Projektiv grupp

En projektiv grupp är en grupp av transformationer av ett projektivt utrymme inducerade av linjära transformationer av motsvarande vektorrum. Dess element kallas projektiva transformationer - de generaliserar projektiva transformationer av det projektiva planet . Ur en matrissynpunkt är en projektiv grupp gruppen av alla icke degenererade matriser upp till skalära matriser .

Definition

Låta vara ett vektorutrymme över ett fält (eller mer allmänt, över en kropp ), och vara dess fullständiga linjära grupp , det vill säga gruppen av alla reversibla linjära transformationer. Denna grupp pendlar med rymdhomoteter ( multiplikationer med icke-nollfältkonstanter ), och därför inducerar dess element transformationer av det projektiva rummet (kvotutrymme genom gruppens verkan ). $V$ $F$ $K$ $GL(V)$ $Z(V)$ $V$ $F$ $\mathbb {P} (V)=V/Z(V)$ $Z(V)$

En del av dessa inducerade transformationer verkar trivialt - det här är exakt elementen i rymdhomotetgruppen . En projektiv grupp är en faktorgrupp enligt kärnan i en handling: $\mathbb {P} (V)$ $Z(V)\cong F^{*}$ $V$

PGL(V)=GL(V)/Z(V)

Om vi uttryckligen väljer koordinater i rymden , det vill säga en isomorfism för det naturliga , får vi $V$ $V\cong F^{n}$ $n$

PGL_{n}(F)=GL_{n}(F)/F^{*}

det vill säga den projektiva gruppen är kvotgruppen för gruppen av icke-degenererade matriser efter undergruppen av skalära matriser som inte är noll.

Generaliseringar

Om vi istället för den fullständiga linjära gruppen tar den speciella linjära gruppen , det vill säga vi begränsar oss till linjära transformationer med determinant 1, så får vi den projektiva speciallinjära gruppen , även kallad den unimodulära projektiva gruppen . $\mathbb {G} L(V)$ $\mathbb {S} L(V)$ $PSL(V)$

Egenskaper

Om är ett ändligt fält av element, då är gruppens ordning [1] . $F_q$ $q$ $|PSL_{n}(F_{q})|=(q-1,n)^{-1}q^{n(n-1)/2}(q^{n}-1)( q^{n-1}-1)\cdots (q^{2}-1)$
För , gruppen är enkel förutom och [1] . $n\geq 2$ $PSL_{n}(F)$ $PSL_{2}(F_{2})$ $PSL_{2}(F_{3})$

Anteckningar

↑ 1 2 Vinberg, EB (2001), Projective group , i Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4