Den enklaste mekanismen

Den enklaste mekanismen är en mekanisk anordning som ändrar riktningen eller storleken på en kraft . [2] I allmänhet kan de definieras som de enklaste verktygen som använder mekanisk förstärkning (även kallad hävstångseffekt ) för att öka styrkan. [3] Vanligtvis syftar termen på de sex klassiska enklaste mekanismerna som hittades av renässansforskare : [4] [5] [6]

Den enklaste mekanismen använder en applicerad kraft för att arbeta mot en lastkraft. Utan att ta hänsyn till friktionsförluster är det arbete som utförs på lasten lika med det arbete som utförs av den applicerade kraften. Mekanismen kan öka kraftuttaget genom att proportionellt minska avståndet som lasten färdas. Förhållandet mellan den utgående kraften och den applicerade kraften kallas den mekaniska förstärkningen .

De enklaste mekanismerna kan användas för att få en vinst i rörelsehastigheten. I dessa fall är den rörliga delen ansluten till den långa änden av spaken (till exempel överför kolven på en ångmotor i ett ånglok en stor kraft genom vevstaken till den korta armen på veven, och som ett resultat hjulfälgen får högre hastighet), lyftarnas fria ände osv. och för att driva mekanismen krävs det att en kraft anbringas ett lämpligt antal gånger större än reaktionskraften. [7]

De enklaste maskinerna kan ses som de elementära "byggstenarna" som utgör allt mer komplexa maskiner (ibland kallade "sammansatta maskiner" [8] [9] ). [3] [10] Till exempel används hjul, spakar och block i mekanismen för en cykel . [11] [12] De mekaniska förstärkningarna av en sammansatt mekanism är helt enkelt produkten av de mekaniska förstärkningarna av de enklaste mekanismerna som den är sammansatt av.

Även om de fortfarande är av stor betydelse inom mekanik och tillämpad vetenskap, har den moderna mekaniken gått bortom föreställningen om de enklaste mekanismerna som de minimala byggstenarna som utgör alla maskiner , som uppstod under renässansen som en nyklassisk förlängning av antika grekiska texter. Dessa sex kategorier beskriver inte den stora variationen och sofistikeringen av moderna mekaniska anslutningar som uppstod under den industriella revolutionen . Olika författare efter renässansen har sammanställt utökade listor över "primitiva mekanismer", ofta med hjälp av termer som basmaskiner , [11] sammansatta maskiner [8] eller maskinelement för att skilja dem från de klassiska primitiva mekanismerna som beskrivs ovan. I slutet av 1800-talet hade Franz Reuleaux [13] identifierat hundratals maskinelement och kallat dem enkla maskiner . [14] Modern maskinteori analyserar maskiner som kinematiska kedjor som består av elementära länkar som kallas kinematiska par .

Historik

Idén om den enklaste mekanismen har sitt ursprung hos den grekiske filosofen Arkimedes runt det tredje århundradet f.Kr., som studerade Arkimedeans enklaste mekanismer: spaken, blocket och skruven . Han upptäckte principen om mekanisk förstärkning för spaken. [15] Arkimedes berömda anmärkning om spaken: "Ge mig en plats att stå på, så ska jag flytta jorden" ( grekiska δῶς μοι πᾶ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινά ) uttrycker ingen gräns för att det inte finns någon gräns [16] transmissionskoefficienten som kan uppnås med hjälp av mekanisk förstärkning. Senare grekiska filosofer identifierade de klassiska fem enklaste mekanismerna (med undantag för det lutande planet ) och kunde beräkna deras (ideala) mekaniska vinst. [9] Till exempel listar Hero of Alexandria (ca 10-75 AD), i sitt verk Mechanics, fem mekanismer som kan "sätta en last i rörelse"; spak , ankarspel, block , kil och skruv och beskriver deras tillverkning och användning. Men förståelsen av grekerna var begränsad till statiken i de enklaste mekanismerna (maktbalansen) och inkluderade inte dynamik , kompromissen mellan kraft och avstånd eller begreppet arbete .

