Kontorovich-Lebedev förvandling

Kontorovich-Lebedev-transformationen är en integrerad transformation som definieras för funktionen av formeln: $f(x)$

F(\tau )=\int _{0}^{\infty }f(x)K_{i\tau }(x)dx,

var är Macdonald-funktionen . Den omvända transformationen ser ut så här: $K_{\nu }(x)$

f(x)={\frac {2}{\pi ^{2}x}}\int _{0}^{\infty }K_{i\tau}(x)\;\tau \; \mathrm {sh} \,\pi \tau \;F(\tau )\;d\tau ,\qquad x>0.

Denna omvandling övervägdes först av M.I. Kontorovich och N.N. Lebedev 1938.

Andra definitioner

Ibland definieras Kontorovich-Lebedev-transformen i en mer symmetrisk form:

F^{s}(\tau )=\int _{0}^{\infty }f(x){\frac {K_{i\tau }(x)}{\sqrt {x))} dx,\qquad \tau \geqslant 0,

f(x)=\int _{0}^{\infty }F^{s}(\tau ){\frac {2\tau \mathrm {sh} \,\pi \tau }{\pi ^{2}}}{\frac {K_{i\tau }(x)}{\sqrt {x}}}d\tau ,\qquad x>0.

En annan definition är:

F^{a}(\tau )={\frac {2\tau \mathrm {sh} \,\pi \tau }{\pi ^{2))}\int _{0}^{\ infty }f(x){\frac {K_{i\tau }(x)}{x}}dx,\qquad \tau \geqslant 0,

f(x)=\int _{0}^{\infty }F^{a}(\tau )K_{i\tau }(x)d\tau ,\qquad x>0.

Reversibilitetsvillkor

Låt funktionen vara kontinuerlig tillsammans med dess derivata som uppfyller villkoren , då kan den erhållas från dess bild genom invers transformation: $f(x)$ $xf(x),x^{2}f(x)\in L(0,+\infty )$ $F(\tau )$

f(x)={\frac {2}{\pi ^{2}x}}\int _{0}^{\infty }K_{i\tau}(x)\;\tau \; \mathrm {sh} \,\pi \tau \;F(\tau )\;d\tau .

En mer allmän inversionsformel kan erhållas om den har en begränsad förändring i punkt och $f(x)$ $x_{0}>0$

f(x)\ln x\in L\left(0,{\frac {1}{2}}\right),f(x){\sqrt {x}}\in L\left({ \frac {1}{2}},\infty \right),

sedan:

{\frac {f(x_{0}+0)+f(x_{0}-0)}{2}}={\frac {2}{\pi ^{2}x_{0}} }\int _{0}^{\infty }K_{i\tau }(x_{0})\;\tau \;\mathrm {sh} \,\pi \tau \;F(\tau )\; d\tau

i synnerhet om det dessutom för någon är sant: $x$

{\frac {f(x+0)+f(x-0)}{2}}=f(x)

sedan

f(x)={\frac {2}{\pi ^{2}x}}\int _{0}^{\infty }K_{i\tau}(x)\;\tau \; \mathrm {sh} \,\pi \tau \;F(\tau )\;d\tau .

Parsevals teorem

För Kontorovich-Lebedev-transformationen är en analog till Parseval-satsen giltig :

Låt vara en verklig funktion som uppfyller villkoren: $g(x)$

$g(x)x^{-{\frac {3}{4}}}\in L(0,+\infty ),$

$g(x)\in L_{2}(0,+\infty ),$

G(\tau )=\int _{0}^{\infty }g(x){\frac {\sqrt {2\tau \mathrm {sh} \,\pi \tau }}{\pi }}{\frac {K_{i\tau }(x)}{\sqrt {x}}}dx

sedan

\int _{0}^{\infty }\left(G(\tau )\right)^{2}d\tau =\int _{0}^{\infty }\left(g(x )\right)^{2}dx.

Det finns också en mer allmän sats:

Låt oss vara två verkliga funktioner som uppfyller villkoren: $g_{i}(x),\quad i=1,2$

$g_{i}(x)x^{-{\frac {3}{4}}}\in L(0,+\infty ),$

$g_{i}(x)\in L_{2}(0,+\infty ),$

G_{i}(\tau )=\int _{0}^{\infty }g_{i}(x){\frac {\sqrt {2\tau \mathrm {sh} \,\pi \ tau }}{\pi }}{\frac {K_{i\tau }(x)}{\sqrt {x}}}dx

sedan

\int _{0}^{\infty }G_{1}(\tau )G_{2}(\tau )d\tau =\int _{0}^{\infty }g_{1}( x)g_{2}(x)dx.

