Laplace gräns

Laplace-gränsen är det maximala excentricitetsvärdet vid vilket lösningen av Kepler-ekvationen , uttryckt som en serie i termer av excentricitet, konvergerar. Uppkallad efter den franske matematikern Pierre-Simon Laplace . Ungefärligt värde för Laplace-gränsen:

0,662 743 419 349 181 580 974 742 097 109 252 90.

Förklaring

Keplers ekvation relaterar medelanomalien M till den excentriska anomalien E för en kropp som rör sig längs en ellips med en excentricitet ε . Denna ekvation kan inte lösas för E i termer av elementära funktioner , men Lagranges serieinversionssats ger en potensserielösning i ε : $M=E-\varepsilon \sin E$

E=M+\sin(M)\,\varepsilon +{\tfrac 12}\sin(2M)\,\varepsilon ^{2}+\left({\tfrac 38}\sin(3M)-{\tfrac 18 }\sin(M)\right)\,\varepsilon ^{3}+\cdots

Konvergensradien för denna potensserie (sådant tal att serien konvergerar för mindre värden och divergerar för större värden) för värden på konstanten M som inte är heltalsmultiplar av π beror inte på valet av M och kallas Laplace-numret (gräns).

Laplace-gränsen är en lösning på ekvationen

{\frac {x\exp({\sqrt {1+x^{2))})}{1+{\sqrt {1+x^{2))))}=1.

Se även

Orbital excentricitet

Anteckningar

Finch, Steven R. (2003), Laplace limit constants, Mathematical constants , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-81805-6 .

Länkar

Laplace limit på MathWorld Arkiverad 18 mars 2020 på Wayback Machine