Under renässansen började de mekaniska krafternas dynamik , som de enklaste maskinerna kallades, övervägas i termer av hur långt de kunde lyfta en last, utöver den kraft de kunde applicera, vilket så småningom ledde till det nya begreppet mekaniskt arbete . År 1586 fick den flamländska ingenjören Simon Stevin den mekaniska fördelen med det lutande planet och det inkorporerades i andra enkla maskiner. En fullständig dynamisk teori om de enklaste mekanismerna utvecklades av den italienske vetenskapsmannen Galileo Galilei 1600 i avhandlingen Le Meccaniche ( Om mekanik ), där han visade att kraftökningen låg till grund för den matematiska likheten mellan dessa mekanismer. [17] [18] Han var den första som förklarade att de enklaste maskinerna inte skapar energi , utan bara omvandlar den.

De klassiska reglerna för glidfriktion i maskiner upptäcktes av Leonardo da Vinci (1452-1519), men de publicerades inte och dokumenterades helt enkelt i hans anteckningsböcker och var baserade på förnewtonsk vetenskap som tron på friktion som en eterisk vätska. De återupptäcktes av Guillaume Amonton (1699) och vidareutvecklades av Charles-Augustin de Coulomb (1785). [19]

Typer av de enklaste mekanismerna

Det är vanligt att särskilja åtta enkla mekanismer, varav fyra är en variant av de två huvudsakliga:

Ett lutande plan är en enkel mekanism i form av ett plan i en spetsig vinkel mot en horisontell yta.
- Wedge - låter dig öka trycket på grund av kraftkoncentrationen i ett litet område. Används i spjut , spade , kula , etc.
- Skruv - används i skruvar och för att lyfta vatten ( Archimedes skruv ), som borr i borr mm.
Spak - beskriven av Archimedes . Den används i synnerhet för att lyfta vikter, som strömbrytare och avtryckare ( vevstång - används i en vävstol, ångmaskin , förbränningsmotorer ).
- Grind - används för att lyfta vatten i brunnar och för remöverföring m.m.
- Block - ett hjul med ett spår genom vilket ett rep, kabel eller kedja förs. Används för att ändra storleken eller riktningen för en kraft.
Hjul används i fordon och växlar . De tidigaste fynden av hjul finns på det moderna Rumäniens territorium (den neolitiska kulturen Cucuteni - Tripoli ) och går tillbaka till det sista kvartalet av det 5:e årtusendet f.Kr. e. [tjugo]
Kolv - låter dig använda energin från expanderande upphettade gaser eller ånga . Tillämpas särskilt på skjutvapen , förbränningsmotorn och ångmaskinen .

Den idealiska enkla mekanismen

Om den enklaste mekanismen inte försvinner energi på grund av friktion, slitage eller deformation, så bevaras energi, och det kallas den idealiska enklaste mekanismen. I det här fallet är den effekt som tillförs maskinen lika med uteffekten, och den mekaniska förstärkningen kan beräknas baserat på dess geometriska dimensioner.

Även om varje maskin fungerar mekaniskt olika, så fungerar de matematiskt på samma sätt. [21] I varje maskin leder kraften som appliceras på enheten vid en punkt till utförandet av arbetet med att flytta lasten genom kraften vid en annan punkt. [22] Även om vissa maskiner bara ändrar kraftens riktning, till exempel ett fast block, ökar de flesta maskiner kraften med en faktor lika med den mekaniska förstärkningen. $F_{\text{i}}\,$ $F_{\text{out}}\,$

\mathrm {MA} =F_{\text{out}}/F_{\text{in}}\,

som kan beräknas utifrån maskingeometri och friktion.

De enklaste mekanismerna innehåller ingen energikälla [23] , så de kan inte utföra mer arbete än de får från den inkommande styrkan. [22] Den enklaste mekanismen utan friktion och elasticitet kallas den idealiska enklaste mekanismen . [24] [25] [26] På grund av bevarandet av mekanisk energi i en idealisk enkel mekanism, är uteffekten (hastigheten av energiförändring) vid varje tidpunkt lika med effekttillförseln $P_{\text{out}}\,$ $P_{\text{i}}\,$

P_{\text{out}}=P_{\text{in}}\!

