömmar eller spänningar och följaktligen, när man löser detta system, att hitta strömvärdena i alla grenar av kretsen och alla internodala spänningar.

Formulerad av Gustav Kirchhoff 1845 [ 2] .

Namnet "Regler" är mer korrekt eftersom dessa regler inte är grundläggande naturlagar, utan följer av de grundläggande lagarna för laddningsbevarande och irrotation av det elektrostatiska fältet ( Maxwells tredje ekvation för ett konstant magnetfält). Dessa regler bör inte förväxlas med ytterligare två Kirchhoffs lagar i kemi och fysik .

Ordalydelsen i reglerna

Definitioner

För att formulera Kirchhoffs regler introduceras begreppen nod , gren och krets för en elektrisk krets . En gren är en sektion av en elektrisk krets med samma ström, till exempel i fig. segmentet markerat R1 , I1 är grenen. En nod är en anslutningspunkt för tre eller flera grenar (indikeras med feta punkter i figuren). En krets är en sluten väg som går genom flera grenar och noder i en omfattande elektrisk krets. Termen stängd väg innebär att du, med utgångspunkt från någon nod i kedjan och genom att gå igenom flera grenar och noder en gång , kan återgå till den ursprungliga noden . De grenar och noder som korsas under en sådan bypass kallas vanligtvis tillhörande denna kontur. I det här fallet måste man komma ihåg att en gren och en nod kan tillhöra flera konturer samtidigt.

I termer av dessa definitioner är Kirchhoffs regler formulerade enligt följande.

Första regeln

Kirchhoffs första regel (Kirchhoffs nuvarande regel) säger att den algebraiska summan av grenströmmar som konvergerar vid varje nod i någon krets är noll. I det här fallet anses strömmen som riktas till noden vara positiv, och strömmen som riktas från noden är negativ: Den algebraiska summan av strömmarna riktade till noden är lika med summan av strömmarna som riktas från noden.

\sum \limits _{{j=1}}^{n}I_{j}=0.

Med andra ord, hur mycket ström som flyter in i noden, så mycket flyter ut ur den. Denna regel följer av den grundläggande lagen om bevarande av laddning .

Vid beräkning bör det dock tas med i beräkningen att denna regel endast är tillämplig i fallet med en försumbar nodkapacitet. Annars kan den första regeln överträdas, vilket är särskilt märkbart vid högfrekventa strömmar.

Andra regeln

Den andra Kirchhoff-regeln (Kirchhoff-spänningsregeln) säger att den algebraiska summan av spänningarna på de resistiva elementen i en sluten krets är lika med den algebraiska summan av EMF som ingår i denna krets. Om det inte finns några EMF-källor (idealiserade spänningsgeneratorer) i kretsen, är det totala spänningsfallet noll:

för konstanta spänningar

\summa _{{k=1}}^{n}E_{k}=\summa _{{k=1}}^{m}U_{k}=\summa _{{k=1}}^{ m}R_{k}I_{k};

för variabla spänningar

\summa _{{k=1}}^{n}e_{k}=\summa _{{k=1}}^{m}u_{k}=\summa _{{k=1}}^{ m}R_{k}i_{k}+\summa _{{k=1}}^{m}u_{{L\,k}}+\summa _{{k=1}}^{m}u_ {{C\,k}}.

Denna regel följer av Maxwells 3:e ekvation, i det speciella fallet med ett stationärt magnetfält.

Med andra ord, när kretsen är helt förbikopplad, återgår potentialen, som förändras, till sitt ursprungliga värde. Ett specialfall av den andra regeln för en krets som består av en krets är Ohms lag för denna krets. När du ritar upp spänningsekvationen för slingan måste du välja den positiva riktningen för att kringgå slingan. I detta fall anses spänningsfallet på grenen vara positivt om bypassriktningen för denna gren sammanfaller med den tidigare valda riktningen för grenströmmen och negativ - annars (se nedan).

