Mellin transform

Mellin-transformen är en transformation som kan ses som en multiplikativ version av den tvåsidiga Laplace-transformen . Denna integrerade transformation är nära besläktad med teorin om Dirichlet-serien och används ofta i talteorin och i teorin om asymptotiska expansioner . Mellintransformen är nära besläktad med Laplacetransformen och Fouriertransformen , liksom teorin om gammafunktioner och teorin om angränsande specialfunktioner .

Förvandlingen är uppkallad efter den finske matematikern Hjalmar Mellin som studerade den .

Definition

Den direkta Mellin-transformen ges av:

\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\varphi (s)=\int \limits _{0}^{\infty }x^{s-1}f (x)dx

Invers transformation - med formeln:

\left\{{\mathcal {M}}^{-1}\varphi \right\}(x)=f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int \ gränser _{ci\infty }^{c+i\infty }x^{-s}\varphi (s)\,ds

Integrationen antas ske i det komplexa planet . Förutsättningarna under vilka transformationen kan göras är desamma som villkoren för Mellins inversa transformationssats.

Förhållande med andra transformationer

Den tvåsidiga Laplace-integralen kan uttryckas i termer av Mellin-transformen:

\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s)

Och vice versa: Mellin-transformen uttrycks i termer av Laplace-transformen med formeln:

\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s) .

Fouriertransformen kan uttryckas i termer av Mellintransformen med formeln:

\left\{{\mathcal {F}}f\right\}(-s)=\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(-is)=\left\{{ \mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(-is)

Tillbaka:

\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s) =\left\{{\mathcal {F}}f(e^{-x})\right\}(är)

Mellin-transformen relaterar också Newtons interpolationsformler eller binomialtransformationer till den sekvensgenererande funktionen med hjälp av Poisson-Mellin-Newton-cykeln .

Exempel

Cahen-Mellin-integralen

Om en:

$c>0,$
$\Re(y)>0,$
${\displaystyle y^{-s))$ på huvudgrenen,

sedan [1]

e^{-y}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{ci\infty }^{c+i\infty }\Gamma (s)y^{- s}\;ds

, var

\Gamma (s)

är gammafunktionen .

Uppkallad efter Hjalmar Mellin och den franske matematikern Eugène Cahen ( franska: Eugène Cahen ).

Mellin transform för Lebesgue space

I ett Hilbert-rum ges Mellin-transformen något annorlunda. För ett Lebesgue-utrymme inkluderar alla grundläggande remsor . I detta avseende är det möjligt att definiera en linjär operator som: $L^{2}(0,\infty )$ ${\tfrac {1}{2}}+i\mathbb {R}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M))))$

{\tilde {\mathcal {M))}\colon L^{2}(0,\infty )\to L^{2}(-\infty ,\infty ),\{{\tilde {\ matematiska {M}}}f\}(s):={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{0}^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}+är}f(x)\,dx

Det är:

\{{\tilde {\mathcal {M}}}f\}(s):={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}\{{\mathcal {M}}f \}({\tfrac {1}{2}}-är)

Denna operator betecknas vanligtvis och kallas Mellin-transformen, men här och i det följande kommer vi att använda notationen . ${\mathcal {M}}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M))))$

inversa Mellin-transformationssatservisar att

{\tilde {\mathcal {M))}^{-1}\colon L^{2}(-\infty ,\infty )\to L^{2}(0,\infty ),\{ {\tilde {\mathcal {M}}}^{-1}\varphi \}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty } ^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}-is}\varphi (s)\,ds.

Dessutom är denna operator isometrisk , det vill säga

\|{\tilde {\mathcal {M}}}f\|_{L^{2}(-\infty ,\infty )}=\|f\|_{L^{2}(0 ,\infty )}

för .

\forall f\in L^{2}(0,\infty )

Detta förklarar förhållandet ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi ))))$

Samband med sannolikhetsteori

Inom sannolikhetsteorin är Mellintransformen ett viktigt verktyg för att studera fördelningen av stokastiska variabler [2] .

Om en:

$D=\{s:a\leqslant \Re (s)\leqslant b\},$
$a\leqslant 0\leqslant b,$
$X$ - slumpmässigt värde,
$X^{+}=\max\{X,0\},$
$X^{-}=\max\{-X,0\},$

då definieras Mellin-transformen som:

{\mathcal {M}}_{X}(s)=\int \limits _{0}^{\infty }x^{s}dF_{X^{+}}(x)+i\ int \limits _{0}^{\infty }x^{s}dF_{X^{-}}(x),

var är den imaginära enheten .

i

Mellintransformen av en slumpvariabel bestämmer unikt dess fördelningsfunktion . ${\mathcal {M}}_{X}(it)$ $X$ $F_{x}$

Applikation

Mellin-transformen är särskilt viktig för informationsteknologi, särskilt för mönsterigenkänning .

Anteckningar

↑ Hardy, G.H.; Littlewood, JE Bidrag till teorin om Riemann Zeta-funktion och teorin om fördelningen av primtal // Acta Mathematica : tidskrift . - 1916. - Vol. 41 , nr. 1 . - S. 119-196 . - doi : 10.1007/BF02422942 . (Se anteckningar däri för ytterligare referenser till Cahens och Mellins arbete, inklusive Cahens avhandling.)
↑ Galambos, Simonelli, 2004, s. 15

Litteratur

Galambos, Janos; Simonelli, Italien. Produkter av slumpvariabler: tillämpningar på fysikproblem och på aritmetiska funktioner . — Marcel Dekker, Inc., 2004. - ISBN 0-8247-5402-6 .
Paris, R.B.; Kaminski, D. Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals (neopr.) . — Cambridge University Press , 2001.
polyanin, AD; Manzhirov, A. V. Handbook of Integral Equations (neopr.) . - Boca Raton: CRC Press , 1998. - ISBN 0-8493-2876-4 .
Flajolet, P.; Gourdon, X.; Dumas, P. Mellin transformer och asymptotik: Harmoniska summor // Teoretisk datavetenskap. - 1995. - Vol. 144 , nr. 1-2 . - S. 3-58 .
Tables of Integral Transforms Arkiverad 30 juni 2007 på Wayback Machine på EqWorld: The World of Mathematical Equations.
Hazewinkel, Michiel, red. (2001), Mellin transform , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Weisstein, Eric W. Mellin Transform (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .

Länkar

Philippe Flajolet, Xavier Gourdon, Philippe Dumas, Mellin Transformers och Asymptotics: Harmoniska summor. Arkiverad 24 maj 2006 på Wayback Machine
Antonio Gonzáles, Marko Riedel Celebrando un clásico Arkiverad 3 november 2012 på Wayback Machine , nyhetsgrupp es.ciencia.matematicas
Juan Sacerdoti, Funciones Eulerianas Arkiverad 29 januari 2007 på Wayback Machine (på spanska).
Mellin Transform Methods Arkiverad 11 april 2013 på Wayback Machine , Digital Library of Mathematical Functions , 2011-08-29, National Institute of Standards and Technology
Antonio De Sena och Davide Rocchesso, A Fast Mellin Transform With Applications in DAFX Arkiverad 14 september 2014 på Wayback Machine

Integrerade transformationer
Abel förvandla Bessel förvandlas Bushman förvandla Gegenbauer transformation Hilbert förvandla Kontorovich-Lebedev förvandling Laplace transformation Meyer förvandla Mehler-Fock förvandling Mellin transform Nerain transformation Radonomvandling Stieltjes förvandlas Fouriertransform Hankel transformation Hartley transformation