Uteffekten är lika med lasthastigheten multiplicerad med lastkraften . På liknande sätt är kraftinmatningen från en applicerad kraft lika med hastigheten för ingångspunkten gånger den applicerade kraften . Följaktligen, $v_{\text{out}}\,$ $P_{\text{out}}=F_{\text{out}}v_{\text{out}}\!$ $v_{\text{i}}\,$ $P_{\text{i}}=F_{\text{i}}v_{\text{i}}\!$

F_{\text{out}}v_{\text{out}}=F_{\text{in}}v_{\text{in}}\,

Så den mekaniska förstärkningen för en ideal maskin är lika med förhållandet mellan hastigheter , förhållandet mellan ingångshastighet och utgående hastighet $\mathrm {MA} _{\text{ideal}}\,$

\mathrm {MA} _{\text{ideal}}={F_{\text{out}} \over F_{\text{in}}}={v_{\text{in}} \over v_ {\text{ut}}}\,

Förhållandet mellan hastigheter är också lika med förhållandet mellan tillryggalagda sträckor under en given tidsperiod [27] [28] [29]

{v_{\text{out}} \over v_{\text{in}}}={d_{\text{out}} \over d_{\text{in}}}\,

Därför är den mekaniska förstärkningen för en ideal mekanism också lika med förhållandet mellan tillryggalagd sträcka vid ingången och sträcka tillryggalagd vid utgången.

$\mathrm {MA} _{\text{ideal}}={F_{\text{out}} \over F_{\text{in}}}={d_{\text{in}} \over d_ {\text{ut}}}\,$

Det kan beräknas baserat på mekanismens geometri. Till exempel är det mekaniska förstärknings- och avståndsförhållandet för en spak lika med förhållandet mellan spakarmarna .

Den mekaniska förstärkningen kan vara antingen större eller mindre än en:

Om utgångskraften är större än ingången, fungerar maskinen som en förstärkare, men avståndet som lasten färdas är mindre än avståndet som färdas av ingångskraften . $\mathrm {MA} >1\,$ $d_{\text{out}}\,$ $d_{\text{i}}\,$
Om den utgående kraften är mindre än den ingående kraften, men avståndet som lasten rör sig är större än det avstånd som förflyttas av den ingående kraften. $\mathrm {MA} <1\,$

För en propeller som använder roterande rörelse måste den ingående kraften ersättas med vridmoment och hastigheten med axelns vinkelhastighet .

Friktion och effektivitet

Alla riktiga maskiner utsätts för friktion, vilket förbrukar en del av ingående kraft som värme. Om vi betecknar kraften förlorad till friktion på grund av lagen om energibevarande $P_{\text{fric}}\,$

P_{\text{in}}=P_{\text{out}}+P_{\text{fric}}\,

En maskins mekaniska effektivitet (där ) definieras som förhållandet mellan uteffekt och ineffekt och är ett mått på energiförlust genom friktion. $\eta \,$ $0<\eta \ <1$

\eta \equiv {P_{\text{ut}} \över P_{\text{in}}}\,

P_{\text{out}}=\eta P_{\text{in}}\,

Som ovan är kraft produkten av kraft och hastighet, alltså

F_{\text{out}}v_{\text{out}}=\eta F_{\text{in}}v_{\text{in}}\,

Följaktligen,

$\mathrm {MA} ={F_{\text{out}} \over F_{\text{in}}}=\eta {v_{\text{in}} \over v_{\text{out} }}\,$

Således, i icke-idealiska maskiner, är den mekaniska förstärkningen alltid mindre än förhållandet mellan hastigheterna och koefficienten η . Således kommer en mekanism med friktion inte att kunna flytta lika stor last som motsvarande idealmekanism med samma ingångskraft.

