Riktningsderivat

I matematisk analys är riktningsderivatan en av generaliseringarna av begreppet en derivata till fallet med en funktion av flera variabler. Riktningsderivatan visar hur snabbt värdet på en funktion ändras när man rör sig i en given riktning.

Utnämning

Derivatan av en funktion av en variabel visar hur dess värde ändras med en liten förändring i argumentet . Om vi försöker definiera derivatan av en funktion av många variabler analogt, kommer vi att stöta på en svårighet: i det här fallet kan förändringen i argumentet (det vill säga en punkt i rymden) ske i olika riktningar, och i det här fallet , olika värden på derivatet kommer att erhållas. Det är detta övervägande som leder till definitionen av riktningsderivatan | [1] .

Definition

Betrakta en differentierbar funktion av argument i närheten av punkten . För varje enhetsvektor definierar vi derivatan av funktionen i en punkt längs riktningen enligt följande [1] : $f(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})$ $n$ ${\vec {x}}{\,}^{0}=(x_{1}^{0},\;\ldots ,\;x_{n}^{0})$ ${\vec {e}}=(e_{1},\;\ldots ,\;e_{n})$ $f$ ${\vec {x}}{\,}^{0}$ $\vec{e}$

\nabla _{\mathbf {e} }{f}({\vec {x}}{\,}^{0})=\lim _{h\to 0}{\frac {f({ \vec {x}}{\,}^{0}+h\cdot {\vec {e}})-f({\vec {x}}{\,}^{0})}{h}}

Värdet på detta uttryck visar hur snabbt värdet på funktionen ändras när argumentet förskjuts i vektorns riktning . $\vec{e}$

Om riktningen är samriktad med koordinataxeln, så sammanfaller derivatan med avseende på riktningen med den partiella derivatan med avseende på denna koordinat.

I källorna finns olika notationer för den riktningsderivata : ${\vec {e))$

$\nabla _{\mathbf {e} }{f}({\vec {x}}{\,}^{0})$
${\displaystyle {\frac {\partial {f({\vec {x)){\,}^{0))))){\partial {\mathbf {e} ))))$
$\partial _{\mathbf {e} }f({\vec {x}}{\,}^{0})$ eller $D_{\mathbf {e} }f({\vec {x}}{\,}^{0})$

Riktningsderivatan har samma egenskaper som den vanliga derivatan av en funktion av ett argument:

$\nabla _{\mathbf {e} }(f+g)=\nabla _{\mathbf {e} }f+\nabla _{\mathbf {e} }g$
$\nabla _{\mathbf {e} }(cf)=c\nabla _{\mathbf {e} }f$
$\nabla _{\mathbf {e} }(fg)=g\nabla _{\mathbf {e} }f+f\nabla _{\mathbf {e} }g$
$\nabla _{\mathbf {e} }(h\circ g)(\mathbf {p} )=h'(g(\mathbf {p} ))\nabla _{\mathbf {e} }g (\mathbf {p} )$

Uttryck av riktningsderivatan i termer av partiella derivator

Låt riktningsvektorn ha koordinater . Sedan sker formeln: $e$ $(e_{1},e_{2}\dots e_{n})$

\nabla _{\mathbf {e} }{f}(\mathbf {x} )={\frac {\partial f}{\partial x_{1))}e_{1}+\dots +{ \frac {\partial f}{\partial x_{n}}}e_{n}

På vektoranalysens språk kan denna formel skrivas annorlunda. Riktningsderivatan för en funktion som är differentierbar med avseende på mängden variabler kan betraktas som projektionen av funktionens gradient på denna riktning, eller med andra ord, som skalärprodukten av gradienten med enhetsvektorn för riktningen | [2] :

\nabla _{\mathbf {e} }{f}(\mathbf {x} )=\nabla f\cdot {\vec {e))

Det följer att vid en given punkt får riktningsderivatan ett maximalt värde när dess riktning sammanfaller med riktningen för funktionens gradient i den givna punkten.

Normalderivata

Normalderivatan är derivatan i förhållande till normalens riktning på någon yta . Begreppet normalderivata är särskilt viktigt när man löser gränsvärdesproblem [3] (se ett exempel i artikeln Neumannproblemet ). Om vi betecknar normalen , så ges normalderivatan för funktionen f av formeln: $\mathbf {n}$ ${\frac {\partial f}{\partial \mathbf {n} ))$

\nabla _{\mathbf {n} }{f}(\mathbf {x} )={\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {n} }}= {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\cdot \mathbf {n} =\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {n}

För en funktion som ges på ett plan definieras normalderivatan som derivatan med avseende på riktningen för normalen för någon kurva som ligger i samma plan [3] .

Variationer och generaliseringar

Hittills har vi övervägt funktioner i det euklidiska rummet , men den riktade derivatan kan definieras i ett godtyckligt jämnt grenrör . Låt vara en vald punkt i grenröret, vara en jämn kurva som går genom punkten P ( ), vara en tangentvektor för kurvan i punkten P. Sedan kan vi definiera den kovarianta derivatan med avseende på vektorn : ${\mathbf {P}}$ $\gamma$ $\gamma (t_{0})=P$ $v$ $\gamma$ $v$

\nabla _{\mathbf {v} }f(\mathbf {P} )=\left.{\frac {d}{dt}}f(\gamma (t))\right|_{t= t_{0}}.

Det kan visas att denna definition endast beror på vektorn , det vill säga för alla kurvor med en gemensam tangentvektor kommer värdet på den kovarianta derivatan att vara detsamma. $v$

En annan generalisering är Gateaux-derivatan .

Se även

Totalderivata av en funktion

Anteckningar

↑ 1 2 Fikhtengolts, 1966 , sid. 391-393.
↑ Fikhtengolts, 1966 , sid. 393-394.
↑ 1 2 Normalderivata // Mathematical Encyclopedic Dictionary . - M . : Soviet Encyclopedia, 1988. - S. 416 . — 847 sid.

Litteratur

Fikhtengol'ts G. M. Kurs för differential- och integralkalkyl. - Ed. 6:a. - M . : Nauka, 1966. - T. I. - S. 391-394.

Länkar

Riktningsderivat med exempel på YouTube
" Free flight on derivatives " - översättning av artikeln Calculus: Building Intuition for the Derivative | Bättre förklarad _

Differentialkalkyl

Main

privata vyer

Differentialoperatorer
( i olika koordinater )

Första beställning	Nabla-operatör Lutning Divergens Rotor Helmholtzian
andra beställning	Elliptisk operatör Laplace-operatör Laplace vektor operatör D'Alembert operatör Laplace-Beltrami operatör
högre order	Hypoelliptisk operatör

Relaterade ämnen