Thomson problem

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 30 mars 2020; kontroller kräver 2 redigeringar .

Målet med Thomsons problem är att bestämma den minsta konfigurationen av den totala potentiella energin för en elektrostatisk laddning för N elektroner , begränsade av ytan på en enhetssfär, som stöts bort från varandra av kraften som ges av Coulombs lag . Fysikern J. J. Thomson tog upp problemet 1904 efter att han föreslog en modell av atomen, senare kallad puddingmodellen , baserad på hans kunskap om förekomsten av negativt laddade elektroner i neutralt laddade atomer.

Relaterade problem inkluderar att studera geometrin för den minimala energikonfigurationen och att studera beteendet för N : s minimienergi vid stort N.

Matematisk formulering

Det fysiska systemet som förkroppsligas i Thomson-problemet är ett specialfall av ett av de arton olösta matematiska problemen som föreslagits av matematikern Steven Smale - "Distribution of points on a sphere". Lösningen på varje N elektronproblem erhålls när konfigurationen av N elektroner som begränsas av ytan på en sfär med enhetsradie, r = 1, ger det globala minimum av den elektrostatiska potentiella energin U(N)

Energin för elektrostatisk interaktion som uppstår mellan varje elektronpar med lika laddningar ( , en elektrons elementära laddning) bestäms av Coulombs lag, $e_{i}=e_{j}=e$

${\displaystyle {U_{ij}(N)=k_{e}{e_{i}e_{j} \över r_{ij))))))$

här är Coulomb-konstanten och avståndet mellan varje elektronpar belägna vid punkter på sfären, bestämt av vektorerna resp . ${\displaystyle k_{e))$ $r_{ij}=|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|$ ${r}_{i}$ ${\displaystyle {r}_{j))$

Förenklade enheter och används utan att förlora huvudinnebörden. Sedan, $e=1$ $k_{e}=1$

${\displaystyle {\U_{ij}(N)={1 \över r_{ij)).))$

Den totala potentiella energin för den elektrostatiska laddningen för varje konfiguration av N-elektroner kan uttryckas som summan av alla parinteraktioner.

${\displaystyle U(N)=\summa _{i<j}{\frac {1}{r_{ij}}}.}$

Global minimering över alla möjliga uppsättningar av N distinkta punkter hittas vanligtvis av numeriska minimeringsalgoritmer.

Exempel

Lösningen på Thomson-problemet för två elektroner erhålls när båda elektronerna är så långt ifrån varandra som möjligt på motsatta sidor av ursprunget , eller ${\displaystyle {\displaystyle r_{ij}=2r=2))$

{\displaystyle U(2)={1 \över 2}}.}

Kända lösningar

Schematiska geometriska lösningar av det matematiska Thomsonproblemet för upp till N = 5 elektroner.

Minimienergikonfigurationer har endast definierats strikt i ett fåtal fall.

För N = 1 är lösningen trivial, eftersom elektronen kan placeras var som helst på ytan av enhetssfären. Den totala energin för konfigurationen definieras som noll, eftersom elektronen inte utsätts för ett elektriskt fält på grund av några andra laddningskällor.
För N = 2 består den optimala konfigurationen av elektroner vid antipodalpunkter.
För N = 3 befinner sig elektronerna i spetsen av en liksidig triangel runt en storcirkel.
För N = 4, är elektronerna i hörnen på en vanlig tetraeder .
För N = 5 erhölls en matematiskt rigorös datorlösning 2010 med elektroner placerade vid hörnen på en triangulär dipyramid.
För N = 6, är elektronerna vid hörnen på en vanlig oktaeder .
För N = 12, är elektronerna i hörnen på en vanlig ikosaeder .

Det är anmärkningsvärt att de geometriska lösningarna av Thomson-problemet för N = 4, 6 och 12 elektroner är kända som platoniska fasta ämnen vars ytor är lika liksidiga trianglar. De numeriska lösningarna för N = 8 och 20 är inte regelbundna konvexa polyedriska konfigurationer av de återstående två platoniska soliderna , vars ytor är fyrkantiga respektive femkantiga.

Generaliseringar

Det är också möjligt att fråga grundtillstånden för partiklar som interagerar med godtyckliga potentialer. För att vara matematiskt exakt, låt f vara en avtagande reell funktion. Vi definierar energifunktionen $\sum _{i<j}f(|x_{i}-x_{j}|)$

Traditionellt anses även känd som Riesz-kärnan. För icke-integrerbara Riesz-kärnor gäller vallmomunksatsen . Noterbara fall inkluderar α = ∞, Tammes-problemet; a = 1, Thomsons problem; α = 0, Vits problem (för att maximera produkten av avstånd). ${\displaystyle f(x)=x^{-\alpha ))$

Samband med andra vetenskapliga frågor

Thomsons problem är en naturlig följd av Thomsons plommonpuddingmodell i frånvaro av dess enhetliga positiva bakgrundsladdning.