Kirchhoffs regler gäller för linjära och icke-linjära linjäriserade kretsar för alla typer av förändringar i tid för strömmar och spänningar.

Funktioner för att upprätta ekvationer för att beräkna strömmar och spänningar

Om kretsen innehåller noder, beskrivs den av strömekvationerna. Denna regel kan också tillämpas på andra fysiska fenomen (till exempel ett system av vätske- eller gasledningar med pumpar), där lagen om bevarande av partiklar i mediet och flödet av dessa partiklar är uppfyllda. $sid$ $p-1$

Om kretsen innehåller grenar, varav grenarna innehåller strömkällor i mängden , så beskrivs det av spänningsekvationerna. $m$ $mi$ $m-m_{i}-(p-1)$

Kirchhoffs regler, skrivna för noderna eller kretsarna i en krets, ger ett komplett system av linjära ekvationer som gör att du kan hitta alla strömmar och alla spänningar. $p-1$ $m-(p-1)$
Innan du skriver ekvationerna måste du godtyckligt välja:
- positiva riktningar för strömmar i grenarna och beteckna dem på diagrammet, medan det inte är nödvändigt att säkerställa att strömriktningarna i noden är både inkommande och utgående, kommer den slutliga lösningen av ekvationssystemet fortfarande att ge de korrekta tecknen på nodströmmarna;
- de positiva riktningarna för förbikoppling av konturerna för att sammanställa ekvationer enligt den andra lagen, för enhetlighetens skull, rekommenderas att de positiva riktningarna för förbikoppling väljs lika för alla konturer (till exempel: medurs).
Om strömriktningen är densamma som slingförbikopplingsriktningen (som är godtyckligt vald) anses spänningsfallet vara positivt, annars är det negativt.
När man skriver linjärt oberoende ekvationer enligt den andra Kirchhoff-regeln strävar man efter att varje ny kontur som ekvationen är sammansatt för ska inkludera minst en ny gren som inte ingår i de tidigare konturerna för vilka ekvationer redan har skrivits enligt den andra lag ( ett tillräckligt men inte nödvändigt villkor ).
I komplexa icke-planära grafer av elektriska kretsar är det svårt för en person att se oberoende kretsar och noder, varje oberoende krets (nod), när man sammanställer ett ekvationssystem, genererar ytterligare en linjär ekvation i det linjära ekvationssystemet som definierar problemet. Att räkna antalet oberoende konturer och deras explicita indikation i en viss graf utvecklas inom grafteorin .

Exempel

Antal noder: 3.

$p-1=2$

Antal grenar (i slutna kretsar): 4. Antal grenar som innehåller en strömkälla: 0.

$m-m_{i}-(p-1)=2$

Antal kretsar: 2.

För kretsen som visas i figuren, i enlighet med den första regeln, gäller följande relationer:

{\begin{cases}I_{1}-I_{2}-I_{6}=0\\I_{2}-I_{4}-I_{3}=0\end{cases))

Observera att en positiv riktning måste väljas för varje nod, till exempel här anses strömmar som flyter in i en nod vara positiva och strömmar som flyter ut negativa.

Lösningen av det resulterande linjära systemet med algebraiska ekvationer låter dig bestämma alla strömmar i noderna och grenarna, denna metod för kretsanalys kallas vanligtvis metoden för slingströmmar .

I enlighet med den andra regeln är följande relationer giltiga:

{\begin{cases}U_{2}+U_{4}-U_{6}=0\\U_{3}+U_{5}-U_{4}=0\end{cases))

De resulterande ekvationssystemen beskriver helt den analyserade kretsen, och deras lösningar bestämmer alla strömmar och alla spänningar i grenarna. Denna metod för kretsanalys kallas vanligtvis metoden för nodpotentialer .