Konverteringstabell

	Fungera $f(x)$	Bild $F(\tau )=\int _{0}^{\infty }f(x)K_{i\tau }(x)dx,\quad \tau >0.$
ett	$x\sin(\alpha x),\quad \|\mathrm {Im} \,\alpha \|<{\frac {\pi }{2))$	${\frac {\pi \tau }{2}}\mathrm {sh} \,\alpha e^{-\tau \mathrm {ch} \,\alpha }$
2	$\cos(\alpha x),\quad \|\mathrm {Im} \,\alpha \|<{\frac {\pi }{2))$	${\frac {\pi }{2}}e^{-\tau \mathrm {ch} \,\alpha }$
3	$x\mathrm {th} \,(\pi x)P_{-{\frac {1}{2}}+ix}(z)$	${\sqrt {\frac {\pi \tau }{2}}}e^{-\tau z}$
fyra	$x\mathrm {th} \,(\pi x)K_{ix}(z),\quad \|\mathrm {arg} \,z\|<\pi$	${\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\tau z}}{\frac {e^{-\tau -z}}{z+\tau }}$
5	$x\mathrm {sh} \,(\pi x)K_{2ix}(z),\quad \|\mathrm {arg} \,z\|<{\frac {\pi }{4))$	${\sqrt {\frac {\pi ^{3}z^{2}}{2^{5}\tau }}}e^{-\tau -{\frac {z^{2}} {8\tau}}}$
6	$x\sin({\frac {\pi x}{2)))K_{\frac {ix}{2}}(z),\quad \|\mathrm {arg} \,z\|<{\ frac {\pi }{2))$	${\sqrt {\frac {\pi ^{3}\tau ^{2}}{2z}}}e^{-z-{\frac {\tau ^{2}}{8z}}}$
7	$\mathrm {ch} \,(\alpha x)K_{ix}(z),\quad \|\mathrm {Re} \,\alpha \|+\|\mathrm {arg} \,z\|<\pi$	${\frac {\pi }{2}}K_{0}({\sqrt {\tau ^{2}+z^{2}+2z\tau \cos \alpha }})$
åtta	${\frac {x}{x^{2}+n^{2}}}\ \mathrm {sh} \,(\pi x)K_{ix}(z),\quad z>0, \ n\i \mathbb {Z} _{+}$	${\frac {\pi ^{2}}{2}}I_{n}(\tau )K_{n}(z),0<\tau <z$ ${\frac {\pi ^{2}}{2}}I_{n}(z)K_{n}(\tau ),z<\tau <\infty$
9	$x\mathrm {sh} \,(\pi x)K_{ix}(y)K_{ix}(z),$ $\|\mathrm {arg} \,y\|+\|\mathrm {arg} \,z\|<{\frac {\pi }{2))$	${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{4}}e^{-{\frac {\tau }{2}}\left({\frac {y}{z}}+{\frac {z}{y}}+{\frac {yz}{\tau ^{2}}}\right)))$
tio	$x\mathrm {sh} \,({\frac {\pi x}{2)))K_{\frac {ix}{2}}(y)K_{\frac {ix}{2}} (z),$ $\|\mathrm {arg} \,y\|+\|\mathrm {arg} \,z\|<\pi$	${\frac {\pi ^{2}\tau }{2{\sqrt {\tau ^{2}+4yz))))e^{-{\frac {(y+z)}{2 }}{\sqrt {{\frac {\tau ^{2}}{yz}}+4}}}$
elva	$x\mathrm {sh} \,(\pi x)K_{{\frac {ix}{2}}+\lambda }(z)K_{{\frac {ix}{2}}-\lambda }(z),\quad z>0$	$0.0<\tau<2z$ ${\frac {\pi ^{2}\tau }{2^{2\lambda +1}z^{2\lambda }{\sqrt {\tau ^{2}-4z^{2)) ))}\left((\tau +{\sqrt {\tau ^{2}-4z^{2}}})^{2\lambda }+\right.$ $\left.+(\tau -{\sqrt {\tau ^{2}-4z^{2))})^{2\lambda }\right),2z<\tau <\infty$
12	$x\mathrm {sh} \,(\pi x)\Gamma (\lambda +ix)\Gamma (\lambda -ix)K_{ix}(z),$ $\|\mathrm {arg} \,z\|<\pi ,\;\mathrm {Re} \,\lambda >0$	$2^{\lambda -1}\pi ^{\frac {3}{2}}(z\tau )^{\lambda }(\tau +z)^{-\lambda }\Gamma \left (\lambda +{\frac {1}{2}}\right)K_{\lambda }(\tau +z)$

Finit Kontorovich-Lebedev transformation

Den slutliga Kontorovich-Lebedev-transformationen har formen:

F_{\alpha }(\tau )={\frac {2\tau \mathrm {sh} \,\pi \tau }{\pi ^{2}|I_{i\alpha }(\alpha ) |^{2}}}\int _{0}^{\alpha }\left(K_{i\tau }(\alpha )I_{i\tau }(x)-K_{i\tau }(x) I_{i\tau }(\alpha )\right)f(x){\frac {dx}{x)),\quad \tau >0

var är Infeld-funktionen . $I_{\nu }(x)$

Litteratur

Mathematical Encyclopedia Ed. collegium: I. M. Vinogradov (redaktörschef) [m.fl.] M., "Sovjetuppslagsverket", 1977-1985.
Ditkin V. A. , Prudnikov A. P. Integraltransformationer och operationell kalkyl. —M.: Fizmagiz, 1961.
Bateman G., Erdeyi A. Tabeller över integrerade transformationer. Volym 2: Bessel-transformer, integraler av specialfunktioner. — M, vetenskap, 1970

Integrerade transformationer
Abel förvandla Bessel förvandlas Bushman förvandla Gegenbauer transformation Hilbert förvandla Kontorovich-Lebedev förvandling Laplace transformation Meyer förvandla Mehler-Fock förvandling Mellin transform Nerain transformation Radonomvandling Stieltjes förvandlas Fouriertransform Hankel transformation Hartley transformation