"Inga fakta som upptäckts om atomen kan vara trivial och kan påskynda utvecklingen av fysikalisk vetenskap, eftersom det mesta av naturfilosofi är resultatet av atomens struktur och mekanism."

Även om experimentella data har lett till att Thomson -puddingmodellen överges som en komplett modell av atomen, har det visat sig att de inhomogeniteter som observeras i de numeriska energilösningarna av Thomsonproblemet motsvarar fyllningen av elektronskalet med naturliga atomer genomgående grundämnenas periodiska system.

Thomsonproblemet spelar också en roll i studien av andra fysiska modeller, inklusive multi-elektronbubblor och ytordning av flytande metalldroppar som fångas i Paul-fällor.

Det generaliserade Thomson-problemet uppstår till exempel vid bestämning av platsen för proteinsubenheterna som utgör höljena av sfäriska virus. "Partiklar" i detta fall är kluster av proteinsubenheter placerade på skalet. Andra exempel inkluderar det regelbundna arrangemanget av kolloidala partiklar i kolloidosomer , som föreslagits för att kapsla in aktiva ingredienser som läkemedel, näringsämnen eller levande celler, fullerenstrukturer av kolatomer och teorin om elektronparrepulsion. Ett exempel på långväga logaritmiska interaktioner är Abrikosovvirvlar, som skulle bildas vid låga temperaturer i ett supraledande metallskal med ett stort elektromagnetiskt fält i centrum.

Lägsta kända energikonfigurationer

I följande tabell - antalet punkter (laddningar) i konfigurationen, - energin, typen av symmetri anges i Schoenflies notation (se Punktgrupper i tre dimensioner ), - laddningarnas positioner. De flesta typer av symmetri kräver att vektorsumman av positionerna (och därmed det elektriska dipolmomentet ) är noll. $N$ $E_1$ $r_{i}$

Det är också vanligt att ta hänsyn till polyedern som bildas av det konvexa skrovet av punkter. Sålunda är antalet hörn där ett givet antal kanter förekommer, är det totala antalet kanter, är antalet triangulära ytor, är antalet fyrsidiga ytor och är den minsta vinkeln som representeras av vektorerna associerade med det närmaste paret av avgifter. Observera att kantlängder vanligtvis inte är lika; sålunda (förutom fallen N = 4, 6, 12, 24) är det konvexa skrovet endast topologiskt ekvivalent med en homogen polyeder eller Johnson-kropp. De senare är listade i den sista kolumnen. $v_{i}$ $e$ $f_3$ ${\displaystyle f_{4))$ $\theta _{1}$