Sammansatta mekanismer

En sammansatt mekanism är en maskin som är sammansatt av en uppsättning enkla mekanismer kopplade i serie, med utgångskraften från en som tillhandahåller ingångskraften för nästa. Ett bordsskruvstäd består till exempel av en spak (skruvstädhandtag) kopplad i serie med en skruv, medan en enkel kugghjul består av en serie kugghjul ( hjul och axlar ) kopplade i serie.

Den mekaniska toppen för en sammansatt mekanism är förhållandet mellan den utgående kraften som appliceras på den sista mekanismen i serien och den ingående kraften som appliceras på den första mekanismen, dvs.

\mathrm {MA} _{\text{compound}}={F_{\text{outN}} \över F_{\text{in1}}}\,

Eftersom utgångskraften för varje mekanism spelar rollen som en ingångskraft för nästa , tillhandahålls denna mekaniska förstärkning också av verkan av hela kedjan av mekanismer $F_{\text{out1))=F_{\text{in2)),\;F_{\text{out2))=F_{\text{in3)),\ldots \;F_{\text{ outK}}=F_{\text{inK+1}}$

\mathrm {MA} _{\text{compound}}={F_{\text{out1}} \over F_{\text{in1}}}{F_{\text{out2}} \over F_{ \text{in2}}}{F_{\text{out3}} \over F_{\text{in3}}}\ldots {F_{\text{outN}} \over F_{\text{inN}}}\ ,

Således är den mekaniska förstärkningen av en sammansatt mekanism lika med produkten av de mekaniska förstärkningarna av en serie enkla mekanismer som bildar den.

\mathrm {MA} _{\text{compound}}=\mathrm {MA} _{1}\mathrm {MA} _{2}\ldots \mathrm {MA} _{\text{N}} \,

På liknande sätt är effektiviteten hos en sammansatt mekanism också produkten av effektiviteten hos antalet enkla mekanismer som utgör den.

\eta _{\text{compound}}=\eta _{1}\eta _{2}\ldots \;\eta _{\text{N}}.\,

Självlåsande mekanismer

I många enkla mekanismer, om belastningskraften F ut på mekanismen är tillräckligt stor i förhållande till ingångskraften F in , så kommer mekanismen att röra sig bakåt, medan belastningskraften skapar arbete med den inkommande kraften. [30] Således kan dessa mekanismer användas i vilken riktning som helst, med drivkraften applicerad vid vilken punkt som helst. Till exempel, om belastningskraften på spaken är tillräckligt stor, kommer spaken att flyttas bakåt och flytta inmatningsspaken i motsatt riktning av ingångskraften (överbalans). De kallas " reversibla " eller " icke-blockerande " mekanismer.

Men i vissa mekanismer, om friktionskrafterna är tillräckligt stora, kan ingen lastkraft flytta dem tillbaka, även om ingångskraften är noll. Detta kallas en "självlåsande", "irreversibel" mekanism . [30] Dessa mekanismer kan bara sättas i rörelse av en ingående kraft, och när den ingående kraften tas bort kommer de att förbli orörliga, "låsta" av friktion, i vilket läge de än stoppas i.

Självlåsning sker huvudsakligen i mekanismer med stora ytor av glidkontakt av rörliga delar: skruv , lutande plan och kil :

Det vanligaste exemplet är en skruv. I de flesta propellrar kan applicering av vridmoment på axeln få den att rotera, flytta axeln linjärt för att utföra arbete mot belastningen, men ingen mängd axiell belastning på axeln kommer att få den att vända tillbaka.
I ett lutande plan kan en last lyftas upp i planet med en lateral ingångskraft, men om planet inte är för brant och det finns tillräcklig friktion mellan lasten och planet, då när den ingående kraften tas bort, kommer lasten att förbli stillastående och glider inte på ytan, oavsett vikten. .
En kil kan slås in i ett träblock med en kraft i änden, till exempel genom att slå den med en slägga, trycka isär blocket, men ingen mängd kompression från träväggarna kommer att få det att hoppa tillbaka ur blocket.

