Projektiv transformation

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 25 maj 2021; verifiering kräver 1 redigering .

En projektiv transformation av ett projektivt plan är en transformation som tar linjer till linjer.

Definition

En projektiv transformation är en en-till-en-mappning av ett projektivt rum på sig självt som bevarar ordningsrelationen för den delvis ordnade uppsättningen av alla delrum. $\phi$

En projektiv transformation av en linje är en bijektiv transformation av en linje som tar en harmonisk fyrdubbling av punkter till en harmonisk fyrdubbling av punkter.

En projektiv transformation av ett plan är en en-till-en-mappning av ett projektivt plan på sig själv så att bilden för varje direkt linje också är en direkt linje. $\phi \colon \pi \till \pi$ $\pi$ $l\deluppsättning\pi$ $\phi (l)$

Egenskaper

Den projektiva transformationen bevarar den dubbla relationen .
En projektiv transformation är en en-till-en-mappning av uppsättningen punkter i det projektiva planet, och är också en en-till-en-mappning av uppsättningen linjer.
En mappning invers till en projektiv är en projektiv mappning. Sammansättningen av projektiva kartläggningar är en projektiv kartläggning. Således bildar uppsättningen av projektiva avbildningar en grupp .
Central projektion är ett specialfall av projektiv transformation.
En affin transformation är ett specialfall av en projektiv.
Varje linje i planet under en projektiv transformation av planet avbildas projektivt på någon linje. Varje strålknippe i planet avbildas projektivt på ett strålknippe.
Den projektiva transformationen av en rät linje bestäms genom att specificera tre par punkter som motsvarar avbildningen. Detta påstående kallas ibland för projektiv geometris grundläggande sats.
En projektiv transformation av ett plan definieras genom att specificera fyra par punkter som motsvarar kartläggningen, och inga tre punkter från de fyra bilderna eller förbilderna ligger på samma räta linje. För en icke-identisk mappning är antalet fasta punkter högst tre.
Varje projektiv transformation av ett plan ges av en reversibel linjär transformation av det tredimensionella utrymmet som motsvarar det. I homogena koordinater representeras det av ekvationerna: ${\begin{cases}\lambda x_{1}'=c_{{11}}x_{1}+c_{{12}}x_{2}+c_{{13}}x_{3}\\\lambda x_{2}'=c_{{21}}x_{1}+c_{{22}}x_{2}+c_{{23}}x_{3}\\\lambda x_{3}'=c_{ {31}}x_{1}+c_{{32}}x_{2}+c_{{33}}x_{3}\end{case}}$

och .

\det(c_{{ij}})\neq 0

Perspektiv

Låt det finnas 2 distinkta linjer på det projektiva planet och en punkt O som inte tillhör dem . En perspektivavbildning av en linje på en linje med centrum O är en avbildning , där för en godtycklig punkt punkten finns som skärningspunkten mellan och . Denna mappning betecknas som: som läser " översatt till en rak linje av en perspektivavbildning centrerad vid O " eller enligt följande: som läser "punkter är översatta av en perspektivavbildning centrerad vid O till punkter ". ${\displaystyle u_{1},u_{2))$ $u_{1}$ ${\displaystyle u_{2))$ $\psi :u_{1}\to u_{2}$ $A\in u_{1}$ $\psi (A)$ $OA$ ${\displaystyle u_{2))$ $u_{1}{\overset {O}{\doublebarwedge }}u_{2},$ $u_{1}$ ${\displaystyle u_{2))$ $ABC\ldots {\overset {O}{\doublebarwedge }}A'B'C'\ldots ,$ $A,B,C,\ldots$ $A',B',C',\ldots$

Perspektivavbildningen är bijektiv, bevarar skärningspunkten för linjerna och bevarar den dubbla relationen av fyrdubbla punkter . ${\displaystyle u_{1},u_{2))$

Varje projektiv avbildning från en linje till en linje kan representeras som en sammansättning av perspektivavbildningar. Den projektiva kartläggningen betecknas $u_{1}$ ${\displaystyle u_{2))$ $ABCD\barwedge A'B'C'D'.$

Involution

En projektiv transformation kallas en involution om det för någon punkt P är sant att . $\phi$ $\phi (\phi (P))=P$

Om är en involution, då . $\phi$ $\phi ^{-1}=\phi$

Om en projektiv transformation av en linje har minst en punkt P så att , då är en involution. $\phi$ $\phi (\phi (P))=P$ $\phi$

Om en icke-identisk involution av den projektiva linjen har fixpunkter, är deras antal antingen två eller noll. En involution med 2 fixpunkter kallas hyperbolisk. Hyperbolisk involution byter punkter som är harmoniskt konjugerade med avseende på fixpunkter. En involution utan fixpunkter kallas elliptisk.

En involution definieras genom att specificera två par av motsvarande punkter.

Tre par av motsatta sidor av en komplett fyrhörning skär vilken linje som helst (som inte går genom en vertex) i tre par av punkter med samma involution (detta påstående kallas Desargues sats, även om dess ursprung kan tillskrivas Lemma IV av Euklids Porismer i volym VII av Pappus av Alexandrias matematiska samling ).

Kolinationer och korrelationer

En kollinering är en transformation som tar punkter till punkter, linjer till linjer och bevarar infallsförhållandet för punkter och linjer, såväl som det dubbla förhållandet för alla fyra kolinjära punkter. Kollinationer bildar en grupp. Kravet på att bevara det dubbla förhållandet av fyrdubbla kolinjära punkter är överflödigt, men det är svårt att bevisa. Kollinationer betraktas tillsammans med korrelationer - transformationer av det projektiva planet som omvandlar punkter till linjer och linjer till punkter och bevarar infallsrelationen. Ett exempel på en korrelation är en polär överensstämmelse, det vill säga en mappning som tar en punkt till sin polar med avseende på en konisk sektion och en rät linje till sin pol.

Homologi

En homologi är en icke-identisk kollinering för vilken det finns en punktvis fast linje p , kallad homologiaxeln.

För varje homologi finns det en fast punkt P (homologicentrum) med egenskapen att varje linje som faller på den är fixerad. Bortsett från mitten P och punkterna på axeln p har homologin för fixpunkter inga fixpunkter. Om , då kallas homologin parabolisk, annars kallas den hyperbolisk. $P\in p$

Under planhomologi ligger punkten och dess bild på samma räta linje med homologins centrum, och linjen och dess bild skär varandra på homologiaxeln.

Homologi kan ges av ett centrum, en axel och ett par motsvarande linjer. Homologi kan också specificeras av centrum, axel, etc. en homologikonstant som skiljer sig från . $0,1,\infty$

Se även

Litteratur

D. A. Grav . Homography // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 volymer (82 volymer och 4 ytterligare). - St Petersburg. 1890-1907.
P.S. Alexandrov . Kurs i analytisk geometri och linjär algebra. — M .: Nauka, 1979.
R. Hartshorne. Grunderna i projektiv geometri. — M .: Mir, 1970.
H.S.M. Coxeter. Riktigt projektivt plan / ed. prof. A. A. Glagoleva. - M. , 1959.
R. Courant, G. Robbins. Vad är matematik?
N.V. Efimov . Högre geometri . - FizMatLit, 2003.
S. L. Pevzner . Projektiv geometri. Lärobok om kursen "Geometri" för studenter-deltidsstudenter II-III kurser av fysiska och matematiska fakulteter. - M . : Utbildning, 1980.