N	E 1	Symmetri	${\displaystyle \left\|\sum \mathbf {r} _{i}\right\|}$	${\displaystyle v_{3))$	${\displaystyle v_{4))$	${\displaystyle v_{5))$	${\displaystyle v_{6}}$	${\displaystyle v_{7))$	${\displaystyle v_{8))$	e	${\displaystyle f_{3))$	${\displaystyle f_{4))$	$\theta _{1}$	Ekvivalent polyeder
2	0,500000000	${\displaystyle D_{\infty h))$	0	—	—	—	—	—	—	ett	—	—	180 000°	dvuagon
3	1,732050808	${\displaystyle D_{3h))$	0	—	—	—	—	—	—	3	ett	—	120 000°	triangel
fyra	3,674234614	${\displaystyle T_{d))$	0	fyra	0	0	0	0	0	6	fyra	0	109,471°	tetraeder
5	6,474691495	${\displaystyle D_{3h))$	0	2	3	0	0	0	0	9	6	0	90 000°	triangulär dipyramid
6	9,985281374	$O_{h}$	0	0	6	0	0	0	0	12	åtta	0	90 000°	oktaeder
7	+14.452977414	${\displaystyle D_{5h))$	0	0	5	2	0	0	0	femton	tio	0	72 000°	femkantig dipyramid
åtta	+19,675287861	$D_{4d}$	0	0	åtta	0	0	0	0	16	åtta	2	71,694°	fyrkantig antiprisma
9	+25,759986531	${\displaystyle D_{3h))$	0	0	3	6	0	0	0	21	fjorton	0	69,190°	trekantsprisma
tio	+32,716949460	$D_{4d}$	0	0	2	åtta	0	0	0	24	16	0	64,996°	Gyro långsträckt fyrkantig dipyramid
elva	+40,596450510	${\displaystyle C_{2v))$	0,013219635	0	2	åtta	ett	0	0	27	arton	0	58,540°	icosahedron komprimerad av en kant
12	+49,165253058	$I_{h}$	0	0	0	12	0	0	0	trettio	tjugo	0	63,435°	icosahedron
13	+58.853230612	${\displaystyle C_{2v))$	0,008820367	0	ett	tio	2	0	0	33	22	0	52,317°	—
fjorton	+69,306363297	${\displaystyle D_{6d))$	0	0	0	12	2	0	0	36	24	0	52,866°	vriden långsträckt hexagonal dipyramid
femton	+80,670244114	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	3	0	0	39	26	0	49,225°	—
16	+92,911655302	$T$	0	0	0	12	fyra	0	0	42	28	0	48,936°	—
17	+106.050404829	${\displaystyle D_{5h))$	0	0	0	12	5	0	0	45	trettio	0	50,108°	—
arton	+120.084467447	$D_{4d}$	0	0	2	åtta	åtta	0	0	48	32	0	47,534°	—
19	+135.089467557	${\displaystyle C_{2v))$	0,000135163	0	0	fjorton	5	0	0	femtio	32	ett	44,910°	—
tjugo	+150,881568334	${\displaystyle D_{3h))$	0	0	0	12	åtta	0	0	54	36	0	46,093°	—
21	+167.641622399	${\displaystyle C_{2v))$	0,001406124	0	ett	tio	tio	0	0	57	38	0	44,321°	—
22	+185.287536149	${\displaystyle T_{d))$	0	0	0	12	tio	0	0	60	40	0	43,302°	—
23	+203.930190663	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	elva	0	0	63	42	0	41,481°	—
24	+223.347074052	$O$	0	0	0	24	0	0	0	60	32	6	42,065°	snubb kub
25	+243.812760299	$C_{S}$	0,001021305	0	0	fjorton	elva	0	0	68	44	ett	39,610°	—
26	+265.133326317	$C_{2}$	0,001919065	0	0	12	fjorton	0	0	72	48	0	38,842°	—
27	+287.302615033	${\displaystyle D_{5h))$	0	0	0	12	femton	0	0	75	femtio	0	39,940°	—
28	+310.491542358	$T$	0	0	0	12	16	0	0	78	52	0	37,824°	—
29	+334.634439920	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	17	0	0	81	54	0	36,391°	—
trettio	+359.603945904	$D_{2}$	0	0	0	12	arton	0	0	84	56	0	36,942°	—
31	+385.530838063	${\displaystyle C_{3v))$	0,003204712	0	0	12	19	0	0	87	58	0	36,373°	—
32	+412.261274651	$I_{h}$	0	0	0	12	tjugo	0	0	90	60	0	37,377°	—
33	+440.204057448	${\displaystyle C_{s))$	0,004356481	0	0	femton	17	ett	0	92	60	ett	33.700°	—
34	+468.904853281	$D_{2}$	0	0	0	12	22	0	0	96	64	0	33,273°	—
35	+498.569872491	$C_{2}$	0,000419208	0	0	12	23	0	0	99	66	0	33.100°	—
36	+529.122408375	$D_{2}$	0	0	0	12	24	0	0	102	68	0	33,229°	—
37	+560.618887731	${\displaystyle D_{5h))$	0	0	0	12	25	0	0	105	70	0	32,332°	—
38	+593.038503566	${\displaystyle D_{6d))$	0	0	0	12	26	0	0	108	72	0	33,236°	—
39	+626.389009017	${\displaystyle D_{3h))$	0	0	0	12	27	0	0	111	74	0	32,053°	—
40	+660.675278835	${\displaystyle T_{d))$	0	0	0	12	28	0	0	114	76	0	31,916°	—
41	+695.916744342	${\displaystyle D_{3h))$	0	0	0	12	29	0	0	117	78	0	31,528°	—
42	+732.078107544	${\displaystyle D_{5h))$	0	0	0	12	trettio	0	0	120	80	0	31,245°	—
