Summa (matematik)

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 24 december 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Summa ( lat. summa - totalt, totalt) i matematik - resultatet av att tillämpa operationen att addera kvantiteter ( tal , funktioner , vektorer , matriser , etc. ), eller resultatet av att sekventiellt utföra flera additionsoperationer (summering). Gemensamt för alla fall är egenskaperna för kommutativitet , associativitet och även distributivitet med avseende på multiplikation (om multiplikation är definierad för de övervägda kvantiteterna), det vill säga uppfyllandet av relationerna:

a+b=b+a,

a+(b+c)=(a+b)+c,

(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c,

c\cdot (a+b)=c\cdot a+c\cdot b,

I mängdteorin är en summa (eller union) av mängder en mängd vars element är alla element i de kombinerade mängderna, tagna utan upprepning.

Även addition (att hitta summan) kan definieras för mer komplexa algebraiska strukturer (summan av grupper , summan av linjära utrymmen , summan av ideal och andra exempel). I kategoriteorin definieras begreppet summan av objekt.

Summan av naturliga tal

Låt mängden innehålla element som bildar en delmängd och element som bildar en delmängd ( , a och b är naturliga tal). Då blir den aritmetiska summan antalet element som bildar delmängden som erhålls genom den disjunktiva föreningen av de två ursprungliga delmängderna $\mathbb {N}$ $a$ $A$ $b$ $B$ $A\subset \mathbb {N} ,B\subset \mathbb {N}$ $a+b$ $c$ $C\subset \mathbb {N}$ $C=A\sqcup B.$

Algebraisk summa

Summan betecknas matematiskt med den stora grekiska bokstaven Σ (sigma) .

\sum _{i\mathop {=} m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n- 1}+a_{n}

där: i — summeringsindex; a i är en variabel som anger varje medlem i serien; m är den nedre gränsen för summering, n är den övre gränsen för summeringen. Notationen "i = m" under summeringssymbolen betyder att det initiala (start)värdet för index i är ekvivalent med m . Av denna notation följer att index i ökas med 1 i varje term i uttrycket och kommer att sluta när i = n . [ett]

Vid programmering motsvarar denna procedur en for -loop .

Inspelningsexempel

\sum _{i\mathop {=} 1}^{100}i=1+2+3+4+{...}+99+100

\sum _{i\mathop {=} 3}^{6}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86

Gränser kan utelämnas från posten om de är tydliga från sammanhanget:

\sum a_{i}^{2}=\sum _{i\mathop {=} 1}^{n}a_{i}^{2}.

En iterator kan vara ett uttryck - då formateras variabeln med hakparenteser som en funktion " ". Till exempel, summan av alla med naturliga tal i ett visst intervall: $f()$ $f(k)$ $k$

\sum _{0\leq k<100}f(k).

Summan av elementen i mängden : $f(x)$ $x$ $S$

\sum _{x\mathop {\in } S}f(x).

Summan av alla positiva tal som är delare av ett tal : $\mu (d)$ $d$ $n$

\sum _{d|n}\;\mu (d).

Flera index kan användas under det iterativa summeringstecknet, till exempel:

\sum _{i,j}=\summa _{i}\summa _{j},

dessutom kan en uppsättning av flera index reduceras i form av ett så kallat multiindex .

Oändligt belopp

I matematisk analys definieras begreppet serie - summan av ett oändligt antal termer.

Exempel på sammanhängande summor

1. Summan av en aritmetisk progression :

\sum _{{i=0}}^{n}(a_{0}+b\cdot i)=(n+1){\frac {a_{0}+a_{n}}{2}}

2. Summan av en geometrisk progression :

\sum _{{i=0}}^{n}a_{0}\cdot b^{i}=a_{0}\cdot {\frac {1-b^{{n+1}}}{1 -b}}

3. $\sum \limits _{{k=1}}^{n}k^{3}=\vänster[{\frac {n(n+1)}{2}}\höger]^{2}=\vänster (\summa \limits _{{k=1}}^{n}k\right)^{2}$

fyra. $\sum _{{i=0}}^{n}{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{i}={\frac {p}{p-1}}\ vänster(1-{\frac {1}{p^{{n+1))))\höger),\quad p\neq 1,n\geq 0$

Bevis

\summa _{{i=0}}^{n}{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{i}=\summa _{{i=0}}^{n }{1\cdot {{\frac {1}{p^{i))))}=1\cdot {\frac {1-{\left({\frac {1}{p))\right)} ^{{n+1}}}{1-{\frac {1}{p}}}}={\frac {{\frac {p^{{n+1}}-1}{p^{{ n+1}}}}}{{\frac {p-1}{p}}}}={\frac {p^{{n+1}}-1}{p^{n}(p-1 )}}={\frac {p}{p-1}}\left(1-{\frac {1}{p^{{n+1}}}}\right)