Maskinen kommer att vara självlåsande om och endast om dess effektivitet η är under 50 %: [30]

\eta \equiv {\frac {F_{out}/F_{in}}{d_{in}/d_{out}}}<0.50\,

Huruvida en mekanism kommer att vara självlåsande beror både på friktionskrafterna ( den statiska friktionskoefficienten ) mellan dess delar och på avståndsförhållandet d in /d ut (idealisk mekanisk förstärkning). Om både friktionen och den ideala mekaniska förstärkningen är tillräckligt stor, låser den sig själv.

Bevis

När mekanismen rör sig i riktning framåt från punkt 1 till punkt 2, medan den inkommande kraften fungerar med lastkraften, så kommer från lagen om energibevarande [31] [32] insatsarbetet att vara lika med summan av det arbete som utförs med lastkraften och det arbete som går förlorat på grund av friktion $W_{\text{1,2}}\,$ $W_{\text{load}}\,$ $W_{\text{fric}}\,$

W_{\text{1,2}}=W_{\text{load}}+W_{\text{fric}}

Om effektiviteten är under 50 % $\eta =W_{\text{load}}/W_{\text{1,2}}<1/2\,$

2W_{\text{load}}<W_{\text{1,2}}\,

Från Eq. ett

2W_{\text{load}}<W_{\text{load}}+W_{\text{fric}}\,

W_{\text{load}}<W_{\text{fric}}\,

När mekanismen rör sig tillbaka från punkt 2 till punkt 1, eller när belastningskraften fungerar på den inkommande kraften, går energi förlorad på grund av friktion. . Liknande $W_{\text{fric}}\,$

W_{\text{load}}=W_{\text{2,1}}+W_{\text{fric}}\,

Alltså output arbete

W_{\text{2,1}}=W_{\text{load}}-W_{\text{fric}}<0\,

Mekanismen är således självlåsande eftersom det arbete som avges av friktion är större än det arbete som utförs av att lastkraften flyttar den bakåt, även i frånvaro av en ingående kraft.

Modern mekanismteori

Maskiner betraktas som mekaniska system, bestående av drivenheter och enkla mekanismer som överför krafter och rörelser, styrda av sensorer och styrenheter. Komponenter i ställdon och mekanismer består av länkar och gångjärn som bildar kinematiska kedjor.

Kinematiska kedjor

De enklaste mekanismerna är elementära exempel på kinematiska kedjor som används för att modellera mekaniska system som sträcker sig från ångmotorer till robotarmar. Lagren som bildar armens axel och tillåter hjulet, axeln och blocken att rotera är exempel på ett kinematiskt par som kallas svivel. På samma sätt skulle en plan yta av ett lutande plan och en kil vara exempel på ett kinematiskt par som kallas en glidled. En skruv kallas vanligtvis sitt eget kinematiska par, som kallas en spiralkoppling.

Två spakar eller vevar kombineras till ett platt fyrstångs länksystem genom att fästa en spak som ansluter utgången från en vev till ingången på den andra. Ytterligare länkar kan fästas för att bilda en sexlänkslänk eller i serie för att bilda en robot. [25]

Klassificering av mekanismer

Identifieringen av de enklaste mekanismerna uppstår från önskan att skapa en systematisk metod för att uppfinna nya maskiner. En viktig fråga är alltså hur enkla mekanismer kombineras för att skapa mer komplexa mekanismer. Ett tillvägagångssätt är att koppla enkla mekanismer i serie för att erhålla komplexa maskiner.