43	+769.190846459	${\displaystyle C_{2v))$	0,000399668	0	0	12	31	0	0	123	82	0	30,867°	—
44	+807.174263085	$O_{h}$	0	0	0	24	tjugo	0	0	120	72	6	31,258°	—
45	+846.188401061	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	33	0	0	129	86	0	30,207°	—
46	+886.167113639	$T$	0	0	0	12	34	0	0	132	88	0	29,790°	—
47	+927.059270680	${\displaystyle C_{s))$	0,002482914	0	0	fjorton	33	0	0	134	88	ett	28,787°	—
48	+968.713455344	$O$	0	0	0	24	24	0	0	132	80	6	29,690°	—
49	+1011.557182654	$C_{{3}}$	0,001529341	0	0	12	37	0	0	141	94	0	28,387°	—
femtio	+1055.182314726	${\displaystyle D_{6d))$	0	0	0	12	38	0	0	144	96	0	29,231°	—
51	+1099.819290319	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	39	0	0	147	98	0	28,165°	—
52	+1145.418964319	$C_{{3}}$	0,000457327	0	0	12	40	0	0	150	100	0	27,670°	—
53	+1191.922290416	$C_{{2v}}$	0,000278469	0	0	arton	35	0	0	150	96	3	27,137°	—
54	+1239.361474729	$C_{2}$	0,000137870	0	0	12	42	0	0	156	104	0	27.030°	—
55	+1287.772720783	$C_{2}$	0,000391696	0	0	12	43	0	0	159	106	0	26,615°	—
56	+1337.094945276	$D_{2}$	0	0	0	12	44	0	0	162	108	0	26,683°	—
57	+1387.383229253	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	45	0	0	165	110	0	26,702°	—
58	+1438.618250640	$D_{2}$	0	0	0	12	46	0	0	168	112	0	26,155°	—
59	+1490.773335279	$C_{2}$	0,000154286	0	0	fjorton	43	2	0	171	114	0	26,170°	—
60	+1543.830400976	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	48	0	0	174	116	0	25,958°	—
61	+1597.941830199	$C_{1}$	0,001091717	0	0	12	49	0	0	177	118	0	25,392°	—
62	+1652.909409898	$D_{5}$	0	0	0	12	femtio	0	0	180	120	0	25.880°	—
63	+1708.879681503	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	51	0	0	183	122	0	25,257°	—
64	+1765.802577927	$D_{2}$	0	0	0	12	52	0	0	186	124	0	24,920°	—
65	+1823.667960264	$C_{2}$	0,000399515	0	0	12	53	0	0	189	126	0	24,527°	—
66	+1882.441525304	$C_{2}$	0,000776245	0	0	12	54	0	0	192	128	0	24,765°	—
67	+1942.122700406	$D_{5}$	0	0	0	12	55	0	0	195	130	0	24,727°	—
68	+2002.874701749	$D_{2}$	0	0	0	12	56	0	0	198	132	0	24,433°	—
69	+2064.533483235	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	57	0	0	201	134	0	24,137°	—
70	+2127.100901551	${\displaystyle D_{2d))$	0	0	0	12	femtio	0	0	200	128	fyra	24,291°	—
71	+2190.649906425	$C_{2}$	0,001256769	0	0	fjorton	55	2	0	207	138	0	23,803°	—
72	+2255.001190975	$jag$	0	0	0	12	60	0	0	210	140	0	24,492°	—
73	+2320.633883745	$C_{2}$	0,001572959	0	0	12	61	0	0	213	142	0	22.810°	—
74	+2387.072981838	$C_{2}$	0,000641539	0	0	12	62	0	0	216	144	0	22,966°	—
75	+2454.369689040	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	63	0	0	219	146	0	22,736°	—
76	+2522.674871841	$C_{2}$	0,000943474	0	0	12	64	0	0	222	148	0	22,886°	—
77	+2591.850152354	$D_{5}$	0	0	0	12	65	0	0	225	150	0	23,286°	—
78	+2662.046474566	$T_{h}$	0	0	0	12	66	0	0	228	152	0	23,426°	—
79	+2733.248357479	${\displaystyle C_{s))$	0,000702921	0	0	12	63	ett	0	230	152	ett	22,636°	—
80	+2805.355875981	$D_{4d}$	0	0	0	16	64	0	0	232	152	2	22,778°	—
81	+2878.522829664	$C_{2}$	0,000194289	0	0	12	69	0	0	237	158	0	21,892°	—
82	+2952.569675286	$D_{2}$	0	0	0	12	70	0	0	240	160	0	22,206°	—
83	+3027.528488921	$C_{2}$	0,000339815	0	0	fjorton	67	2	0	243	162	0	21,646°	—
84	+3103.465124431	$C_{2}$	0,000401973	0	0	12	72	0	0	246	164	0	21,513°	—
85	+3180.361442939	$C_{2}$	0,000416581	0	0	12	73	0	0	249	166	0	21,498°	—
86	+3258.211605713	$C_{2}$	0,001378932	0	0	12	74	0	0	252	168	0	21,522°	—
87	+3337.000750014	$C_{2}$	0,000754863	0	0	12	75	0	0	255	170	0	21,456°	—
88	+3416.720196758	$D_{2}$	0	0	0	12	76	0	0	258	172	0	21,486°	—
89	+3497.439018625	$C_{2}$	0,000070891	0	0	12	77	0	0	261	174	0	21,182°	—
90	+3579.091222723	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	78	0	0	264	176	0	21.230°	—