5. $\sum _{{i=0}}^{n}ip^{i}={\frac {np^{{n+2}}-(n+1)p^{{n+1}}+p }{(p-1)^{2}}},\quad p\neq 1$

Bevis

\sum _{{i=0}}^{n}ip^{i}=\summa _{{i=1}}^{n}ip^{i}=p\cdot \sum _{{i= 1}}^{n}ip^{{i-1}}=p\cdot \sum _{{i=0}}^{{n-1}}(i+1)p^{i}=p \cdot \left(\sum _{{i=0}}^{{n-1}}{ip^{i}}+\summa _{{i=0}}^{{n-1}}p ^{i}\right)=p\cdot \sum _{{i=0}}^{n}ip^{i}-p\cdot np^{n}+p\cdot {\frac {1-p ^{n}}{1-p}}\Högerpil

\Rightarrow (1-p)\sum _{{i=0}}^{n}ip^{i}={\frac {-np^{{n+1}}(1-p)+pp^{ {n+1}}}{1-p}}\Rightarrow \sum _{{i=0}}^{n}ip^{i}={\frac {np^{{n+2}}-( n+1)p^{{n+1}}+p}{(1-p)^{2}}}

6. $\summa _{{i=0}}^{n}p^{i}=(p-1)\summa _{{i=0}}^{{n-1}}((ni)p^{ i})+n+1,\quad p\neq 1$

Bevis

(p-1)\summa _{{i=0}}^{{n-1}}((ni)p^{i})+n+1=(p-1)\summa _{{i= 0}}^{n}((ni)p^{i})+n+1=(p-1)\left(n\cdot \sum _{{i=0}}^{n}p^{ i}-\summa _{{i=0}}^{n}ip^{i}\right)+n+1=

=(p-1)\left(n\cdot {\frac {1-p^{{n+1}}}{1-p}}-{\frac {np^{{n+2}}-( n+1)p^{{n+1}}+p}{(1-p)^{2}}}\höger)+n+1=

={\frac {np^{{n+2}}-np-np^{{n+1}}+n-np^{{n+2}}+np^{{n+1}}+p ^{{n+1}}-p+pn-n+p-1}{p-1}}=

={\frac {p^{{n+1}}-1}{p-1}}=\summa _{{i=0}}^{n}p^{i}

Till exempel, när det visar sig , och detta är en sekvens av likheter av följande form:

p=10

\sum _{{i=0}}^{n}10^{i}=9\cdot \sum _{{i=0}}^{{n-1}}((ni)10^{i} )+n+1

1=9\cdot 0+1,\quad 11=9\cdot 1+2,\quad 111=9\cdot 12+3,\quad 1111=9\cdot 123+4,\quad 11111=9\cdot 1234 +5

Obestämt belopp

En obestämd summa över är en sådan funktion , betecknad med , att . $a_{i}$ $i$ $f(i)$ $\summa _{{i}}^{{}}a_{i}$ $\forall i: f(i+1) - f(i) = a_{i}$

Den "diskreta" Newton-Leibniz formel

Om "derivata" hittas , då . $a_{i}=f(i+1)-f(i)$ $\sum_{i=a}^b a_i = f(b+1)-f(a)$

Etymologi

Det latinska ordet summa översätts som "huvudsak", "väsen", "total". Från 1400-talet börjar ordet användas i modern mening, och verbet ”sammanfatta” förekommer också (1489).

Detta ord har trängt igenom många moderna språk: summa på ryska, sum på engelska, somme på franska.

Den speciella symbolen för att beteckna summan ( Σ ) introducerades först av Leonhard Euler 1755, den stöddes av Lagrange , men under lång tid konkurrerade tecknet S med denna symbol.Beteckningen Σ för summan godkändes slutligen redan i 1700-talet av Fourier och Jacobi [2] .

Kodning

Unicode har summasymbolen U+2211 ∑ n-är summering (HTML ∑ • ∑).

Se även

Anteckningar

↑ Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren. Kapitel 2: Summor // Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (2nd Edition ) . - Addison-Wesley Professional , 1994. - ISBN 978-0201558029 . (inte tillgänglig länk)
↑ Alexandrova N. V. Historia om matematiska termer, begrepp, notation: Ordbok-referensbok . - 3:e uppl. - St Petersburg. : LKI, 2008. - S. 175 . — 248 sid. - ISBN 978-5-382-00839-4 .

Litteratur

Fikhtengol'ts G. M. Kurs för differential- och integralkalkyl. - 7:a. - M. : Nauka, 1969. - T. 1. - 608 sid. — 100 000 exemplar.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor ryss Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	GND : 4193845-8