Om betydelsen för elektroteknik

Kirchhoffs regler är av tillämpad karaktär och tillåter, tillsammans med och i kombination med andra metoder och metoder ( den ekvivalenta generatormetoden , superpositionsprincipen , metoden för att rita upp ett potentialdiagram), att lösa problem inom elektroteknik. Kirchhoffs regler har fått bred tillämpning på grund av enkelheten att formulera ekvationer och möjligheten att lösa dem med standardlinjära algebrametoder ( Cramers metod , Gauss metod, etc.).

Betydelse i matematik

Kirchhoffs första regel kan formuleras i matrisform. Låt nämligen den elektriska kretsen bestå av noder. Låt oss göra en matris , där för är ledningsförmågan hos grenen som förbinder noder med siffror och (om de inte är anslutna, kan du mentalt koppla dem med en gren med noll ledningsförmåga). Samtidigt . Låt vara en potential, som vi betraktar som en funktion definierad på uppsättningen av noder (eller, vilket är samma, en vektor i -dimensionellt utrymme ). Sedan, enligt definitionen av konduktivitet, har vi , där är strömmen i grenen som går från vertex till vertex . Därför kan den första Kirchhoff-regeln för den -th noden skrivas som , eller , eller, givet definitionen av de diagonala elementen i matrisen, som . På vänster sida av likheten är det lätt att ta reda på koordinaten för produkten av matrisen och kolumnvektorn . $n$ $A=\{a_{ij}\}_{i,j=1}^{n}$ $a_{{ij}}$ $i \neq j$ $i$ $j$ $a_{jj}=\sum _{i=1,~i\neq j}^{n}(-a_{ij})$ $\varphi$ $\mathbf {u} =(\varphi _{1},\varphi _{2},\dots ,\varphi _{n})$ $n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $I_{ij}=a_{ij}(\varphi _{i}-\varphi _{j})$ $I_{ij}$ $i$ $j$ $j$ $\sum _{i=1,~i\neq j}^{n}I_{ij}=\sum _{i=1,~i\neq j}^{n}a_{ij}(\ varphi _{i}-\varphi _{j})=0$ $\sum _{i=1,~i\neq j}^{n}a_{ij}\varphi _{i}+\left(\sum _{i=1,~i\neq j}^ {n}(-a_{ij})\right)\varphi _{j}=\sum _{i=1,~i\neq j}^{n}a_{ij}\varphi _{i}+a_ {jj}\varphi _{j}=0$ $\sum _{i=1}^{n}a_{ij}\varphi _{i}=0$ $A$ $\mathbf {u}$

Så Kirchhoffs första regel i matrisform lyder:

${\begin{Vmatrix}a_{11}&a_{21}&\dots &a_{n1}\\a_{12}&a_{22}&\dots &a_{n2}\\...&... &...&...\\a_{1n}&a_{2n}&\dots &a_{nn}\end{Vmatrix}}{\begin{Vmatrix}\varphi _{1}\\\varphi _{2 }\\...\\\varphi _{n}\end{Vmatrix}}=0\Leftrightarrow A^{T}\mathbf {u} =\mathbf {0}$ .

I denna form kan den generaliseras till ledande ytor. Vid en krökt yta beror konduktiviteten inte bara på punkten utan också på riktningen. Konduktiviteten är med andra ord en funktion på tangentvektorerna till ytan. Om vi antar att den på tangentrymden är väl approximerad av en positiv-definitiv kvadratisk form, kan vi tala om den som en riemannisk metrik (som skiljer sig från avståndet på ytan som en geometrisk form som tar hänsyn till icke-isotropin av dess elektriska egenskaper). Varje punkt på ytan kan fungera som en nod, och därför kommer potentialen inte längre att vara en vektor, utan en funktion på ytan. Analogen till matrisen av konduktiviteter kommer att vara Laplace-Beltrami-operatören för den metriska konduktiviteten, som verkar på utrymmet för smidiga funktioner. Kirchhoffs första regel för en yta säger exakt detsamma: . Potentialen är med andra ord en harmonisk funktion . $g$ $u$ ${\displaystyle \Delta _{g))$ $\Delta _{g}u=0$