91	+3661.713699320	$C_{2}$	0,000033221	0	0	12	79	0	0	267	178	0	21,105°	—
92	+3745.291636241	$D_{2}$	0	0	0	12	80	0	0	270	180	0	21,026°	—
93	+3829.844338421	$C_{2}$	0,000213246	0	0	12	81	0	0	273	182	0	20,751°	—
94	+3915.309269620	$D_{2}$	0	0	0	12	82	0	0	276	184	0	20,952°	—
95	+4001.771675565	$C_{2}$	0,000116638	0	0	12	83	0	0	279	186	0	20,711°	—
96	+4089.154010060	$C_{2}$	0,000036310	0	0	12	84	0	0	282	188	0	20,687°	—
97	+4177.533599622	$C_{2}$	0,000096437	0	0	12	85	0	0	285	190	0	20.450°	—
98	+4266.822464156	$C_{2}$	0,000112916	0	0	12	86	0	0	288	192	0	20,422°	—
99	+4357.139163132	$C_{2}$	0,000156508	0	0	12	87	0	0	291	194	0	20,284°	—
100	+4448.350634331	$T$	0	0	0	12	88	0	0	294	196	0	20,297°	—
101	+4540.590051694	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	89	0	0	297	198	0	20.011°	—
102	+4633.736565899	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	90	0	0	300	200	0	20,040°	—
103	+4727.836616833	$C_{2}$	0,000201245	0	0	12	91	0	0	303	202	0	19,907°	—
104	+4822.876522746	$D_{6}$	0	0	0	12	92	0	0	306	204	0	19,957°	—
105	+4919.000637616	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	93	0	0	309	206	0	19,842°	—
106	+5015.984595705	$D_{2}$	0	0	0	12	94	0	0	312	208	0	19,658°	—
107	+5113.953547724	$C_{2}$	0,000064137	0	0	12	95	0	0	315	210	0	19,327°	—
108	+5212.813507831	$C_{2}$	0,000432525	0	0	12	96	0	0	318	212	0	19,327°	—
109	+5312.735079920	$C_{2}$	0,000647299	0	0	fjorton	93	2	0	321	214	0	19.103°	—
110	+5413.549294192	$D_{6}$	0	0	0	12	98	0	0	324	216	0	19,476°	—
111	+5515.293214587	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	99	0	0	327	218	0	19,255°	—
112	+5618.044882327	$D_{5}$	0	0	0	12	100	0	0	330	220	0	19.351°	—
113	+5721.824978027	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	101	0	0	333	222	0	18,978°	—
114	+5826.521572163	$C_{2}$	0,000149772	0	0	12	102	0	0	336	224	0	18,836°	—
115	+5932.181285777	$C_{{3}}$	0,000049972	0	0	12	103	0	0	339	226	0	18,458°	—
116	+6038.815593579	$C_{2}$	0,000259726	0	0	12	104	0	0	342	228	0	18,386°	—
117	+6146.342446579	$C_{2}$	0,000127609	0	0	12	105	0	0	345	230	0	18,566°	—
118	+6254.877027790	$C_{2}$	0,000332475	0	0	12	106	0	0	348	232	0	18.455°	—
119	+6364.347317479	$C_{2}$	0,000685590	0	0	12	107	0	0	351	234	0	18.336°	—
120	+6474.756324980	${\displaystyle C_{s))$	0,001373062	0	0	12	108	0	0	354	236	0	18,418°	—
121	+6586.121949584	$C_{{3}}$	0,000838863	0	0	12	109	0	0	357	238	0	18.199°	—
122	+6698.374499261	$I_{h}$	0	0	0	12	110	0	0	360	240	0	18,612°	—
123	+6811.827228174	$C_{{2v}}$	0,001939754	0	0	fjorton	107	2	0	363	242	0	17.840°	—
124	+6926.169974193	$D_{2}$	0	0	0	12	112	0	0	366	244	0	18.111°	—
125	+7041.473264023	$C_{2}$	0,000088274	0	0	12	113	0	0	369	246	0	17,867°	—
126	+7157.669224867	${\displaystyle D_{4))$	0	0	2	16	100	åtta	0	372	248	0	17,920°	—
127	+7274.819504675	$D_{5}$	0	0	0	12	115	0	0	375	250	0	17,877°	—
128	+7393.007443068	$C_{2}$	0,000054132	0	0	12	116	0	0	378	252	0	17,814°	—
129	+7512.107319268	$C_{2}$	0,000030099	0	0	12	117	0	0	381	254	0	17,743°	—
130	+7632.167378912	$C_{2}$	0,000025622	0	0	12	118	0	0	384	256	0	17,683°	—
131	+7753.205166941	$C_{2}$	0,000305133	0	0	12	119	0	0	387	258	0	17.511°	—
132	+7875.045342797	$jag$	0	0	0	12	120	0	0	390	260	0	17,958°	—
133	+7998.179212898	$C_{{3}}$	0,000591438	0	0	12	121	0	0	393	262	0	17.133°	—
134	+8122.089721194	$C_{2}$	0,000470268	0	0	12	122	0	0	396	264	0	17,214°	—
135	+8246.909486992	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	123	0	0	399	266	0	17.431°	—
136	+8372.743302539	$T$	0	0	0	12	124	0	0	402	268	0	17.485°	—
137	+8499.534494782	$D_{5}$	0	0	0	12	125	0	0	405	270	0	17.560°	—
138	+8627.406389880	$C_{2}$	0,000473576	0	0	12	126	0	0	408	272	0	16,924°	—