Men en mer framgångsrik idé presenterades av Franz Reuleaux , som samlade och studerade över 800 elementära maskiner. Han insåg att spaken, remskivan, hjulet och axeln i själva verket är en och samma enhet: en kropp som roterar runt ett gångjärn. På liknande sätt är ett lutande plan, en kil och en skruv ett block som glider på en plan yta. [33]

Denna implementering visar att det är lederna eller lederna som ger rörelse som är huvudelementen i maskinen. Med utgångspunkt i de fyra typerna av gångjärn, svängled , glidled , kamled och kuggled samt tillhörande anslutningar som kablar och remmar kan en maskin förstås som en sammansättning av solida delar som förbinder dessa leder. [25]

Kinematisk syntes

Utformningen av mekanismer för att utföra den nödvändiga rörelsen och kraftöverföringen är känd som kinematisk syntes. Det är en uppsättning geometriska metoder för mekanisk design av spakar , kam och drivna mekanismer, växlar och växlar .

Anteckningar

↑ Chambers, Ephraim (1728), Table of Mechanicks , vol. 2, London, England, sid. 528, skylt 11
↑ Mekaniska vetenskaper: ingenjörsmekanik och materialstyrka , Prentice Hall of India
↑ 1 2 Understanding Physics , Barnes & Noble , < https://books.google.com/books?id=pSKvaLV6zkcC&q=Asimov+simple+machine&pg=PA88 > Arkiverad 14 januari 2022 på Wayback Machine
↑ Fysik för tekniska studenter: Mekanik och värme . – McGraw Hill. — S. 112.
↑ Mekanik , Encyclopaedia Britannica , vol. 3, John Donaldson, 1773, sid. 44 , < https://books.google.com/books?id=Ow8UAAAAQAAJ&q=%22simple+machine%22+%22mechanical+powers%22+lever+screw+inclined+plane+wedge+wheel+pulley&pg=PA44 > . Hämtad 5 april 2020. . Arkiverad 10 juli 2021 på Wayback Machine
↑ Akademisk pressordbok för vetenskap och teknologi . - Gulf Professional Publishing, 1992. - P. 1993. - ISBN 9780122004001 . Arkiverad 14 januari 2022 på Wayback Machine
↑ Landsberg G.S. Elementär lärobok i fysik. Volym 1. - M. , Nauka , 1964. - sid. 162
↑ 1 2 Compound machines , University of Virginia Physics Department , < http://galileo.phys.virginia.edu/outreach/8thgradesol/compoundmachine.htm > Arkiverad 3 augusti 2019 på Wayback Machine
↑ 1 2 Usher, Abbott Payson. En historia om mekaniska uppfinningar . - USA: Courier Dover Publications, 1988. - P. 98. - ISBN 978-0-486-25593-4 . Arkiverad 14 januari 2022 på Wayback Machine
↑ Wallenstein, Andrew. Grunder för kognitivt stöd: Mot abstrakta mönster av användbarhet . Springer. Arkiverad från originalet 2022-01-14 . Hämtad 2020-12-08 . Utfasad parameter används |deadlink=( hjälp )
↑ 1 2 Prater, Edward L. (1994), Basic machines , US Navy Naval Education and Training Professional Development and Technology Center, NAVEDTRA 14037 , < http://www.constructionknowledge.net/public_domain_documents/Div_1_General/Basic_Skills/Basic%20 %20NAVEDTRA%2014037%201994.pdf > Arkiverad 6 november 2020 på Wayback Machine
↑ US Navy Bureau of Naval Personnel (1971), Basic machines and how they work , Dover Publications , < http://www.webpal.org/SAFE/aaarecovery/5_simple_technology/basic_machines.pdf > Arkiverad 22 september 2016 på Wayback machine
↑ Reuleaux, F. (1963), The kinematics of machinery (översatt och kommenterad av ABW Kennedy) , omtryckt av Dover
↑ Cornell University, Reuleaux Collection of Mechanisms and Machines vid Cornell University , Cornell University , < http://kmoddl.library.cornell.edu/rx_collection.php > Arkiverad 11 mars 2016 på Wayback Machine