I detta avseende kallas matrisen som är associerad med en godtyckligt viktad graf , förutom diagonalen som är lika med närliggande matris , ibland den diskreta Laplacian . Analoger av satser om harmoniska funktioner, såsom förekomsten av en harmonisk funktion i en domän med en gräns för givna värden på gränsen, erhållna genom faltning med någon kärna, äger också rum för diskreta harmoniska funktioner. Omvänt kan en ledande yta approximeras av ett rutnät av resistanser, och diskreta övertonsfunktioner på detta rutnät approximerar övertonsfunktionerna på motsvarande yta. Gershgorin-integratorn är baserad på denna omständighet , en analog dator som användes för att lösa Laplace-ekvationen på 30-70-talet av XX-talet. $A$

I fallet med en ledande yta, istället för en potentialskillnad, är det vettigt att tala om en 1-form . Vektorfältet som är associerat med det med hjälp av konduktivitetsmetriken är den elektriska strömmen på denna yta. Enligt Kirchhoffs första regel är denna 1-form också harmonisk (det vill säga den ligger i kärnan av Hodge Laplician definierad på differentialformer). Detta ger en ledtråd till hur man korrekt formulerar Kirchhoffs lag för fallet när fältet inte är potentiellt: nämligen 1-formen som erhålls från strömmen, betraktad som ett vektorfält, av konduktiviteten, betraktad som en Riemannisk metrik, måste vara harmonisk. Genom att känna till den elektromotoriska kraften runt varje topologiskt icke-trivial kontur på ytan, är det möjligt att återställa styrkan och riktningen för strömmen vid varje punkt, dessutom på ett unikt sätt. I synnerhet är dimensionen av utrymmet för alla möjliga strömmar lika med dimensionen av utrymmet för topologiskt icke-triviala konturer. Detta faktum var en av anledningarna till upptäckten av Poincarés dualitet ; det faktum att de elektromotoriska krafterna unikt bestämmer strömmen (harmonisk 1-form) är ett speciellt fall av Hodge-teorin för 1-former (Hodge-teorin säger att på en Riemann-manifold representeras varje de Rham-kohomologiklass av en harmonisk form, och bara en då). $du$ $\mathrm {grad} _{g}(u)$

Kirchhoffs strålningslag

Kirchhoffs lag om strålning säger att förhållandet mellan emissiviteten hos någon kropp och dess absorptionsförmåga är detsamma för alla kroppar vid en given temperatur för en given frekvens för jämviktsstrålning och beror inte på deras form, kemiska sammansättning etc.

Kirchhoffs lag i kemi

Kirchhoffs lag säger att temperaturkoefficienten för värmeeffekten av en kemisk reaktion är lika med förändringen i systemets värmekapacitet under reaktionen.

Anteckningar

↑ Kirchhoff regler - artikel från Great Soviet Encyclopedia .
↑ Gustav Robert Kirchhoff . Ueber den Durchgang eines elektrischen Stromes durch eine Ebene, insbesondere durch eine kreisförmige . - 1845. - S. 497-514 .

Litteratur

Matveev A. N. Elektricitet och magnetism: en lärobok. - M . : Högre skola, 1983. - 463 sid.
Kalashnikov S. G. Elektricitet: en lärobok. - M. : Fizmatlit, 2003. - 625 sid.
Bessonov L. A. Teoretiska grunder för elektroteknik. Elektriska kretsar. — 11:e upplagan. — M .: Gardariki, 2007.
Gerasimov V. G., Kuznetsov E. V., Nikolaeva O. V. Elektroteknik och elektronik. Bok. 1. Elektriska och magnetiska kretsar. - M. : Energoatomizdat, 1996. - 288 sid. — ISBN 5-283-05005-X .