139	+8756.227056057	$C_{2}$	0,000404228	0	0	12	127	0	0	411	274	0	16,673°	—
140	+8885.980609041	$C_{1}$	0,000630351	0	0	13	126	ett	0	414	276	0	16,773°	—
141	+9016.615349190	$C_{{2v}}$	0,000376365	0	0	fjorton	126	0	ett	417	278	0	16,962°	—
142	+9148.271579993	$C_{2}$	0,000550138	0	0	12	130	0	0	420	280	0	16.840°	—
143	+9280.839851192	$C_{2}$	0,000255449	0	0	12	131	0	0	423	282	0	16,782°	—
144	+9414.371794460	$D_{2}$	0	0	0	12	132	0	0	426	284	0	16,953°	—
145	+9548.928837232	${\displaystyle C_{s))$	0,000094938	0	0	12	133	0	0	429	286	0	16,841°	—
146	+9684.381825575	$D_{2}$	0	0	0	12	134	0	0	432	288	0	16,905°	—
147	+9820.932378373	$C_{2}$	0,000636651	0	0	12	135	0	0	435	290	0	16,458°	—
148	+9958.406004270	$C_{2}$	0,000203701	0	0	12	136	0	0	438	292	0	16,627°	—
149	+10096.859907397	$C_{1}$	0,000638186	0	0	fjorton	133	2	0	441	294	0	16.344°	—
150	+10236.196436701	$T$	0	0	0	12	138	0	0	444	296	0	16.405°	—
151	+10376.571469275	$C_{2}$	0,000153836	0	0	12	139	0	0	447	298	0	16,163°	—
152	+10517.867592878	$D_{2}$	0	0	0	12	140	0	0	450	300	0	16,117°	—
153	+10660.082748237	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	141	0	0	453	302	0	16.390°	—
154	+10803.372421141	$C_{2}$	0,000735800	0	0	12	142	0	0	456	304	0	16,078°	—
155	+10947.574692279	$C_{2}$	0,000603670	0	0	12	143	0	0	459	306	0	15.990°	—
156	+11092.798311456	$C_{2}$	0,000508534	0	0	12	144	0	0	462	308	0	15,822°	—
157	+11238.903041156	$C_{2}$	0,000357679	0	0	12	145	0	0	465	310	0	15,948°	—
158	+11385.990186197	$C_{2}$	0,000921918	0	0	12	146	0	0	468	312	0	15,987°	—
159	+11534.023960956	$C_{2}$	0,000381457	0	0	12	147	0	0	471	314	0	15.960°	—
160	+11683.054805549	$D_{2}$	0	0	0	12	148	0	0	474	316	0	15,961°	—
161	+11833.084739465	$C_{2}$	0,000056447	0	0	12	149	0	0	477	318	0	15.810°	—
162	+11984.050335814	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	150	0	0	480	320	0	15,813°	—
163	+12136.013053220	$C_{2}$	0,000120798	0	0	12	151	0	0	483	322	0	15,675°	—
164	+12288.930105320	$D_{2}$	0	0	0	12	152	0	0	486	324	0	15,655°	—
165	+12442.804451373	$C_{2}$	0,000091119	0	0	12	153	0	0	489	326	0	15,651°	—
166	+12597.649071323	${\displaystyle D_{2d))$	0	0	0	16	146	fyra	0	492	328	0	15,607°	—
167	+12753.469429750	$C_{2}$	0,000097382	0	0	12	155	0	0	495	330	0	15.600°	—
168	+12910.212672268	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	156	0	0	498	332	0	15,655°	—
169	+13068.006451127	${\displaystyle C_{s))$	0,000068102	0	0	13	155	ett	0	501	334	0	15,537°	—
170	+13226.681078541	${\displaystyle D_{2d))$	0	0	0	12	158	0	0	504	336	0	15,569°	—
171	+13386.355930717	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	159	0	0	507	338	0	15,497°	—
172	+13547.018108787	$C_{{2v}}$	0,000547291	0	0	fjorton	156	2	0	510	340	0	15,292°	—
173	+13708.635243034	${\displaystyle C_{s))$	0,000286544	0	0	12	161	0	0	513	342	0	15,225°	—
174	+13871.187092292	$D_{2}$	0	0	0	12	162	0	0	516	344	0	15,366°	—
175	+14034.781306929	$C_{2}$	0,000026686	0	0	12	163	0	0	519	346	0	15,252°	—
176	+14199.354775632	$C_{1}$	0,000283978	0	0	12	164	0	0	522	348	0	15.101°	—
177	+14364.837545298	$D_{5}$	0	0	0	12	165	0	0	525	350	0	15,269°	—
178	+14531.309552587	$D_{2}$	0	0	0	12	166	0	0	528	352	0	15,145°	—
179	+14698.754594220	$C_{1}$	0,000125113	0	0	13	165	ett	0	531	354	0	14,968°	—
180	+14867.099927525	$D_{2}$	0	0	0	12	168	0	0	534	356	0	15,067°	—
181	+15036.467239769	$C_{2}$	0,000304193	0	0	12	169	0	0	537	358	0	15.002°	—
182	+15206.730610906	$D_{5}$	0	0	0	12	170	0	0	540	360	0	15.155°	—
183	+15378.166571028	$C_{1}$	0,000467899	0	0	12	171	0	0	543	362	0	14,747°	—
184	+15550.421450311	$T$	0	0	0	12	172	0	0	546	364	0	14,932°	—
185	+15723.720074072	$C_{2}$	0,000389762	0	0	12	173	0	0	549	366	0	14,775°	—