↑ Chiu, YC (2010), An introduction to the History of Project Management , Delft: Eburon Academic Publishers, s. 42, ISBN 978-90-5972-437-2 , < https://books.google.com/books?id=osNrPO3ivZoC&q=%22heron+of+alexandria%22++load+motion&pg=PA42 > Arkiverad från 14 januari 2022 på Wayback Machine
↑ Citerat av Pappus av Alexandria i Synagoge , bok VIII
↑ Krebs, Robert E. Banbrytande experiment, uppfinningar och upptäckter av medeltiden . - Greenwood Publishing Group, 2004. - S. 163. - ISBN 978-0-313-32433-8 . Arkiverad 28 maj 2013 på Wayback Machine
↑ Stephen, Donald. Hjul, klockor och raketer: en historia av teknik . - W. W. Norton & Company, 2001. - ISBN 978-0-393-32175-3 . Arkiverad 18 augusti 2016 på Wayback Machine
↑ Armstrong-Hélouvry, Brian. Styrning av maskiner med friktion . - Springer, 1991. - P. 10. - ISBN 978-0-7923-9133-3 . Arkiverad 14 januari 2022 på Wayback Machine
↑ Hjulet uppfanns inte i öst. Arkiverad 12 december 2013 på Wayback Machine - Intervju med. n. Med. Institutet för historien om materiell kultur vid den ryska vetenskapsakademin A. D. Rezepkin till tidningen " Moskovsky Komsomolets ".
↑ Denna grundläggande insikt var föremål för Galileo Galileis verk från 1600 Le Meccaniche (Om mekanik)
↑ 1 2 Bhatnagar, VP En komplett kurs i certifikatfysik . - Indien : Pitambar Publishing, 1996. - S. 28–30. - ISBN 978-81-209-0868-0 . Arkiverad 14 januari 2022 på Wayback Machine
↑ Simmons, Ron. Upptäck! Arbete och maskiner / Ron Simmons, Cindy Barden. - USA: Milliken Publishing, 2008. - ISBN 978-1-4291-0947-5 .
↑ Gujral, IS iscensätter mekanik. - Firewall Media, 2005. - ISBN 978-81-7008-636-9 .
↑ 1 2 3 Uicker, Jr., John J.; Pennock, Gordon R. & Shigley, Joseph E. (2003), Theory of Machines and Mechanisms (tredje upplagan), New York: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-515598-3
↑ Paul, Burton (1979), Kinematics and Dynamics of Planar Machinery , Prentice Hall, ISBN 978-0-13-516062-6
↑ Rao, S. Engineering Mechanics / S. Rao, R. Durgaiah. - Universities Press, 2005. - S. 80. - ISBN 978-81-7371-543-3 . Arkiverad 14 januari 2022 på Wayback Machine
↑ Goyal, MC Engineering Mekanik / MC Goyal, GS Raghuvanshee. - PHI Learning, 2011. - P. 212. - ISBN 978-81-203-4327-6 . Arkiverad 14 januari 2022 på Wayback Machine
↑ Avison, John. Fysikens värld . - Nelson Thornes, 2014. - S. 110. - ISBN 978-0-17-438733-6 . Arkiverad 14 januari 2022 på Wayback Machine
↑ 1 2 3 Gujral, I.S. Engineering Mechanics . - Firewall Media, 2005. - S. 382. - ISBN 978-81-7008-636-9 . Arkiverad 30 september 2021 på Wayback Machine
↑ Rao, S. Engineering Mechanics / S. Rao, R. Durgaiah. - Universities Press, 2005. - S. 82. - ISBN 978-81-7371-543-3 . Arkiverad 14 januari 2022 på Wayback Machine
↑ Goyal, MC Engineering Mechanics / MC Goyal, GS Raghuvanshi. - PHI Learning Private Ltd., 2009. - P. 202. - ISBN 978-81-203-3789-3 . Arkiverad 15 januari 2022 på Wayback Machine
↑ Hartenberg, RS & J. Denavit (1964) Kinematisk syntes av länkar Arkiverad 19 maj 2011 på Wayback Machine , New York: McGraw-Hill, onlinelänk från Cornell University .

Ordböcker och uppslagsverk	Britannica (online) Universalis Granatäpple
I bibliografiska kataloger	BNF : 13336090z J9U : 987007546249205171 LCCN : sh85122744 LNB : 000301032