186	+15897.897437048	$C_{1}$	0,000389762	0	0	12	174	0	0	552	368	0	14,739°	—
187	+16072.975186320	$D_{5}$	0	0	0	12	175	0	0	555	370	0	14,848°	—
188	+16249.222678879	$D_{2}$	0	0	0	12	176	0	0	558	372	0	14.740°	—
189	+16426.371938862	$C_{2}$	0,000020732	0	0	12	177	0	0	561	374	0	14,671°	—
190	+16604.428338501	$C_{{3}}$	0,000586804	0	0	12	178	0	0	564	376	0	14.501°	—
191	+16783.452219362	$C_{1}$	0,001129202	0	0	13	177	ett	0	567	378	0	14.195°	—
192	+16963.338386460	$jag$	0	0	0	12	180	0	0	570	380	0	14,819°	—
193	+17144.564740880	$C_{2}$	0,000985192	0	0	12	181	0	0	573	382	0	14,144°	—
194	+17326.616136471	$C_{1}$	0,000322358	0	0	12	182	0	0	576	384	0	14.350°	—
195	+17509.489303930	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	183	0	0	579	386	0	14,375°	—
196	+17693.460548082	$C_{2}$	0,000315907	0	0	12	184	0	0	582	388	0	14.251°	—
197	+17878.340162571	$D_{5}$	0	0	0	12	185	0	0	585	390	0	14,147°	—
198	+18064.262177195	$C_{2}$	0,000011149	0	0	12	186	0	0	588	392	0	14,237°	—
199	+18251.082495640	$C_{1}$	0,000534779	0	0	12	187	0	0	591	394	0	14.153°	—
200	+18438.842717530	$D_{2}$	0	0	0	12	188	0	0	594	396	0	14,222°	—
201	+18627.591226244	$C_{1}$	0,001048859	0	0	13	187	ett	0	597	398	0	13.830°	—
202	+18817.204718262	$D_{5}$	0	0	0	12	190	0	0	600	400	0	14,189°	—
203	+19007.981204580	${\displaystyle C_{s))$	0,000600343	0	0	12	191	0	0	603	402	0	13,977°	—
204	+19199.540775603	$T_{h}$	0	0	0	12	192	0	0	606	404	0	14,291°	—
212	+20768.053085964	$jag$	0	0	0	12	200	0	0	630	420	0	14,118°	—
214	+21169.910410375	$T$	0	0	0	12	202	0	0	636	424	0	13,771°	—
216	+21575.596377869	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	204	0	0	642	428	0	13,735°	—
217	+21779.856080418	$D_{5}$	0	0	0	12	205	0	0	645	430	0	13,902°	—
232	+24961.252318934	$T$	0	0	0	12	220	0	0	690	460	0	13.260°	—
255	+30264.424251281	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	243	0	0	+759	506	0	12,565°	—
256	+30506.687515847	$T$	0	0	0	12	244	0	0	762	508	0	12,572°	—
257	+30749.941417346	$D_{5}$	0	0	0	12	245	0	0	765	510	0	12,672°	—
272	+34515.193292681	$I_{h}$	0	0	0	12	260	0	0	810	540	0	12.335°	—
282	+37147.294418462	$jag$	0	0	0	12	270	0	0	840	560	0	12,166°	—
292	+39877.008012909	$D_{5}$	0	0	0	12	280	0	0	870	580	0	11,857°	—
306	+43862.569780797	$T_{h}$	0	0	0	12	294	0	0	912	608	0	11,628°	—
312	+45629.313804002	$C_{2}$	0,000306163	0	0	12	300	0	0	930	620	0	11,299°	—
315	+46525.825643432	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	303	0	0	+939	626	0	11,337°	—
317	+47128.310344520	$D_{5}$	0	0	0	12	305	0	0	945	630	0	11,423°	—
318	+47431.056020043	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	306	0	0	+948	632	0	11,219°	—
334	+52407.728127822	$T$	0	0	0	12	322	0	0	+996	664	0	11,058°	—
348	+56967.472454334	$T_{h}$	0	0	0	12	336	0	0	1038	692	0	10,721°	—
357	+59999.922939598	$D_{5}$	0	0	0	12	345	0	0	1065	710	0	10,728°	—
358	+60341.830924588	$T$	0	0	0	12	346	0	0	1068	712	0	10,647°	—
372	+65230.027122557	$jag$	0	0	0	12	360	0	0	1110	740	0	10,531°	—
382	+68839.426839215	$D_{5}$	0	0	0	12	370	0	0	1140	760	0	10,379°	—
390	+71797.035335953	$T_{h}$	0	0	0	12	378	0	0	1164	+776	0	10,222°	—
392	+72546.258370889	$jag$	0	0	0	12	380	0	0	1170	780	0	10,278°	—
400	+75582.448512213	$T$	0	0	0	12	388	0	0	+1194	+796	0	10,068°	—
402	+76351.192432673	$D_{5}$	0	0	0	12	390	0	0	1200	800	0	10,099°	—
432	+88353.709681956	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	24	396	12	0	1290	860	0	9,556°	—
448	+95115.546986209	$T$	0	0	0	24	412	12	0	1338	892	0	9,322°	—
460	+100351.763108673	$T$	0	0	0	24	424	12	0	1374	916	0	9,297°	—
468	+103920.871715127	$S_{6}$	0	0	0	24	432	12	0	1398	+932	0	9,120°	—
470	+104822.886324279	$S_{6}$	0	0	0	24	434	12	0	1404	+936	0	9,059°	—

Enligt antagandet, om , p är en polyeder bildad av ett konvext skrov med m punkter, q är antalet fyrkantiga ytor p , då är lösningen för m elektroner f ( m ): . ${\displaystyle {\displaystyle m=n+2))$ ${\displaystyle {\displaystyle f(m)=0^{n}+3n-q))$

Länkar

Thomson, Joseph John (mars 1904). ”Om atomens struktur: en studie av stabiliteten och svängningsperioderna för ett antal blodkroppar som är belägna med jämna mellanrum runt en cirkels omkrets; med tillämpningen av resultaten på teorin om atomstruktur" (PDF). Filosofisk tidskrift . Serie 6. 7 (39): 237-265. doi : 10.1080 / 14786440409463107 . Arkiverad från originalet (PDF) den 13 december 2013.
Smale, S. (1998). "Nästa århundrades matematiska problem". "Matematisk intelligens".
Föppl, L. (1912). "Det stabila arrangemanget av elektroner i atomen" av J. Rain Angew. Matematik (141): 251-301
Schwartz, Richard (2010). "Ett fem-elektron fall av Thomson-problemet". arXiv : 1001.3702 ;[ math.MG ].
^ Landkof N. S. Fundamentals of modern potential theory. Översättning från ryska av A.P. Dukhovsky. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, grupp 180. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1972. x + 424 pp.
^ Hardin D.P.; Saff, E. B. Diskretiserande grenrör genom punkter med minimal energi. Anteckningar av Amer. Matematik Soc. 51 (2004), nr. 10, 1186-1194
^ Levine, Y.; Arenzon, JJ (2003). "Varför avgifter går till ytan: ett generaliserat Thomson-problem". Europhys. Lett . 63(3):415. arXiv: cond-mat/0302524 . doi: 10.1209/epl/i2003-00546-1 .
^ Sir J. J. Thomson, Romanov-föreläsning, 1914 (Atomteori)
LaFave Jr, Tim (2013). "Korrespondenser mellan Thomsons klassiska elektrostatiska problem och atomär elektronisk struktur". Journal of Electrostatics . 71(6): 1029-1035. arXiv: 1403.2591 . doi: 10.1016/j.elstat.2013.10.001.
Kevin Brown. "Konfigurationer av minimal elektronenergi på en sfär" . Hämtad 2014-05-01.
" Sloanes A008486 (se kommentar 3 februari 2017) ". Electronic Encyclopedia of Integer Sequences . Stiftelsen OEIS. Mottaget 2017-02-08